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山东省淄博市第七中学2016届高三数学4月月考试题 理


山东省淄博市第七中学 2016 届高三数学 4 月月考试题 理
(试卷总分 150 分,共 21 题,考试时间 120 分钟) 一:选择题: (每题 5 分共 50 分) 1.已知 f(x)=x﹣sinx,命题 p:? x∈(0, A.p 是假命题,¬p:? x∈(0, B.p 是假命题,¬p:? x∈(0, C.p 是真命题,¬p:? x∈(0, D.p 是真命题,¬

p:? x∈(0, ) ,f(x)<0,则( )

) ,f(x)≥0 ) ,f(x)≥0 ) ,f(x)≥0 ) ,f(x)≥0

2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=6,a1=4,则 S5 等于( ) A.﹣2 B.0 C.5 D.10 3.若正数 a , b 满足 2 ? log2 a ? 3 ? log3 b ? log6 (a ? b) ,则 A. 36 B. 72 C. 108 D.

1 1 ? 的值为( ) a b

1 72
2

4.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的一个顶点与抛物线 y =4x 的焦点重合,且双 ,则该双曲线的方程为( )
2

曲线的离心率等于 A. ﹣y =1
2

B.x ﹣
5

=1
5

C.



=1

D.5x ﹣

2

=1

?1 ? ?1 ? 2 3 5 .已知 ? ? ax ? ? ? ? bx ? 的展开式中含 x 与 x 的项的系绝对值之比为 1: 6 ,则 ?a ? ?b ?
a 2 ? b 2 的最小值为(
A.6 B.9 ) C.12 D.18

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? ”时, 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n 由 n ? k 的假设证明 n ? k ? 1 时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为( ) 1 1 1 ?? ? ? A、 k ?1 2k 2k ? 1
6.用数学归纳法证明“ 1 ?
1

1 1 1 1 ?? ? ? ? k ?1 2k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 ?? ? ? C、 k?2 2k 2k ? 1 1 1 1 ?? ? ? D、 k ?2 2k ? 1 2k ? 2
B、 7.已知实数 f ( x) ? ?

? e x , x ? 0, ?lg(? x), x ? 0,

若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? f ( x) ? t ? 0 有三个不同的

实根,则 t 的取值范围为( ) A. (??,?2] B. [1,??) C. [?2,1] D. (??,?2] ? [1,??)

8.将函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

??

2? ? 向右平移 3 个单位,再将所得的函数图象上的各点纵 3?

坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍,得到函数 y ? g ? x ? 的图象,则函数 y ? g ? x ? 与

x??
A.

?
2

,x?

?
3

, x 轴围成的图形面积为(



1 2

B.

3 2

C. 1 ?

3 2

D. 1 ?

3 2

9. (2013?杭州模拟)已知椭圆

(a>b>0)的中心为 O,左焦点为 F,A 是椭

圆上的一点, A. B.

且 C.

,则该椭圆的离心率是( ) D.

? x ? 0, ? 10.若 A 为不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直线 ?y ? x ? 2 ?

x ? y ? a 扫过 A 中的那部分区域的面积为(
A.1 B.

) D.

3 2

C.

3 4

7 4

二:填空题(每题 5 分共 25 分)
2

11.设函数 f(x)的定义域为 D,如果? x∈D 存在唯一的 y∈D,使 (C 为常数)成立,则称函数 f(x)在 D 上的“均值”为 C,已知四个函数: 3 ①f(x)=x (x∈R) ; ②f(x)=( ) (x∈R) ; ③f(x)=lnx(x∈(0,+∞) ) ④f(x)=2sinx(x∈R) 上述四个函数中,满足所在定义域上“均值”为 1 的函数是 函数的序号) 12.设 F1,F2 为双曲线
x

=C

. (填入所有满足条件

的左右焦点,P 为双曲线右支上任

一点,当

最小值为 8a 时,该双曲线离心率 e 的取值范围是



2 6 3 2 2 13.若 ( ax ? ) 的展开式中 x 项的系数为 20,则 a ? b 的最小值为________.

b x

14.已知复数 z ? (1 ? i)(2 ? i), 则|z|=



15.已知函数 f ( x) ? cos 2 x ? a sin x 在区间 ? 0, n? ? ? n ? N ?? 内恰有 9 个零点,则实数

a 的值为_____
三:解答题 2 16.已知函数 f(x)=ln(x+1)+ax ﹣x,a∈R. (Ⅰ)当 a= 时,求函数 y=f(x)的极值; (Ⅱ)若对任意实数 b∈(1,2) ,当 x∈(﹣1,b]时,函数 f(x)的最大值为 f(b) , 求 a 的取值范围.

17.设向量 =(sinx,

sinx) , =(sinx,cosx) ,x∈[0,

].
3

(Ⅰ)若| |=| |,求 x 的值;
?1? 1 (Ⅱ)设函数 f(x)= c ? ? ? ,将 f(x)的图象向左平移 ?2? 3
2 2

个单位得到函数 g(x)

的图象,求 g(x)的最大值及此时相应的 x 值.

18. (1)求证: a 2 ? b2 ? 3 ? ab ? 3(a ? b) ;
2 (2) 已知 a, b, c 均为实数, 且 a ? x ? 2y ?

?
2

, b ? y 2 ? 2z ?

?
3

, c ? z 2 ? 2x ?

?
6

, 求证:

a, b, c 中至少有一个大于 0 .

19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,侧棱 PA⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为矩形,AD=2AB=2PA, E 为 PD 的上一点,且 PE=2ED,F 为 PC 的中点.
4

(Ⅰ)求证:BF∥平面 AEC; (Ⅱ)求二面角 E﹣AC﹣D 的余弦值.

x 20.设函数 f ( x) ? e ? ax ?

a ( x ? R ,实数 a ?[0, ??) , e ? 2.71828 ??? 是自然对数 2

的底数, e ? 1.64872 ??? ) . (Ⅰ)若 f ( x) ? 0 在 x ? R 上恒成立,求实数 a 的取值范围;
x (Ⅱ)若 e ? ln x ? m 对任意 x ? 0 恒成立,求证:实数 m 的最大值大于 2.3 .

21.如图,椭圆 C:

经过点 P(1, ) ,离心率 e= ,直线 l 的
5

方程为 x=4.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P) ,设直线 AB 与直线 l 相交于点 M,记 PA, PB,PM 的斜率分别为 k1,k2,k3.问:是否存在常数 λ ,使得 k1+k2=λ k3?若存在,求 λ 的值;若不存在,说明理由.

参考答案 1.A 2.B 3.C 4.B 5.C 6.D 7.A 8.B 9.A

10.D
6

11.①③

12. (1,3]

13. 2

14. 10

15. ?1 ,在 x=0 处取到极大值为 0(Ⅱ)

16. (Ⅰ)函数 y=f(x)在 x=1 处取到极小值为 [1﹣ln2,+∞) . 17. (Ⅰ) (Ⅱ)x= 时,g(x)取得最大值

18.证明: (1)∵ a 2 ? b2 ? 2ab, a 2 ? 3 ? 2 3a, b2 ? 3 ? 2 3b ,将此三式相加得

2(a2 ? b2 ? 3) ? 2ab ? 2 3a ? 2 3b ,∴ a2 ? b2 ? 3 ? ab ? 3(a ? b) .
(2) (反证法) 假设 a, b, c 都不大于 0 ,即 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,则 a ? b ? c ? 0 ,
2 因为 a ? x ? 2 y ?

?
2

, b ? y 2 ? 2z ?

?
3

, c ? z 2 ? 2x ?

?
6





a ? b ? c ? (x2 ? 2 y ?


?
2

) ? ( y 2 ? 2z ?

?
3

) ? (z 2 ? 2x ?

?
6

) ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? ( z ? 1) 2 ? ? ? 3 ? 0

即 a ? b ? c ? 0 ,与 a ? b ? c ? 0 矛盾,故假设错误,原命题成立. 考点:基本不等式,反证法. 19. (Ⅰ)建立如图所示空间直角坐标系 A﹣xyz, 设B (1, 0, 0) , 则D (0, 2, 0) , P (0, 0, 1) , C (1, 2, 0) (Ⅰ)设平面 AEC 的一个法向量为 ∵
? ??? ? ? ?n ? AE ? 0 ∴由 ? ? ??? , ? ? ?n ? AC ? 0



, ,







令 y=﹣1,得 又 ,
7

??? ? ? 1 ? 1? ∴ BF ? n ? 2 ? ? ? ? ? ? ?1? ? 1 ? 4 ? ? 0 , 2 2 ? ?

,BF?平面 AEC, ∴BF∥平面 AEC. (Ⅱ) 20. (Ⅰ) [0, e ] ; (Ⅱ) (Ⅱ)设 g ( x) ? ex ?

1 e ? ln x( x ? 0) ,则 g '( x) ? e ? ( x ? 0) , x 2

g '( x) ? 0 ,可得 x ?

1 1 ; g '( x) ? 0 ,可得 0 ? x ? . e e

∴ g ( x) 在 (

1 1 , ??) 上单调递增;在 (0, ) 上单调递减. e e

∴ g ( x) ? g (

1 3? e ,∵ e ? 1.64872 ??? ,∴ e ? 1.6 ,∴ g ( x) ? 2.3 . )? 2 e
e x x ,∴ e ? ln x 的最小值大于 2.3 ,若 e ? ln x ? m 对任意 2

由(Ⅰ)可得 e x ? ex ?

x ? 0 恒成立,则 m 的最大值一定大于 2.3 .
21. (1) (2)

(2)由题意可设 AB 的斜率为 k,则直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1)③ 代入椭圆方程 并整理得(4k +3)x ﹣8k x+4k ﹣12=0
2 2 2 2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , x1+x2= , ④

在方程③中,令 x=4 得,M 的坐标为(4,3k) ,

8

从而





=k﹣

注意到 A,F,B 共线,则有 k=kAF=kBF,即有

=

=k

所以 k1+k2=

+

=

+

﹣ (

+



=2k﹣ ×



④代入⑤得 k1+k2=2k﹣ ×

=2k﹣1

又 k3=k﹣ ,所以 k1+k2=2k3 故存在常数 λ =2 符合题意

9


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