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浙江省温州市十校联合体2014-2015学年高二下学期期末联考数学试题


2014 学年第二学期十校联合体高二期末联考 数学试卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,满分 120 分, 考试时间 100 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式:
柱体的体积公式 V=Sh 锥体的体积公式 V= 台体的体积公式 V ?
1 3
1 3 h ( S1 ? S1S 2 ? S

2 )

其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 Sh 其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高

其中 S1,S2 分别表示台体的上,下底面积 其中 R 表示球的半径,h 表示台体的高 其中 R 表示球的半径

球的表面积公式 S=4πR2 球的体积公式 V=
4 3

πR 3

一、选择题: 本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1、下列四个函数中,在 R 上单调递增的函数是-----------------------------( A. y ? x 2
2



B. y ? sin x

C. y ? 2 x

D. y ? log2 x )

“x ? 0 ” “x ? x ? 0 ” 2、 是 的 ----------------------------------------( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3、已知 sin( 3? ? ? ) ?

1 ,则 cos 2? 等于----------------------------------( 3
B. ?



A.

7 9

7 9

C.

8 9

D. ?

8 9


4、已知 m, n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下列说法正确的是-( A. m ? ? , n / / m ? n / /? B. m ? ? , n ? m ? n ? ? C. n ? ? , n ? ? ? ? ? ? 5、以抛物线 y ?
2 2

D. m ? ? , m / / ?,l ? ? , l / /? ? ? / / ? )

1 2 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为 ------------( 4
2 2 2 2 2 2

A. x ? y ? x ? 0 B. x ? y ? 2 x ? 0 C. x ? y ? y ? 0 D. x ? y ? 2 y ? 0 6、当 n 为正 整数时,定义函数 N ( n) 表示 n 的最大奇因数.如 N (3) ? 3, N (10) ? 5 ,?.记

S (n) ? N (1) ? N (2) ? N (3) ? ? ? N (2 n ) ,则 S (4) 等于----------------------(
A. 81 B. 82 C. 85 D. 86



x2 y 2 7、已知点 F1 、 F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交 a b
于 A 、 B 两点,若 ?ABF2 为锐角三角形,则该椭圆离心率 e 的取值范围是 -------------------------------------------------------------------------------------------------( A. 0,2 ? 1 )

?

?

B.

?

2 ? 1,1

?

C. ? 0,

? ? ?

5 ?1? ? 2 ? ?

D. ?

? 5 ?1 ? ? ? 2 ,1? ? ?

8. 设函数 f ( x) 的定义域为 D , 若函数 f ( x) 满足条件:存在 [a , b ] ? D , 使 f ( x) 在 [a, b] 上的值域是

a b [ , ],则称 f ( x) 为“倍缩函数” ,若函数 f ( x) ? log2 (2x ? t ) 为“倍缩函数” ,则实数 t 的取值范围是 2 2
------------------------------------------------( A. )

? 1? ? 0, ? ? 4?

B.

1? ? ? ? ?, ? 4? ?

C. ? 0, ? 4

? ?

1? ?

D. ? ? ?, ? 4

? ?

1? ?

二.填空题: 本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 34 分.
x 9、设集合 M ? {x ? R | 2 ? 4} , N ? {x ?R | log3 x ? 1} ,则 M N =

, M ? ?C R N ? =

. ,

10、 已知双曲线 C 是以原点为中心, 其右焦点为 F (3,0) ,离心率为 渐近线方程是 .

3 , 则双曲线 C 的方程是 2

11、 某几何体的三视图如图所示 (单位; cm) , 则该几何体的体积为 表面积为

cm3 ,

cm2 .

12、已知等比数列 {an } 前 n 项和为 S n ,

S 3 13 ? ,则其公比为________. a2 3

x ?1 ? 1 ? 13、已知 a >0,x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,若 z=2x+y 的最小值为 , 2 ? y ? a ( x ? 3) ?
则a= .

14、在△ABC 中,已知 AB ? AC ? 4 , BC ? 3 , M 、 N 分别是 BC 边上的三等分点, 则 AM ? AN ? 15、已知函数 f ( x) ? ? .

? ? x ?1 , x ? 0 ,若方程 f ( x) ? a 有四个不同的解 x1 , x2 , x3 , log x , x ? 0 ? 2 ?

x4 ,且 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,则 x3 ?

1 的取值范围是 2 ( x1 ? x2 ) x3 x4

.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 54 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程。 16、 (本小题满分 13 分)已知 A 、 B 、C 分别为 △ ABC 的三边 a 、b 、c 所对的角, ?ABC 的面积为 S , 且 3CA ? CB ? 2S . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 c ?

6 ,求 ?ABC 周长的最大值.

17、 (本小题满分 13 分) 在如图的几何体中, 平面 CDEF 为正方形, 平面 ABCD 为等腰梯形,AB ∥ CD , E F AB ? 2 BC , ?ABC ? 60? , AC ? FB . (Ⅰ)求证: AC ? 平面 FBC ; (Ⅱ)求直线 BF 与平面 ADE 所成角的正弦值. A D C B

2 18、 (本小题满分 14 分)设正项数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 2S n ? an ? an .

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ?

n ?1 ? ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,证明:对于任意 n ? N , 2 (n ? 2) 2 a n
5 . 16

都有 Tn ?

19、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 | x ? a | (a∈R). (Ⅰ)若函数 f ( x ) 为偶函数,求 a 的值 ;
[

(Ⅱ)当 a ? 0 时,若对任意的 x ? [0, ??) ,不等式 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) 恒成立, 求实数 a 的取值范围.

[来源:学_科_网]

2014 学年第二学期十校联合体高二期末联考

答案及评分标准
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 C 5 D 6 D 7 B 8 A

二.填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 34 分. 9. ?x | 2 ? x ? 3} , ?x | x ? 0或x ? 2} 11. 10. 12.

x2 y2 5 ? ? 1, y ? ? x 4 5 2
1 或3 (写出一个给 2 分) 3
15. ? 2 , ? 2

6? , 12? ? 12

13 .

3 4

1 4.6

? ?

3? ?

三.解答题: 本大题共 4 小题,共 54 分 16、 (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)∵△ ABC 的面积为 S ,且 3CA ? CB ? 2S ∴ 3ab cos C ? 2 ?

1 ab sin C 2

(分别写出 CA ? CB 与面积公式各 2 分)…………………4 分

∴ 3 cosC ? sin C ,又∵ C 为三角形内角 ∴ C ? 60
0

……………………6 分
2 2 2

(Ⅱ )解法 1:由余弦 定理 a ? 6 ? b ? c ? bc

… ……………8 分

? (b ? c) 2 ? 3bc 3 1 ? (b ? c) 2 ? (b ? c) 2 ? (b ? c) 2 …………11 分 4 4 2 即 (b ? c) ? 24 , b ? c ? 2 6 (当且仅当 b ? c ? 2 3 时取到等号)
综上: a ? b ? c ? 3 6 . 解法 2:由余弦定理 a ? 6 ? b ? c ? bc
2 2 2

………13 分 ………………8 分

? (b ? c) 2 ? 3bc 2 ∴ (b ? c) ? 3bc ? 6 ? 4bc ∴ bc ? 6 2 ∴ (b ? c) ? 3bc ? 6 ? 24

…………11 分

∴b?c ? 2 6 综上: a ? b ? c ? 3 6 . 解法 2:由正弦定理得: ………13 分

b c ? ? sin B sin C

6 sin

?
3

?2 2,

…7 分

[来源:学.科.网]

∵B?C ?

2? ?b ? c ? 2 2 sin B ? 2 2 sin C 3 2? ? 2 2 sin B ? 2 2 sin( ? B) 3 ? 3 2 sin B ? 6 cos B ? 2 6 sin( B ?

………… …………8 分

?

?0 ? B ?

2? ? ? 5? ,? ? B ? ? , 3 6 6 6
……………………11 分

6

)

……………………10 分

?

1 ? sin B ? 1 , 2

从而 b ? c ? 2 6 . 综上: a ? b ? c ? 3 6 …………………………13 分 E F

D 17、 (本小题满分 13 分)
? 解: (1)证明 1:因为 AB ? 2 BC , ?ABC ? 60 ,

N A M

C B

在△ ABC 中,由余弦定理可得 AC ? 3BC . 所以 AC ? BC ? AB .
2 2 2

…………………………2 分

所以 AC ? BC . 因为 AC ? FB , BF

…………………………4 分

BC ? B , BF 、 BC ? 平面 FBC ,
…………………………6 分

所以 AC ? 平面 FBC . (若没有恰当理由说明 AC ? BC 扣 2 分)

? 证明 2:因为 ?ABC ? 60 ,设 ?BAC ? ? 0 ? ? ? 120 ,则 ?ACB ? 120 ? ? .

?

?

在 △ ABC 中 , 由 正 弦 定 理 , 得

BC AB . 因 为 AB ? 2 BC , 所 以 ? sin ? sin ?120 ? ? ?
……………………2 分

sin ?120 ? ? ? ? 2sin ? .

整理得 tan ? ?

3 ,所以 ? ? 30 . 3
……………………4 分

所以 AC ? BC . 因为 AC ? FB , BF

BC ? B , BF 、 BC ? 平面 FBC ,
…………………………6 分

所以 AC ? 平面 FBC . (2)解法 1:由(1)知, AC ? 平面 FBC , FC ? 平面 FBC , 所以 AC ? FC . 因为平面 CDEF 为正方形,所以 CD ? FC . 因为 AC CD ? C ,所以 FC ? 平面 ABCD . 取 AB 的中点 M ,连结 MD , ME , 因为 ABCD 是等腰梯形,且 AB ? 2 BC , ?DAM ? 60 , 所以 MD ? MA ? AD .所以△ MAD 是等边三角形,且 ME

BF .……………………8 分 FC ,所以

取 AD 的中点 N ,连结 MN , NE ,则 MN ? AD 因为 MN ? 平面 ABCD, ED

ED ? MN . 因为 AD ED ? D ,所以 MN ? 平面 ADE . 所以 ?MEN 为直线 BF 与平面 ADE 所成角. 因为 NE ? 平面 ADE ,所以 MN ? NE .
因为 MN ?

………………………10 分

3 AD , ME ? MD2 ? DE 2 ? 2 AD , 2 MN 6 ? ME 4
6 4
…………………12 分

在 Rt △ MNE 中, sin ?MEN ?

所以直线 BF 与平面 ADE 所成角的正弦值为
[来源:学科网]

…………………………13 分 E z F

解法 2:由(1)知, AC ? 平面 FBC , FC ? 平面 FBC , 所以 AC ? FC . 因为平面 CDEF 为正方形,所以 CD ? FC . 因为 AC CD ? C ,所以 FC ? 平面 ABCD . 所以 CA , CB , CF 两两互相垂直, x A 建立如图的空间直角坐标系 C ? xyz .
? 因为 ABCD 是等腰梯形,且 AB ? 2 BC , ?ABC ? 60

D

C y ………………………7 分 B

所以 CB ? CD ? CF . 不妨设 BC ? 1 ,则 B ? 0,1,0 ? , F ? 0,0,1? , A

?

3, 0, 0 ,

?

? 3 1 ? ? 3 1 ? D? , ? , 0 ,E? ? ? 2 ? ? 2 , ? 2 ,1? ?, 2 ? ? ? ?
所以 BF ? ? 0, ?1,1? , DA ? ?

? 3 1 ? ? 2 , 2 ,0? ? , DE ? ? 0,0,1? . ? ?

…………………………8 分

? 3 y ? ?n ? DA ? 0, ? x ? ? 0, 设平面 ADE 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? 即? 2 ………10 分 2 ? ?n ? DE ? 0. ? z ? 0. ?
取 x ? 1 ,得 n ? 1, ? 3, 0 是平面 ADE 的一个法向量.设直线 BF 与平面 ADE 所成的角为 ? ,

?

?

则 sin ? ? cos? BF , n? ?

BF ? n BF n

?

? 0, ?1,1? ?1, ?
22

3, 0

??

6 .……………………12 分 4

所以直线 BF 与平面 ADE 所成角的正弦值为

6 . 4

…………………………13 分

18、 (本小题满分 14 分) (1)解:当 n ? 1 时, 2a1 ? a1 ? a1 ,即 a1 ? 1
2

…………………………1 分

当 n ? 2 时, 2 S n ? a n ? a n 与 2 S n?1 ? an?1 ? an?1 相减
2 2

得: 2a n ? a n ? a n ? (a n ?1 ? a n ?1 ) ,即 a n ? a n ?1 ? (a n ? a n ?1 ) ? 0 ……………………3 分
2 2 2 2

得: a n ? a n ?1 ? 0 或者 a n ? a n ?1 ? 1 由 a n ? 0 则 a n ? a n ?1 ? 1 即数列 ?a n ?是以首项为 1,公差为 1 的等差数列 综上,数列 ?an ? 的通项 a n ? n 。 (没有证明等差数列扣 3 分)…………………--… …7 分 …………………………5 分

(Ⅱ)证明:由于 a n ? n, bn ?

n ?1 (n ? 2) 2 n 2

……………8 分

则 bn ?

n ?1 1 1 1 ? ( 2 ? ) 2 2 4 n (n ? 2) n (n ? 2) 2

……………………10 分

Tn ? ?

1? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2 ? ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 2 4? 2 4 3 5 (n ? 1) (n ? 1) n (n ? 2) 2 ? ? 3 ?
……………………13 分

1? 1 1 1 ? ? ?1 ? 2 ? 2 2 ? 4? 2 ( n ? 1 ) ( n ? 2 ) ? ? ?

<

1 1 5 (1 ? 2 ) ? 4 16 2

……………………14 分

[来源:学科网]

20、 (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)由函数 y ? f ( x) 为偶函数可知,对任何 x 都有 f (? x) ? f ( x) 得: (? x) ? 2 ? x ? a ? x ? 2 x ? a ,
2 2

即 x ? a ? x ? a 对任何 x 恒成立 平方得: 4ax ? 0 对任何 x 恒成立, 而 x 不恒为 0,则 a =0 …(没有通过定义得出 a 适当扣 2 分)…………………5 分
2 2

(Ⅱ)将不等式 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) 化为 ( x ? 1) ? 2 x ? 1 ? a ? 2 x ? 4 x ? a 即 4 x ? a ? 2 x ? 1 ? a ? x ? 2 x ? 1 (*)对任意 x 恒成立
2

…………………6 分

(1)当 0 ? x ? a 时,将不等式(*)可化为 x ? 4 x ? 1 ? 2a ? 0
2

对 0 ? x ? a 上恒成立,则 g ( x) ? x ? 4 x ? 1 ? 2a 在 ?0, a ? 为单调递增,
2

只需 g ( x) min ? g (0) ? 1 ? 2a ? 0 ,得 0 ? a ?

1 2
2

…………………8 分

(2)当 a ? x ? a ? 1 时,将不等式(*)可化为 x ? 4 x ? 1 ? 6a ? 0 对 a ? x ? a ? 1 上恒成立,由(1)可知 0 ? a ? 减 , 只 需

1 2 ,则 h( x) ? x ? 4 x ? 1 ? 6a 在 ?a, a ? 1? 为单调递 2

h( x)min ? h( a ? 1) ? a2 ? 4a ? 2 ? 0 得 : a ? - 6 ? 2或a ? 6 ? 2 , 即 :
………………11 分

6 ?2?a?

1 2

(3)当 x ? a ? 1 时,将不等式(*)可化为 x ? 2a ? 3 ? 0 对 x ? a ? 1 上恒成立
2

[来源:学科网]

则 t ( x) ? x ? 2a ? 3 在 ?a ? 1,?? ? 为 单 调 递 增 , 由 ( 2 ) 可 知
2

6 ?2?a?

1 都满足要 2

求。

………………13 分

综上:实数 a 的取值范围. 为 6 ? 2 ? a ? (有分类讨论思想给 2 分)

1 2

………………14 分


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