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黑龙江省哈师大附中2013年高三第四次联考试题 word版 数学文


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黑龙江省师大附中 2013 届高三第四次联合模拟考试

数学(文)试题
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分 钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项:1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘 贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字 笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效; 在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 U=R,集合 A={x|-l≤x≤3},集合 B=|x|log2x<2},则 A B= A.{x|1≤x≤3} B.{x|-1≤x≤3} C.{x| 0<x≤3} D.{x|-1≤x<0} 2 2.若复数 z=(a +2a -3)+(a-l)i 为纯虚数(i 为虚数单位) ,则实数 a 的值为 A.-3 B.-3 或 1 C.3 或-1 D.1 3.若 P : ?

? x ? 1, ? x ? y ? 2, 则 p 是 q 成立的 q:? ? y ? 1, ? x. y ? 1,
B.必要非充分条件 D.既不充分又不必要条件

A.充分非必要条件 C.充分必要条件 4.椭圆

x2 ? y2 ? 1 4
B.4 C. 2 3 D. 4 3

A.2

5.球 O 的表面积为 8? ,则球 O 的体积为 A.

4 ? 3

B.

32 ? 3

C.

16 2 ? 3

D.

8 2 ? 3

6.已知向量 a,b 满足|a|=2, | b|=l,且(a+b)⊥ b,则 a 与 b 的夹角为 A.

? 3

B.

2? 3

C.

? 2

D.

? 6

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7.已知点 A(0,1) ,B(2,3) ,则以线段 AB 为直径的圆的方程为 A. ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 C. ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 1 1 B. ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 D. ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 8

8.如图给出的是计算 1 ?

1 1 ? ? 3 5

1 的值的一个程序框图,则 2013

判断框内应填人的条件是 A.i≤1006 B.i> 1006 C.i≤1007 D.i> 1007 9.下列关于回归分析的说法中错误的是 A.残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的 模型比较合适 B.残差点所在带状区域宽度越窄,说明模型拟合精度越高 C.两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好 D.甲、乙两个模型的 R2 分别约为 0.98 和 0.80,则模型乙的拟合效果更好 10 已知 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0) 将 f ( x ) 的图象向右平移 关于 y 轴对称, 若将 f ( x ) 的图象向左平移 则 f ( x ) 的解析式可以为 A. f ( x ) =sinx B. f ( x ) =sin2x C. f ( x ) = sin

? 个单位, 得到的函数图象也关于 x 轴对称, 4

? 个单位,得到的函数图象 4

1 x 2

D. f ( x ) =2sinx

11.一个棱长为 2 的正方体被一个平面截后所得几何体的三视图如图 所示,则所得几何体的体积是 A.

17 3

B.

20 3

C.

10 ? 2 6 3

D.7

12.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 过其左焦点 F1 作 x 轴的垂线交双曲线于 A,B 两 a 2 b2

点,若双曲线右顶点在以 AB 为直径 的圆内,则双曲线离心率的取值范围为 A. (2,+∞) B. (1,2) C. (

3 ,+∞) 2

D. (1,

3 ) 2

第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做
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答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a11=3a6-4,则则 Sn=



? x ? y ? 2 ? 0, ? 14.已知点(x,y)满足约束条件 ?3 x ? y ? 2 ? 0, 则 x 2 ? y 2 的最小值是 ? x ? 3, ?



15.已知函数 f ( x) ? 1oga ( x ? b) ,设集合 p ? ? , 2 ? , Q ? ??2, 2? ,从集合 P 和 Q 中随机 地各取一个分数分别作为 a 和 b,则函数 f ( x ) 在区间( 0, ?? )上为增函数的概率 为 。 16.若 a>l,设函数 f(x)=ax+x -4 的零点为 m,函数 g(x)= logax+x-4 的零点为 n,则

?1 ?2

? ?

1 1 ? 的最小值为 m n



三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中角,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 m =(cos (A+B) ) , 且 m ⊥n . ( I)求角 C 的大小;

C ,1) , n =(一 l,sin 2

CB ? (Ⅱ )若 CA ·

3 ,且 a+b =4,求 c. 2

18.(本小题满分 12 分) 为了解某校高三 1200 名学生的视力情况,随机抽查了该校 100 名高三掌生检查视力.检查结果分为八个组,下面的频率分 布直方图(部分数据已不慎被丢失)从左到右依次为第一组、第 二组、……、第八组,其中后五组的频数和为 62. (I)设第三组的频率为 a,求 a 的值; (Ⅱ)若后五组的频数是公比为

1 的等比数列,求这 100 名 2

学生视力的中位数; (Ⅲ)若视力在 5.0 以上为良好,在(Ⅱ)的条件下,求该校全体高三学生中视力良好的 人数 19. (本小题满分 12 分) 几何体 EFG —ABCD 的面 ABCD, ADGE, DCFG 均为矩形, AD=DC=l,AE= 2 。 (I)求证:EF⊥ 平面 GDB; (Ⅱ )求三棱锥 D—BEF 的体积。

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20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 E:y2= 4x,点 P(2,O) .如图所示,直线 l1 .过点 P 且与抛物线 E 交于 A(xl,y1) 、B( x2,y2)两点,直线 l2 过点 P 且与抛物线 E 交于 C(x3, y3) 、D(x4,y4)两点.过点 P 作 x 轴 的垂线,与线段 AC 和 BD 分别交于点 M、N. (I)求 y1y2 的值; (Ⅱ )求证:|PM|=| PN|. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=1nx-a(x-l) ,a∈ R (I)若曲线 y=f(x)在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 y=2x,求实数 a 的值; ; (Ⅱ )若 x>0 时,不等式 f ( x) ? 0 恒成立, (i)求实数 a 的值; (ii)x>0 时,比较 a ( x ? ) 与 21nx 的大小。 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答 时请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙ O 的直径,C、E 为⊙ O 上的点,CA 平分∠BAE,CF⊥AB, F 是垂足,CD⊥AE,交 AE 延长线于 D. (I)求证:DC 是⊙ O 的切线; (Ⅱ )求证:AF.FB=DE.DA.

1 x

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23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? 3 x ? 5? t ? ? 2 已知直线 l 的参数方程为 ? ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴 (t 为参数) 1 ?y ? ? 3 ? t ? ? 2
为极轴 建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4 cos(? ? (I)判断直线 l 与圆 C 的位置关系; (Ⅱ )若点 P(x,y)在圆 C 上,求 3 x +y 的取值范围. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 1og3 (| x ?1| ? | x ? 4 | ?a), a ? R 。 ( I)当 a=-3 时,求 f ( x) ? 2 的解集; (Ⅱ )当 f(x)定义域为 R 时,求实数 a 的取值范围

?
3

).

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参考答案
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.C 2.A 3.A 4.C 7.B 8.C 9.D 10.B 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.44 14.2 15. 5.D 11.A 6.B 12.A

1 4

16.1

三.解答题 17. (本小题满分 12 分)

C ? sin( A ? B) ? 0 2 C C C C ?? cos ? sin C ? 0,?? cos ? 2sin cos ? 0 , 2 2 2 2 C ? 且 0 ? C ? ? ?0 ? ? 2 2 C C 1 C ? ? ? cos ? 0 ? sin ? ,? ? ? C ? 2 2 2 2 6 3 1 3 (Ⅱ ) CA CB ? ab cos C ? ab ? ? ab ? 3 ,又 a ? b ? 4 2 2
(Ⅰ )

m ? n,? m n ? 0,?? cos

……2 分 ……4 分

……6 分 ……9 分

?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? (a ? b)2 ? 2ab ? ab ? 16 ? 9 ? 7 ? c ? 7 . ……12 分
18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ )第一组、第二组的频数分别为 100 ? 0.5 ? 0.1 ? 5,100 ?1.1? 0.1 ? 11

? 第三组的频数为 100 ? 5 ? 11 ? 62 ? 22 , 22 ? 0.22 . ?a? 100
(Ⅱ )第四组的频数记为 a 1 , 后五组的频数和为 62,公比为
a 1 1 , ? 1 (1 ? ( ) 5 ) ? 62, ? a1 ? 32 1 2 2 1? 2

……4 分

……6 分

? 第四组、第五组、第六组、第七组、第八组的频数分别为 32,16,8,4,2
前三组共有 5 ? 11 ? 22 ? 38 人,

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12 ? 4.7375 ……10 分 32 6 ? 72 , (Ⅲ )由(Ⅱ )知视力良好的频数为 2 ? 4 ? 6 , 1200 ? 100 ……12 分 ? 该校全体高三学生中视力良好的人数为 72 人.

? 这 100 名学生视力的中位数为: 4.7 ? 0.1?

19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ )

AE // GD, AE ? GD, CF // GD, CF ? GD,? AE // CF 且 AE ? CF ,
……2 分

? AEFC 为平行四边行,? EF // AC , 在正方形 ABCD 中, AC ? BD ,? EF ? BD
由 GD ? CD, GD ? DA, AD, DC ? 面 ABCD ,又 AD

DC ? D,?GD ? 面 ABCD ,
……4 分 ……6 分

AC ? 面 ABCD ,? GD ? AC ,? GD ? EF

? EF ? BD, EF ? GD, BD GD ? D ,? EF ? 面 BDG .

(Ⅱ )设 EF 的中点为 M,连 GM、BM,则 GM//DB,? GM 与 DB 共面 由(Ⅰ )知 EF ? 平面 GDBM,又 EF ? 平面 BEF , ? 平面 BEF ? 平面 GDBM,交线为 BM, 过点 D 作 DO ? BM 于点 O,则 DO ? 平面 BEF,即 DO 为三棱锥 D-BEF 的高 ……8 分

S ?MBD ?

1 1 2 ? 2 2 10 DB ? GD ? MB ? DO , ? OD ? ? 2 2 5 10 2

……10 分

BE=BF= 3 ,EF= 2 ,

? BM=

3 ?(

2

1 1 10 5 2 2 10 ? S?BEF ? ? EF ? BM ? ? 2 ? ? ) ? 2 2 2 2 2 2
……12 分

1 1 2 10 5 2 ?VD ? BEF ? S?BEF ? OD ? ? ? ? . 3 3 5 2 3
20. (本小题满分 12 分) (Ⅰ )令直线 AB : x ? my ? 2, ?

? x ? my ? 2 ? y ? 4x
2

? y 2 ? 4my ? 8 ? 0 ,? y1 y2 ? ?8 . ……6 分

(Ⅱ )直线 AC : y ? y1 ?

y1 ? y3 y2 4 ( x ? x1 ) ,即 AC : y ? y1 ? (x ? 1 ) x1 ? x3 y1 ? y3 4
……8 分

当 x ? 2 时 yM ? y1 ?

y y ?8 y2 4 , (2 ? 1 ) ? 1 3 y1 ? y3 4 y1 ? y3

同理 yN ?

y2 y4 ? 8 , y3 y4 ? ?8 y2 ? y4

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? yM ? yN ?

y1 y3 ? 8 y2 y4 ? 8 y1 y2 ( y3 ? y4 ) ? y3 y4 ( y1 ? y2 ) ? 8 ? y1 ? y2 ? +8 ? y3 ? y4 ? ? ? y1 ? y3 y2 ? y4 ? y1 ? y3 ? ? ? y2 ? y4 ?

=

-8( y3 ? y4 )-8( y1 ? y2 ) ? 8 ? y1 ? y2 ? +8 ? y3 ? y4 ? =0 ? y1 ? y3 ? ? ? y2 ? y4 ?
. ……12 分

? PM = PN

21. (本小题满分 12 分)
1 ? a( x ? 0) ,由条件 f ' (1) ? 2,?1 ? a ? 2,? a ? ?1 , x 经检验,此时曲线 y ? f ( x ) 在点 (1,0) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 2 ,与直线 y ? 2 x 平行,

解: (Ⅰ ) f ' ( x) ?

故 a ? ?1 . (Ⅱ ) (ⅰ )?

……3 分

x ? 0 时,不等式 f ( x ) ? 0 恒成立,
……5 分

? f ( 2) ? 0,? ln 2 ? a ? 0,? a ? ln 2 (或证 a ? 0 时不符合条件)

? f ' ( x) ?

1 1 ? ax ?a 1 ?a? ? ( x ? )( x ? 0, a ? ln 2) x x x a

1 1 ? (0, ) 上 f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增; ( ,??) 上 f ' ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减 a a 1 ? (0,??) 上 f ( x) max ? f ( ) ? a ? 1 ? ln a a

?

x ? 0 时,不等式 f ( x ) ? 0 恒成立,?a ? 1 ? lna ? 0 恒成立①

……7 分

?a ? 1 时, ?x ? 0, f ( x ) ? ln x ? ( x ? 1) ? f (1) ? 0, ?a ? ln2 时, ? ln a ? (a ? 1) ? 0 恒成立②

由① ② ,? ln a ? (a ? 1) ? 0 ,即 a ? 1 .
1 (ⅱ )由(ⅰ )知 a ? 1 ,记 g ( x) ? ( x ? ) ? 2 ln x x

……9 分

1 2 1 ? ? ( ? 1) 2 ? 0 ,? g ( x ) 在 (0,??) 上单调递增 x x2 x 又 g (1) ? 0 ,? (0,1) 上 g ( x ) ? 0 , (1,??) 上 g ( x ) ? 0 g ' ( x) ? 1 ?

……10 分

故, 0 ? x ? 1 时, x ?
x ? 1 时, x ? x ? 1 时, x ?

1 ? 2 ln x ; x

1 ? 2 ln x ; x 1 ? 2 ln x . x

……12 分

22. (本小题满分 10 分) (Ⅰ )连结 OC , ?DAC ? ?FAC, ?FAC ? ?ACO ??DAC ? ?ACO ,? AD // OC

?ADC ? 90 ,??OCD ? 90 ? DC 为圆 O 的切线

……5 分

2 2 (Ⅱ ) ?ADC 与 ?AFC 全等,? DC ? CF , CF ? AF ? FB, DC ? DE ? DA

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? AF ? FB ? DE ? DA
23. (本小题满分 10 分) ( Ⅰ) 直 线 l : x ?

……10 分

3 y ? 2 ? 0, 圆 C : ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 , 圆 心 C 到 直 线 的 距 离
……5 分

d?

1 ? 3? 2 ? 1 ? 2 ? r ,? 相交 2

(Ⅱ )令 ?

? ? x ? 1 ? 2 cos ? (? 为参数) y ? 3 ? 2sin ? ? ?

? 3x ? y ? 3(1? 2cos? ) ? 3 ? 2sin ? ? 2sin ? ? 2 3 cos? ? 2 3
? 4sin( x ? ) ? 2 3 3

?

?1 ? sin( x ? ) ? 1 , 3
. ……10 分

?

? ? 3x ? y 的取值范围是 ? ? 2 3 ? 4, 2 3 ? 4 ?
24. (本小题满分 12 分)

(Ⅰ ) a ? ?3 时, x ?1 ? x ? 4 ? 3 ? 9,? x ?1 ? x ? 4 ? 6 ① 当 x ? 4 时 2 x ? 5 ? 6,? x ?

11 2 1 2
……5 分

② 当 1 ? x ? 4 时 3 ? 6 ,不成立 ③ 当 x ? 1 时 5 ? 2 x ? 6,? x ? ? 综上,不等式的解集为 x x ?

?

11 1? 或x ? ? ? 2 2?

(Ⅱ )即 x ?1 ? x ? 4 ? a 恒成立, x ?1 ? x ? 4 ? ( x ?1) ? ( x ? 4) ? 3 , 当且仅当 1 ? x ? 4 时取等,? a ? 3 ,即 a 的取值范围是 (??,3) . ……10 分

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