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单元评估检测(八)平面解析几何


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单元评估检测(八)
第八章 (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1.双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 的焦点坐标是( A.(1,0),(-1,0) B.(0,1),(0,-1) D.(0,错误

! )

C.(错误!未找到引用源。 ,0),(-错误!未找到引用源。 ,0) 未找到引用源。),(0,-错误!未找到引用源。) 2.方程 mx2+y2=1 所表示的所有可能的曲线是( A.椭圆、双曲线、圆 B.椭圆、双曲线、抛物线 C.两条直线、椭圆、圆、双曲线 D.两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线 )

3.若椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(a>b>0)的离心率为错 误!未找到引用源。 ,则双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 的渐近线方程为( ) B.y=±2x

A.y=±错误!未找到引用源。x C.y=±4x

D.y=±错误!未找到引用源。x

4.抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到 引用源。=1 的一个焦点重合,则该抛物线的标准方程可能是( A.x2=4y B.x2=-4y C.y2=-12x
1

)

D.x2=-12y

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5.(2014?长沙模拟)若圆 x2+y2=r2(r>0)上仅有 4 个点到直线 l:x-y-2=0 的距离为 1,则实数 r 的取值范围为( ) B.(错误!未找到引用源。-1,错

A.(错误!未找到引用源。+1,+∞) 误!未找到引用源。+1) C.(0,错误!未找到引用源。-1)

D.(0,错误!未找到引用源。+1)

6.(2013? 四川高考)从椭圆错误! 未找到引用源。 +错误! 未找到引用源。 =1(a>b>0) 上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1,A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点,B 是 椭圆与 y 轴正半轴的交点, 且 AB∥OP(O 是坐标原点), 则该椭圆的离心率是( A.错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 ) C.

7.(2014?张家界模拟)已知 P 是双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用 源。=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2 是其焦点,双曲线的离心率是错误!未找到引用 源。 ,且错误!未找到引用源。 ?错误!未找到引用源。=0,若△PF1F2 的面积为 9, 则 a+b 的值为( A.5 ) B.6 C.7 D.8

8.若双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0)上不存在 点 P 使得右焦点 F 关于直线 OP(O 为双曲线的中心)的对称点在 y 轴上,则该双曲 线离心率的取值范围为( ) B.[错误!未找到引用源。 ,+∞) D.(1, 错误! 未找到引用源。 )

A.(错误!未找到引用源。 ,+∞) C.(1,错误!未找到引用源。]

9.如图,平面中两条直线 l1 和 l2 相交于点 O,对于平面 上任意一点 M,若 p,q 分别是 M 到直线 l1 和 l2 的距离,
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则称有序非负实数对(p,q)是点 M 的“距离坐标”.已知常数 p≥0,q≥0,给出下 列命题: ①若 p=q=0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有 1 个; ②pq=0,且 p+q≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有 2 个; ③若 pq≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有 4 个. 上述命题中,正确命题的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3

10.(能力挑战题)已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在 x 轴上,左 右焦点分别为 F1,F2,且它们在第一象限的交点为 P,△PF1F2 是以 PF1 为底边的等 腰三角形.若|PF1|=10,双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的 取值范围是( ) B.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。

A.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把正确答案填在题中横线 上) 11.(2014?株洲模拟)双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 的 渐近线与圆 x2+(y-2)2=1 相切,则双曲线离心率为________. 12.(2013?天津高考)已知抛物线 y2=8x 的准线过双曲线错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为 2,则该双 曲线的方程为____________. 13.(2014?郴州模拟)已知点 P 在直线 x+2y-1=0 上,点 Q 在直线 x+2y+3=0 上,PQ 中点为 M(x0, y0)且 y0≥x0+2, 则错误! 未找到引用源。 的取值范围是____________.
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14.已知两条直线 y=ax-2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直,则 a 等于________. 15.(能力挑战题)曲线 C:y=错误!未找到引用源。(a>0,b>0)与 y 轴的交点关于 原点的对称点称为“望点” ,以“望点”为圆心,凡是与曲线 C 有公共点的圆,皆 称之为“望圆” ,则当 a=1,b=1 时,所有的“望圆”中,面积最小的“望圆”的 面积为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤) 16.(12 分)在直角坐标平面上给定一曲线 y2=2x, (1)设点 A 的坐标为错误!未找到引用源。 ,求曲线上距点 A 最近的点 P 的坐标及 相应的距离|PA|. (2)设点 A 的坐标为(a,0),a∈R,求曲线上的点到点 A 距离的最小值 dmin,并写 出 dmin=f(a)的函数表达式. 17.(12 分)(2014?永州模拟)已知☉M:x2+(y-2)2=1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切☉M 于 A,B 两点. (1)如果|AB|=错误!未找到引用源。 ,求直线 MQ 的方程. (2)求证:直线 AB 恒过一个定点. 18.(12 分)在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 错误!未找到引 用源。的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标原点 O,椭圆错误!未找到引用源。+错误! 未找到引用源。=1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10. (1)求圆 C 的方程. (2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q,使 Q 到椭圆的右焦点 F 的距离等于线 段 OF 的长,若存在,请求出 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
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19.(13 分)(2014?株洲模拟)已知抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,抛物线上一 点 A 的横坐标为 x1(x1>0),过点 A 作抛物线 C 的切线 l1 交 x 轴于点 D,交 y 轴于点 Q,交直线 l:y=错误!未找到引用源。于点 M,当|FD|=2 时,∠AFD=60°.

(1)求证:△AFQ 为等腰三角形,并求抛物线 C 的方程. (2)若 B 位于 y 轴左侧的抛物线 C 上,过点 B 作抛物线 C 的切线 l2 交直线 l1 于点 P, 交直线 l 于点 N,求△PMN 面积的最小值,并求取到最小值时的 x1 的值. 20.(13 分)(2014?武汉模拟)已知点 P 是圆 M:x2+(y+m)2=8(m>0,m≠错误!未找 到引用源。)上一动点,点 N(0,m)是圆 M 所在平面内一定点,线段 NP 的垂直平分 线 l 与直线 MP 相交于点 Q. (1)当 P 在圆 M 上运动时,记动点 Q 的轨迹为曲线Г ,判断曲线Г 为何种曲线,并 求出它的标准方程. (2)过原点斜率为 k 的直线交曲线Г 于 A,B 两点,其中 A 在第一象限,且它在 x 轴上的射影为点 C,直线 BC 交曲线Г 于另一点 D,记直线 AD 的斜率为 k′,是否 存在 m,使得对任意的 k>0,都有|k?k′|=1?若存在,求 m 的值;若不存在,请 说明理由. 21.(13 分)(2013?上海高考)如图,已知双曲线 C1:错误!未找到引用源。-y2=1, 曲线 C2:|y|=|x|+1.P 是平面内一点.若存在过点 P 的直线与 C1,C2 都有共同点,
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则称 P 为“C1-C2 型点”.

(1)在正确证明 C1 的左焦点是“C1-C2 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写 出一条这样的直线的方程(不要求验证). (2)设直线 y=kx 与 C2 有公共点,求证|k|>1,进而证明原点不是“C1-C2 型点”. (3)求证:圆 x2+y2=错误!未找到引用源。内的点都不是“C1-C2 型点”.

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答案解析
1.【解析】选 C.c2=a2+b2=2+1=3,所以 c=错误!未找到引用源。.由焦点在 x 轴上. 所以焦点坐标为(错误!未找到引用源。 ,0),(-错误!未找到引用源。 ,0). 2.【解析】选 C.当 m=1 时,方程为 x2+y2=1 表示圆; 当 m<0 时,方程为 y2-(-m)x2=1 表示双曲线; 当 m>0 且 m≠1 时,方程表示椭圆; 当 m=0 时,方程表示两条直线. 【误区警示】本题对参数 m 的讨论,容易出现讨论不全造成漏解错选. 3.【解析】选 A.由题意错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 , 所以 a2=4b2. 故双曲线的方程可化为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1, 故其渐近线方程为 y=〒错误!未找到引用源。x. 4.【解析】选 D.由题意,得 c=错误!未找到引用源。=3. 所以抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0,-3). 所以抛物线的标准方程为 x2=12y 或 x2=-12y. 【加固训练】以坐标轴为对称轴,原点为顶点且过圆 x2+y2-2x+6y+9=0 圆心的抛物 线方程是( ) B.y=3x2 D.y=-3x2 或 y2=9x

A.y=3x2 或 y=-3x2 C.y2=-9x 或 y=3x2

【解析】选 D.x2+y2-2x+6y+9=0,(x-1)2+(y+3)2=1,圆心(1,-3).代入选项知 D 正 确.

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5.【解析】选 A.计算得圆心到直线 l 的距离为错误!未找到 引用源。=错误!未找到引用源。>1,如图.直线 l:x-y-2=0 与圆相交,l1,l2 与 l 平行,且与直线 l 的距离为 1,故可以 看出,圆的半径应该大于圆心到直线 l2 的距离错误!未找到 引用源。+1. 【加固训练】直线 y=x-3 与抛物线 y2=4x 交于 A,B 两点,过 A,B 两点向抛物线的 准线作垂线,垂足分别为 P,Q,则梯形 APQB 的面积为( A.48 【解析】选 A. 如图所示. 由错误!未找到引用源。得 x2-10x+9=0, 所以 x1=1,x2=9. 当 x1=1 时,y1=-2. 当 x2=9 时,y2=6. 不妨令 A(9,6),B(1,-2). 因为焦点 F(1,0),由抛物线定义知 |BF|=|BQ|=2,|AF|=|AP|=10, 所以 S 梯形 APQB=错误!未找到引用源。〓(6+2)=48. 6.【解析】选 C.由已知,P 点坐标为错误!未找到引用源。 ,A(a,0), B(0,b),于是由 kAB=kOP 得-错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ,整理 得 b=c,从而 a=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。c.于是,离心率 e= 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.
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)

B.56

C.64

D.72

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【方法技巧】求椭圆、双曲线离心率的两种方法 (1)直接求出 a,c 的值,利用离心率公式求解. (2)依据已知条件寻找关于 a,c 的有关等式(不等式),解方程(不等式),即可求 出离心率的值(范围). 7.【解析】选 C.由错误!未找到引用源。 〃错误!未找到引用源。=0 得错误!未 找到引用源。⊥错误!未找到引用源。 , 设|错误!未找到引用源。|=m,|错误!未找到引用源。|=n,不妨设 m>n, 则 m2+n2=4c2,m-n=2a,错误!未找到引用源。mn=9,错误!未找到引用源。=错误! 未找到引用源。 , 解得错误!未找到引用源。所以 b=3,所以 a+b=7. 8.【思路点拨】按照正难则反思想求解. 【解析】选 C.这里给出否定形式,直接思考比较困难,按照正难则反,考虑存在 点 P 使得右焦点 F 关于直线 OP(O 为双曲线的中心)的对称点在 y 轴上,因此只要 在这个双曲线上存在点 P 使得斜率大于 1,也就是离心率大于错误!未找到引用 源。 ,求其大于 1 的补集得 e∈(1,错误!未找到引用源。]. 9.【解析】选 D.①p=q=0,则“距离坐标”为(0,0)的点有且只有 1 个,此点为点 O,故①正确; ②正确,p,q 中有且仅有一个为 0,当 p 为 0 时,坐标点在 l1 上,分别为关于 O 点对称的两点,反则在 l2 上也有两点,但是这两种情况不能同时存在; ③正确, 四个交点为与直线 l1 相距为 p 的两条平行线和与直线 l2 相距为 q 的两条平 行线的交点. 【加固训练】对于直角坐标平面内的任意两点 A(x1,y1),B(x2,y2),定义它们之
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间的一种“距离” :‖AB‖=|x2-x1|+|y2-y1|. 给出下列三个命题: ①若点 B 在线段 AC 上,则‖AB‖+‖BC‖=‖AC‖; ②在△ABC 中,∠C=90°,则‖AC‖2+‖CB‖2=‖AB‖2; ③在△ABC 中,‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的个数为( A.0 B.1 ) C.2 D.3

【解析】选 B.取特殊值,数形结合. 在△ABC 中,∠C=90°, 不妨取 A(0,1),C(0,0),B(1,0), 因为‖AB‖=|x2-x1|+|y2-y1|, 所以‖AC‖=1,‖BC‖=1, ‖AB‖=|1-0|+|0-1|=2. 此时,‖AC‖2+‖CB‖2=2,‖AB‖2=4, ‖AC‖2+‖CB‖2≠‖AB‖2; ‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖, 即命题②、③是错误的. 设如图所示共线三点 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3, y3),AC″⊥CC″,则 ‖AC‖=|x1-x3|+|y1-y3| =‖AC″‖+‖C″C‖ =‖AB′‖+‖B′C″‖+
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‖C′C″‖+‖C′C‖ =‖AB′‖+‖B′B‖+ ‖BC′‖+‖C′C‖, ‖AB‖=|x1-x2|+|y1-y2|=‖AB′‖+‖B′B‖, ‖BC‖=|x2-x3|+|y2-y3| =‖BC′‖+‖C′C‖, 所以‖AB‖+‖BC‖=‖AC‖, 即命题①正确. 综上所述真命题的个数为 1 个. 10.【解析】选 B.如图,设椭圆的长半轴长,半焦距分别为 a1,c,双曲线的半实 轴长,半焦距分别为 a2,c,

|PF1|=m,|PF2|=|F1F2|=n, 则错误!未找到引用源。? 错误!未找到引用源。 问题转化为:已知 1<错误!未找到引用源。<2,求错误!未找到引用源。的取值 范围. 由 1<错误!未找到引用源。<2 知错误!未找到引用源。<错误!未找到引用源。 <1, 即错误!未找到引用源。<错误!未找到引用源。<2, 因此错误!未找到引用源。<错误!未找到引用源。+1<3,
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即错误!未找到引用源。<错误!未找到引用源。<3,所以错误!未找到引用源。 <错误!未找到引用源。<错误!未找到引用源。. 11.【解析】因为双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(a>0, b>0)的渐近线为 bx〒ay=0, 依题意,直线 bx〒ay=0 与圆 x2+(y-2)2=1 相切, 设圆心(0,2)到直线 bx〒ay=0 的距离为 d, 则 d=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=1, 所以双曲线离心率 e=错误!未找到引用源。=2. 答案:2 12. 【解析】 由抛物线的准线方程为 x=-2, 得 a2+b2=4, 又因为双曲线的离心率为 2, 得错误!未找到引用源。=2,得 a2=1,b2=3,所以双曲线的方程为 x2-错误!未找 到引用源。=1. 答案:x2-错误!未找到引用源。=1 13.【解析】因为直线 x+2y-1=0 与直线 x+2y+3=0 平行,所以 PQ 的中点 M 在直线 x+2y+1=0 上,又因为直线 x+2y+1=0 与 y=x+2 的交点坐标为 A 错误!未找到引用源。 ,所以 kOA=错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。 , 故-错误!未找到引用源。<错误!未找到引用源。≤-错误!未找到引用源。.

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答案:错误!未找到引用源。 14.【解析】因为两条直线垂直,所以 a(a+2)=-1, 即 a2+2a+1=0,所以 a=-1. 答案:-1 15.【解析】因为曲线 C:y=错误!未找到引用源。(a>0,b>0)与 y 轴的交点关于 原点的对称点称为“望点” ,以“望点”为圆心,凡是与曲线 C 有公共点的圆,皆 称之为“望圆” ,所以当 a=1,b=1 时望圆的方程可设为 x2+(y-1)2=r2,面积最小的 “望圆”的半径为(0,1)到 y=错误!未找到引用源。上任意点之间的最小距离, d2=x2+错误!未找到引用源。=x2+错误!未找到引用源。=(|x|-1)2+错误!未找到 引用源。+2(|x|-1)-错误!未找到引用源。+2≥3,所以半径 r≥错误!未找到引 用源。 ,最小面积为 3π. 答案:3π 16.【解析】(1)设 M(x,y)为曲线 y2=2x 上任意一点, 则|MA|2=错误!未找到引用源。+y2=x2+错误!未找到引用源。x+错误!未找到引用 源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 , 因为 x∈[0,+≦),所以当 x=0 时, |MA 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误! 未找到引用源。 , 即|MA|min=错误!未找到引用源。. 所以距点 A 最近的点 P 坐标为(0,0), 这时|PA|=错误!未找到引用源。. (2)依题意得,
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d2=(x-a)2+y2=x2-2ax+a2+2x =x2-2(a-1)x+a2 =[x-(a-1)]2+(2a-1) 因为 x∈[0,+≦), 所以分 a-1≥0 和 a-1<0 两种情况讨论. 当 a≥1 时,错误!未找到引用源。=2a-1,即 dmin=错误!未找到引用源。 , 当 a<1 时,错误!未找到引用源。=[0-(a-1)]2+(2a-1)=a2, 即 dmin=|a|. 这时恰好抛物线顶点(0,0)与点 A(a,0)最近. 所以 dmin=f(a)=错误!未找到引用源。 【误区警示】本题(1)易忽略 x 的取值范围,误认为当 x=-错误!未找到引用源。 时距离最小. 17.【解析】(1)如图所示,连 AM,BM, 设 P 是 AB 的中点,由|AB|=错误!未找到引用源。 , 可得|MP| =错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 由射影定理,得|MB|2=|MP|〃|MQ|,得|MQ|=3, 在 Rt△MOQ 中, |OQ|=错误! 未找到引用源。 =错误! 未找到引用源。=错误!未找到引用源。 , 故 Q 点的坐标为(错误!未找到引用源。 ,0)或(-错误!未找到引用源。 ,0),所以 直线 MQ 的方程是:
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2x+错误!未找到引用源。y-2 错误!未找到引用源。=0 或 2x-错误!未找到引用 源。y+2 错误!未找到引用源。=0. (2)设 Q(a,0),由题意知 M,A,Q,B 四点共圆,直径为 MQ. 设 R(x,y)是该圆上任一点,由错误!未找到引用源。 〃错误!未找到引用源。=0 得 x(x-a)+(y-2)y=0. 即 x2+y2-ax-2y=0.① ①式与 x2+(y-2)2=1 联立,消去 x2 , y2 项得两圆公共弦 AB 所在的直线方程为 -ax+2y=3. 所以无论 a 取何值,直线 AB 恒过点错误!未找到引用源。 ,故直线 AB 恒过一个定 点. 18.【解析】(1)设圆 C 的圆心为 A(p,q), 则圆 C 的方程为(x-p)2+(y-q)2=8. 因为直线 y=x 与圆 C 相切于坐标原点 O, 所以 O 在圆 C 上,且直线 OA 垂直于直线 y=x. 于是有错误!未找到引用源。? 错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。 由于点 A(p,q)在第二象限,故 p<0. 所以圆 C 的方程为(x+2)2+(y-2)2=8. (2)因为椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 与圆 C 的一个交点 到椭圆两焦点距离之和为 10,所以 2a=10? a=5,故椭圆右焦点为 F(4,0). 若圆 C 上存在异于原点的点 Q(x0,y0)到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长,则 有|QF|=|OF|,于是(x0-4)2+错误!未找到引用源。=42,且错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。≠0.①
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由于 Q(x0,y0)在圆上, 故有(x0+2)2+(y0-2)2=8.② 解①和②得错误!未找到引用源。 故圆 C 上存在满足条件的点 Q 错误!未找到引用源。. 19.【解析】(1)设 A 错误!未找到引用源。 ,则 A 处的切线方程为 l1:y=错误!未 找到引用源。x-错误!未找到引用源。 ,所以 D 错误!未找到引用源。 ,Q 错误!未 找到引用源。 ,F 错误!未找到引用源。 , 所以|AF|=错误!未找到引用源。. 所以|FQ|=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=|AF|,即△AFQ 为等腰 三角形. 又 D 为线段 AQ 的中点, 所以|AF|=4,得: 错误!未找到引用源。所以 p=2,C:x2=4y. (2)设 B(x2,y2)(x2<0),则 B 处的切线方程为 y= 错误!未找到引用源。x-错误!未找到引用源。 , 由错误!未找到引用源。? P 错误!未找到引用源。 , 由错误!未找到引用源。? M 错误!未找到引用源。 , 同理 N 错误!未找到引用源。 ,所以面积 S=

=错误!未找到引用源。

①,

设 AB 的方程为 y=kx+b,则 b>0,由错误!未找到引用源。? x2-4kx-4b=0,得错误! 未找到引用源。代入①得:S=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ,使
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面积最小,则 k=0,得到 S=错误!未找到引用源。 ②,令错误!未找到引用源。 =t,则由②得 S(t)=错误!未找到引用源。=t3+2t+错误!未找到引用源。 ,S′(t)= 错误!未找到引用源。 , 所以当 t∈错误!未找到引用源。时 S(t)单调递减; 当 t∈错误!未找到引用源。时 S(t)单调递增,所以当 t=错误!未找到引用源。 时,S 取到最小值为错误!未找到引用源。 ,此时 b=t2=错误!未找到引用源。 ,k=0, 所以 y1=错误!未找到引用源。 ,即 x1=错误!未找到引用源。. 【方法技巧】解决解析几何中最值问题的常用思想方法 解析几何中的最值问题是高考考查的一个重要方向,既可以出现在选择题、填空 题中,也可以出现在解答题中,根据待求量的特点,常用以下两种思想方法: (1)数形结合思想: 当待求量有几何意义时, 一般利用其几何性质, 数形结合求解. (2)函数思想:当待求量与其他变量有关时,一般引入该变量构造函数,然后求最 值,但要注意待求量的取值范围. 20.【解析】(1)因为|QN|=|QP|, 所以||QM|-|QN||=|PM|=2 错误!未找到引用源。. ①当 2 错误!未找到引用源。<2m 时,动点 Q 的轨迹曲线Г为以点 M,N 为焦点, 2a=2 错误!未找到引用源。为实轴的双曲线,其标准方程为错误!未找到引用源。 -错误!未找到引用源。=1. ②当 2 错误!未找到引用源。>2m 时,动点 Q 无轨迹. (2)如图所示,

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设 A(x1,y1),D(x0,y0),则 B(-x1,-y1),C(x1,0). 则 y1=kx1. 直线 BC 的方程为 y=错误! 未找到引用源。 (x-x1), 即 y=错误! 未找到引用源。 (x-x1). 联立错误!未找到引用源。化为(m2k2-2k2-8)x2-2k2(m2-2)x1x+(m2-2)(k2 错误!未找 到引用源。-8)=0. 所以-x1+x0=错误!未找到引用源。 , 所以 k′=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。. 若存在 m,使得对任意的 k>0,都有|k〃k′|=1, 则错误!未找到引用源。=1, 整理得 m2=6,解得 m=〒错误!未找到引用源。(负值舍去). 因此存在 m,且当 m=错误!未找到引用源。时,满足题意. 21.【解析】(1)C1 的左焦点为(-错误!未找到引用源。 ,0),写出的直线方程可以 是以下形式: x=-错误!未找到引用源。或 y=k(x+错误!未找到引用源。),其中|k|≥错误!未 找到引用源。.
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(2)因为直线 y=kx 与 C2 有公共点, 所以方程组错误!未找到引用源。有实数解, 因此|kx|=|x|+1,得|k|=错误!未找到引用源。>1. 若原点是“C1-C2 型点” ,则存在过原点的直线与 C1,C2 都有公共点. 考虑过原点与 C2 有公共点的直线 x=0 或 y=kx(|k|>1).显然直线 x=0 与 C1 无公共点. 如果直线为 y=kx(|k|>1), 则由方程组错误!未找到引用源。得 x2=错误!未找到引用源。<0,矛盾, 所以直线 y=kx(|k|>1)与 C1 也无公共点. 因此原点不是“C1-C2 型点”. (3)记圆 O:x2+y2=错误!未找到引用源。 ,取圆 O 内的一点 Q, 设有经过 Q 的直线 l 与 C1,C2 都有公共点, 显然 l 不垂直于 x 轴,故可设 l:y=kx+b. 若|k|≤1,由于圆 O 夹在两组平行线 y=x〒1 与 y=-x〒1 之间, 因此圆 O 也夹在直线 y=kx〒1 与 y=-kx〒1 之间,从而过 Q 且以 k 为斜率的直线 l 与 C2 无公共点,矛盾,所以|k|>1. 因为 l 与 C1 有公共点, 所以方程组错误!未找到引用源。有实数解, 得(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0. 因为|k|>1,所以 1-2k2≠0, 因此Δ=(4kb)2-4(1-2k2)(-2b2-2)=8(b2+1-2k2)≥0,即 b2≥2k2-1. 因为圆 O 的圆心(0,0)到直线 l 的距离 d=错误!未找到引用源。 , 所以错误! 未找到引用源。 =d2<错误! 未找到引用源。 , 从而错误! 未找到引用源。 >b2
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≥2k2-1, 得 k2<1,与|k|>1 矛盾. 因此,圆 x2+y2=错误!未找到引用源。内的点都不是“C1-C2 型点”.

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