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魔术师的地毯


第J 2 朝 

高中数学教 与学  

魔术 师的地毯 
丛德明  
( 甘肃省嘉峪关市第一中学 , 7 3 5 1 0 0 )   在高中数学 教材 中 ( 人教社 必修 第 二册 

洋洋地走 了, 而敬 师傅还 在纳 闷儿 哩 , 这是 怎  么 回事呢? 边长为 l _ 3 米 的正方形 面积是 1 . 6 9   平方米 , 而宽0 . 8 米, 长2 . 1 米 的矩形 面积只有 

第9 0页)有这样 一道探究与发现题 目: 一天 。   著名魔 术大 师秋先 生拿 了~ 张边长 是 1 . 3米  的正方形地 毯去 找 地 毯 匠敬 师傅 , 要求 把 这  块正方形 的地毯 改制成宽 0 . 8米 , 长2 . 1米的 
矩形. 秋先生拿 出他事 先画好 的两 张设 计图 ,  

J . 6 8 平方米. 两者并不相 等啊 ! 那0 . 0 1 平方 米 
的地毯到什么地方去 了呢?   这是一 个似 乎 令人 费解 的问 题. 真 的 能 

对敬师傅说 : “ 你先照这 张图 ( 图1 )的尺寸把  地 毯裁成 四块 , 然后再 照另一张图( 图2 ) 的样  子把这 四块 拼在 一 起 缝好 就 行 了. 魔术 大 师  是从来不会 出错 的 , 你 只管放心 做吧 ! ”  
8   K  8   K 

把边长是 1 . 3 米 的正方形地 毯改成 长 2 . 1米 ,  
宽O . 8米的地 毯吗? 面积减少 0 . 0 l 平方米 . 当   然 是 不 可 能 的. 如 图 l , 在 △A B C 中,   t a n   C A B=- ~ i - , 而t a n  D E F=   1 . 2 . 把 △A B C  
J  J 

1  

剪 开旋转9 O 。 , 再使 A与D重合 , c 与 日重合 , 即 
l   o 

量  
G   8   H  c   8   H  

线段A c 与 线段   合并, 由 子詈 ≠_ 0 i _ , 即 直线  
J  J 

的斜率 不相等 , 此时 三点 E、 J D、  并 不在 一条 
直线 上 , 因此不能构成 图 2的一条线段 G K . 准  确的图形 如图 3 所示 , 从 G到  中间有一个细 
长的重叠 的地 带 , 这 个 重叠 部 分是 面 积减 少 

图 1  

图2  

图 3  

敬师傅 照 着 做 了, 缝好一量 , 果 真 是 宽 

的原因. 地 毯 比较 松 软 . 尺 寸不 是 十分精 确 ,   如果选择钢板 , 这个魔术就做不成了.  
- _ ? ●’ … ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ’ ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ● “ 

0 . 8 米, 长2 . 1 米。 魔术 师拿着改好的地 毯得意 
’ ●… ? ●… ? ●… ? ● … . .… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●…  

即 肘、 N、 P三点共 线.  
解法 3   设直线 MN的方程 为  =m y+  
n , M(   】 , Y 1 ) , N(   2 , Y 2 ) .  
f x   my + n?  


?   l  



my,十 n, x 2  

mY 2十 n ?  

( m y . +n ) ( m y 2+n )+ ( Y 。 一1 ) ( Y :一  

1 ) =0  
? . .

( m   +1 ) ) , I Y 2 +( m n一1 ) ( Y I + Y 2 )+  

由 i 譬 + , , 2  得  
( , n  +4 ) y  +2 m n y+r t  一4 :0 .  
2 m, l  
’ ? ?

+1=0 , 化简得 5 n  +2 an一3 r m  =0 , 解得 r g  


÷ m 或n : 一 m ( 舍 去 ) - . . . 直 线M N 的 方 程  

, l 2—4  
,Y l Y 2

‘  

Y 1+ y 2  

一  

m   十 ‘ .  

十 斗 

为   = ”   + ÷ m = m ( , , + ÷ ) , 即 过 定 点  
(  
?

由A M 上A Ⅳ, 得  .  



:0 ,  

.  l   2+( Y l ~1 ) ( Y 2—1 ) =0 .  

4 7?  

高 中数 学教 与学  

2 0 1 4年  

互 为 反 函 数 的 一个 充 要 条 件 
李建潮  
( 浙江省 湖州 市双林 中学 3 1 3 0 1 2 )  

关 于反 函数 有 以下 众 所 周 知 的 性 质 :  

且A  =A .  

函数 ) , =  

) ,  E   A( Y   E   c )的图象与它 

再证 函数 y=  

) ,  ∈A有反 函数 ( 用反 

的反 函数 Y= 厂’ (  ) ,   ∈c ( Y∈A )的图象关 

证法 ) : 若 不然 , 则存 在 。 。 , o  E   A ( o 。 ≠。   ) ,  

于直线 ) , =x对称.   近期发现有多 家杂志提 及到 了它 的逆命  题: 如果两个 函数 的图象关于直线 y=  对称 ,   那么这两个 函数是互为反 函数.   这几家杂志 的作 者 的观点均 以为这 是一  个假命题 , 但都没有反例显示.   笔者考 虑 到这是 一 个有 意 思 的 问题 , 很 
有必要予 以澄清 ; 但几 经 尝试 苦 于 找不 到一  个反例. 于是设想这 是一个 真命题 , 经 潜心探 
究 得 以确 认 .  

使得  o 。 ):厂 (  ) . 令 它们都 等于 b , 则b   E   c , 且点 P 。 ( n , , 6 ) , P : ( n : , b )( a 。 ≠a : ) 都在 函  数) , ; , (  ) ,  ∈A的图象 上 ; 进而它们关于直  线 Y=   的对称点 P   。 ( b , a 。 ) , P   : ( b , 口 : ) 都 在  函数 y=g (  ) ,  ∈C的图象上 , 即g ( 6 )=D 。 ,   且g ( 6 )=口 : , 其中6   E   C ( 口 。 ≠o   ) . 这 与 y=   g (  ) ,  E   C 是 函数相矛盾. 这说明 了函数 ) , :  
) ,   ∈A有反函数 ( 同时 , 函数 , , =g (  ) ,   ∈ c有反 函数尽在其 中) .  
最 后 证 函数 ) , =   ) ,   ∈ A与 函 数 y =  

定理  如果 函数 Y= , (  ) ,  ∈A的图象 
与 函数 Y =g (  ) ,   ∈ C的 图象 关 于 直线 Y =  

g (  ) ,   ∈C互为反函数 :  
设 ‰ 是 函数 y=g (   )的定 义 域 c中 的 任 

对称 , 那么这两 个函数必是互为反 函数.   证 明  先证 函数 y=, ( x ) , x∈A的值域  为 G, 函数 ) , =g (  ) ,   ∈ C的值域为 A .   设 函数 Y=   函数 y=   ) ,  ∈A的值域为 c   , 函数 

意一个数. 令g (   。 )=Y o , V   。E   C ( Y o∈A) ,   由已知条件 , 知点 P (   , Y o ) 关 于直线 y:   的对称点 P   ( Y o , ‰) 在 函数 Y=   ) ,   ∈A   的图象上 , 即 。=, ( y 0 )  . 厂’ (   。 ):y 0 ( 因为  g (   )= 厂  (   。 ) , V‰ ∈ C ,  

Y=g (  ) ,   ∈C的值域 为A   . 并设 P ( o , b ) 是 . 函数 Y=, (  ) ,  E   A有反 函数 ) . 因此 , 有  ) ,   ∈A的 图象上任意一点 , 则 b  

=  n ) , n   E   A, 6∈C   . 又点 P ( a , 6 ) 关 于直线 
Y=   的对称点 P   ( b , n ) 在 函数 y=g (  ) ,  ∈   C的图象上 , 即 n=g ( b ) , 6∈C , a   E   A   , 所以 
C   C且 A   A   .   同理可证 : C   C   且 A   A, 于是 C  = C  

至此 , 定理得证. 于是 , 有 
推论  函数 y=, (  ) ,  ∈A与 函数 , , =   g ( x ) ,   ∈ C互为反 函数 的充要条件是它们的 
图 象关 于直 线 y =   对称.  

”● … ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… - ●… - ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… o l… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●? ?  

(   第2 5 页  
2   .对 于 任 意 给 定 的 实 数 J 7 、 r ,取 m =  
2  ¨  ’ , . .


评 注  调 和 数 列{  1 的 前   项和s   : l  
L   1 7 , J   ”  

当 n > m 时 ,  
. 

+   1 十 ÷+ … +  , n 一 + + ∞ 时 , S  + ∞ , 直  
—一  接求和 比较 困难. 本 题 通过 局 部放 缩 后使 该  式子能够求 和 , 通过 构 造 找到 使 不等 式成 立  的正整数 m .  



>  2 1 2 N - 2   > l+——  2 N 一2   。   2   一” 。  

『 2 Ⅳ 一2 1+1  



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