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2.3.1等差数列的前n项和(1)


复习回顾
1.等差数列的概念 an-an-1=d (n∈N*且 n≥2)

2.等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d

探究发现

泰姬陵坐落于印度古都阿 格,是十七世纪莫卧儿帝国 皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所 建,她宏伟壮观,纯白大理 石砌建而成的主体建筑叫人 心醉神迷,成为世界七大奇 迹之一。陵寝以宝石镶饰, 图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形 图案,以相同大小的圆宝石 镶饰而成,共有100层(见左 图),奢靡之程度,可见一 斑。你知道这个图案一共花 了多少宝石吗?

等差数列的前n项和
德国古代著名数学家高斯10岁的时候 很 快 就 解 决 了 这 个 问 题 : 1+ 2 + 3+ … + 100=?你知道高斯是怎样算出来的吗?

赶快开动脑筋,想一想!

探究发现
问题 : 何 求 等 差 数 列 ? a n ? 的 前 n 项 和 S n ? 如

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?1 ? an
S n ? a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? a 2 ? a1
如果把两式左右两端相加,将会有什么结果?

探究发现

倒序相加法

如 何 求 等 差 数 列 ? a n ? 的 前 n项 和 S n ?
S n ? a 1 ? ( a 1 ? d ) ? ? ? [ a 1 ?( n ? 1) d ]

S n ? a n ? ( a n ? d ) ? ? ? [ a n ? ( n ? 1) d ]
2 S n ? n ( a1 ? a n )
a n ? a 1 ? ( n ? 1) d

公 式1
公式2

Sn ?

n ( a1 ? a n ) 2
n ( n ? 1) 2 d

S n ? n a1 ?

等差数列前n项和公式
公式1 公式2

Sn ?

n(a1 ? a n ) 2

S n ? na 1 ?

n ( n ? 1) 2

d

比较两个公式的异同:

公式应用 之
n

知三求二 a 1, d , n , a n , S n
d ? 4 , n ? 20 , s n ? 460

例1 在等差数列 ?a ? 中,已知:
求 a 1 及 a 20 .
S n ? n a1 ?

解: 利用 公 式 2

n ( n ? 1) 2

d

a=
1

再根据 公 式 1

Sn ?

n ( a1 ? a n ) 2

a20=

练 习一
根据条件,求相应等差数列{an}的Sn:

①a1=5, an=95, n=10;
②a1=100, d=-2, n=50;
答案:①500; ②2550;

练 习 二 (2004.全国文)等差数列 ?a ? 的前 n 项 和记为 s n .已知 a ? 30 , a ? 50 .
n
10

20

(1)求通项 a n ;
(2)令 s ? 242 ,求 n .
n

例 题 解 析

例2 :求和
(1) 1+3+5+ · +(2n-1) · ·

(2)-10,-6,-2, 2, ·, (4n-14) · ·
?1 ? ( 2 n ? 1) ? ? n 解: (1)原式=
2

=n2

· · (2)原式= -10-6-2 + 2 + · +(4n-14)
( ? 10 ? 4 n ? 14 ) ? n 2

?

注意在运用公式时,

? 2n

2

? 12 n 要看清等差数列的项数。

例 题 解 析

例3:等差数列-10,-6,-2,2,· 前9 · · 项的和多少?
解:设题中的等差数列为{an} 则 a1=-10, d=4,
S 9 ? ( ? 10 ) ? 9 ? 9?8 2

n=9
? 4 ? 54

能用公式(1)计算吗?
应用公式时,要根据题目的具体条件,灵 活选取这两个公式 。

·· · 前多少项和是54 ? 例 2,····

变式:等差数列-10,-6,-2,
S n ? na 1 ? n ( n ? 1) 2 d

题 解 析

解: 设题中的等差数列为{an}, 则 a1= -10, d= -4 设 Sn= 54,
? 10 n ? n(n ? 1) 2 · 4 ? 54

得 故

n2-6n-27=0 n1=9, n2=-3(舍去)。

因此,等差数列 -10,-6,-2,2··· ·· ·· 前9项和是54。

在等差数列的求和公式中,含有四个量, 运用方程的思想,知三可求一.

三.小结
1.推导等差数列前 n项和公式的方法

-------倒序相加法

2.公式的应用中的数学思想.
--------方程思想

课堂小结
等差数列前n项和公式
Sn ? n ( a1 ? a n ) 2
S n ? na 1 ? n ( n ? 1) 2 d

公式的推证用的是倒序相加法 在两个求和公式中,各有五个元素,只要知 道其中三个元素,结合通项公式就可求出另 两个元素.


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