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河南省三门峡市“人保财险杯”2013年高三学生综合能力竞赛数学(文)试题


命题人:段孝伟

审题人:高玉杰

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考生作答时,将答案答在答 题卷上,在本卷上答题无效. ........ 注意事项: 1、答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卷上. 2、所有答案使用 0.5 毫米黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚. 3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. ...............................

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 M ? { y | y ? 2 , x ? 0}, N ? {x | y ? lg(2 x ? x )}, M ? N =
x 2

A. (1,2) 2.已知复数

B. (1, ??)

C. ? 2, ?? ?

D. ?1, ?? ?

2?i ? 1 ? ai, 其中a ? R, i 是虚数单位,则 a = i
C.1 C. f(x) ? x x D.2 D. f(x) ? ln x

A.—2 B.—i 3. 下列函数中既是增函数又是奇函数的是 A. f(x) ? x
3

? x ? (0, ??)?

B. f(x) ? sin x

x

4.设 ? 是第二象限角, P ? x, 4 ? 为其终边上的一点,且 cos ? ? A. ?

4 3

B. ?

3 4

C.

3 4

1 x ,则 tan ? = 5 4 D. 3

5. 已 知 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ?an ? 中 , 3a1 ,

1 a3 , 2a2 成 等 差 数 列 , 则 2

a11 ? a13 ? a8 ? a10
A.-1 或 3 B.27 C.3 D.1 或 27 6.执行如图所示的程序,输出的 S 的值为___ A. 0 B.

3 2

C.

3

D. ?

3 2

(6 题图)

7. 已知双曲线 分成弧长

x2 y2 a2 ? 2 =1(a>0, b>0), 以原点为圆心且过双曲线的焦点的圆, 被直线 x ? c a2 b

为 2∶1 的两段圆弧,则该双曲线的离心率是 A. 2 B.2 C. 3 D. 2 2

8.函数 f ( x) ? cos(? x ? ?)(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为奇函数,该函数的部分图像如图所示,

y
A, B 分别为最高点与最低点,并且 AB ? 2 2 ,则该函数图像的一条对称轴为
A. x ?

A

2

?

B. x ?

?
2

C. x ? 1

D. x ? 2

O
B

x

?x ? y ?1 ? 0 ? 9.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( a 为常数)所表示的平面区域 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
的面积等于 2,则 a 的值为 A.-5 B.1 C.2 D.3 10.已知正三角形 ABC 的边长为 4,将它沿高 AD 翻折,使点 B 与点 C 间的距离为 2,则 四面体

ABCD 外接球表面积为
13? 3 11.已知圆 O 的半径为 2,PA,PB 为该圆的两条切线,A,B 为两切点,设 ?APO ? ? . 那 2S 么 ?PAB 的最小值为 tan 2?
A. 16? B. C. D. A. ?16 ? 4 2 B. ?12 ? 4 2 C. ?16 ? 8 2 D. ?12 ? 8 2

32? 3

52? 3

2 ? ?-x +1(-1≤x≤1), 12. 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x+4)=f(x),f(x)=? 若方程 ?-|x-2|+1(1<x≤3), ?

f(x)-ax=0 有 5 个实根,则正实数 a 的取值范围是 1 1 A. < a< 4 3 2 15 1 1 B. < a < 6 4 1 C.16-6 7<a< 6 D. 1 < a<8 - 6

第 II 卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 13.一个四棱锥的高为 3,其底面用斜二侧画法所画的水平放置的直观图是一个边

长为 1 的正方形,则此四棱锥的体积为

.

? ? ? ? ? ? ? 14.已知 a ? 1, b ? 2 ,且 a ? b 与 a 垂直,则向量 a 与 b 的夹角大小是___________.
15.如图,矩形 An BnCn Dn 的一边 An Bn 在 x 轴上,另外两个顶点 Cn , Dn 在函数

1 f ( x) ? x ? ( x ? 0) 的图像上,若点 Bn 的坐标为 (n,0)(n ? 2, n ? N? ) ,记矩形 x
An BnCn Dn 的周长为 an ,则 a2 ? a3 ? ?? ? a10 ?
16.给出以下四个命题: ① 若命题 p : ?x ? R ,使得 x2 ? x ? 1 ? 0 ” “ ,则 ?p : ?x ? R ,均有 x2 ? x ? 1 ? 0 ” “ ; ②“ a ? 2 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ? 0 和 l2 : 3x ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 平行”的充要条件; ③ 线性相关系数 r 越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱; ④ 用相关指数 R2 来刻画回归效果,R2 越小,说明模型的拟合效果越好; ⑤ 若 x, y 满足 x ? y ? xy ? 1 ,则 x ? y 的最大值为
2 2

.

2 3 ; 3

其中真命题的序号为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分。解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a cosC,bcosB,ccosA 成等差数列. (I)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a +c=4,求 AC 边上中线长的最小值. 18. (本小题满分 12 分) 某班甲、乙两名同学参加 l00 米达标训练,在相同条件下两人 l0 次训练的成绩(单位: 秒)如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 11.6 12.2 13.2 13.9 14.0 11.5 13.1 14.5 11.7 14.3 乙 12.3 13.3 14.3 11.7 12.0 12.8 13.2 13.8 14.1 12.5 (I)请作出样本数据的茎叶图;如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的 100 米比赛,从 成绩的稳定性方面考虑,选派谁参加比赛更好,并说明理由(不用计算,可通过统计图直 接回答结论); (Ⅱ)从甲的 10 次训练成绩中随机抽取两次的成绩,求抽取的成绩中至少有一个比 12.2 秒 .. 差的概率. 19. (本小题满分 12 分) 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示,其正视图、俯视图均为矩形,侧视图为直角 三角形. (I)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积; (Ⅱ)证明: A1C ? 平面 AB1C1 ;

(Ⅲ)若 D 是棱 CC1 的中点,E 是棱 AB 的中点,判断 DE 是否平行于平面 AB1C1 ,并证明你的 结论. 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C1 ,抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上, C1 的中心和 C2 的顶点均为原点 O ,从每条曲 线上各取两 个点,将其坐标记录于下表中:

x
y

3

?2
0

4

2
2 2
[

?2 3

?4

(I) 求 C1 , C2 的标准方程; (II)是否存在直线 l 满足条件: ①过 C2 的焦点 F ; ②与 C1 交不同两点 M , N , 且满足以 MN 为直径的 圆过原点 O ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? mx ?

1? m (m ? R ) x

(Ⅰ)当 m=2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 m ?

1 时,讨论 f ( x) 的单调性; 4 1 2 (Ⅲ)设 g ( x) ? x ? 2 x ? n. 当 m ? 时,若对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ? [1, 2],使 12
f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 n 的取值范围.

请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 、 、 分。 做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1: 几何证明选讲 如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A ,经过点 O 的割线

PBC 交圆 O 于点 B、C , ?APC 的平分线分别交

AB、AC 于点 D、E .
(Ⅰ)证明: ?ADE ? ?AED ; (Ⅱ)若 AC ? AP ,求

PC 的值. PA

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程. 已知点 P (1 ? cos ? , sin ? ) ,参数 ? ? [0, ? ] ,点 Q 在曲线 C: ? ?
9 2 sin(? ?

?
4

上.
)

(Ⅰ)求点 P 的轨迹方程和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)求点 P 与点 Q 之间距离的最小值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知 f(x)=|mx+1|(m∈R),不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}.
(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若不等式 | a ? b | ? | a ? b |?| a | ( f ( x) ? x ? 1) ( a ? 0 , a ? R , b ? R )恒成立, 求实数 x 的 范围.


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