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2012年海淀区高三一模数学理科试卷及答案


2012 年 北 京 市 海 淀 区 高 三 一 模

数 学(理科)
2012.04 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. (1)已知集合 A = {x x > 1}, B = {x x < m},且 A ? B = R ,那么 m 的值可以是 (A) -

1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

(2)在等比数列 {an } 中, a1 = 8,a4 = a3a5 ,则 a7 = (A)

1 16

(B)

1 8

(C)

1 4

(D)

1 2

开始 n=5,k=0 n 为偶数

(3)在极坐标系中,过点 (2, (A) ? sin ? = - 2 (C) ? sin ? = 2

3? ) 且平行于极轴的直线的极坐标方程是 2
(B) ? cos ? = - 2



n ? 3n ? 1

(D) ? cos ? = 2

n?

n 2

, (4)已知向量 a =(1,x),b=( - 1 x) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 a ?
k=k+1 (A) 2 (C)2 (B) 3 (D)4 n=1
是 否

(5)执行如图所示的程序框图,输出的 k 值是 (A)4 (C)6 (B)5 (D)7

输出 k 结束

(6)从甲、乙等 5 个人中选出 3 人排成一列,则甲不在排头的排法种数是 (A)12 (B)24 (C)36 (D)48

?? x2 ? ax, x ? 1, (7)已知函数 f ( x) ? ? 若 ?x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范 x ? 1, ?ax ? 1,
围是 (A) a < 2 (B) a > 2 (C) - 2 < a < 2 (D) a > 2 或 a < - 2

(8)在正方体 ABCD - A ' B ' C ' D ' 中,若点 P (异于点 B )是棱上一点,则 满足 BP 与 AC ' 所成的角为 45° 的点 P 的个数为 (A)0 (C)4 (B)3 (D)6
B' B A C D

A' C'

D'

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上. (9)复数

a + 2i 在复平面内所对应的点在虚轴上,那么实数 a = 1- i

.

(10)过双曲线

x2 y 2 = 1 的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 9 16
1 ? ,则 cos(2? + ) = 2 ?
.

.

(11)若 tan ? =

(12)设某商品的需求函数为 Q = 100 - 5P ,其中 Q, P 分别表示需求量和价格,如果商品需求弹性

EQ EP

大于 1(其中

EQ Q' ,则商品价格 P 的取值范围是 =P , Q ' 是 Q 的导数) EP Q

.

(13)如图,以 ?ABC 的边 AB 为直径的半圆交 AC 于点 D ,交 BC 于点 E , EF ^ AB 于点 F ,

AF = 3BF , BE = 2 EC = 2 ,那么 ?CDE =

, CD =

.
C D E

ì 1, x ? Q, ? (14)已知函数 f ( x ) = ? í
(ⅰ) f ( f ( x)) = ;

? 0, x ? ?R Q, ? ?


A F

B

(ⅱ)给出下列三个命题: ①函数 f ( x) 是偶函数; ②存在 xi ? R(i ③存在 xi ? R(i

1, 2,3) ,使得以点 ( xi , f ( xi ))(i = 1,2,3) 为顶点的三角形是等腰直角三角形; 1, 2,3, 4) ,使得以点 ( xi , f ( xi ))(i = 1,2,3,4) 为顶点的四边形为菱形.
.

其中,所有真命题的序号是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a, b, c ,且 A , B , C 成等差数列. (Ⅰ)若 b =

13 , a = 3 ,求 c 的值;

(Ⅱ)设 t ? sin A sin C ,求 t 的最大值.

(16)(本小题满分 14 分) 在四棱锥 P - ABCD 中, AB // CD , AB ^ AD , AB = 4, AD = 2 2, CD = 2 , PA ^ 平面

ABCD, PA = 4 . (Ⅰ)设平面 PAB ? 平面 PCD ? m ,求证: CD // m ; (Ⅱ)求证: BD ? 平面 PAC ;
(Ⅲ)设点 Q 为线段 PB 上一点,且直线 QC 与平面 PAC 所成角的正弦值为

PQ 3 ,求 的值. PB 3

P

A C B

D

(17)(本小题满分 13 分) 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟) ,并将所得数据绘制成频率分布直方

[20, 40) ,[40,60) ,[60,80) , 图 (如图) 其中, , 上学所需时间的范围是 [0,100] , 样本数据分组为 [0, 20) ,

[80,100] .
(Ⅰ)求直方图中 x 的值; (Ⅱ )如果上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学校住宿,请 估计学校 600 名新生中有多少名学生可以申请住宿; (Ⅲ)从学校的新生中任选 4 名学生,这 4 名学生中上学所需时间少 于 20 分钟的人数记为 X ,求 X 的分布列和数学期望.(以直方图中新 生上学所需时间少于 20 分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于 20 分钟的概率)
x
0.0065 0.003 频率 /组距 0.025

O

20

40

60

80

100

时间

(18)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? e
? kx

1 ( x 2 ? x ? ) (k ? 0) . k

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)是否存在实数 k ,使得函数 f ( x ) 的极大值等于 3e ?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理 由.
?2

(19)(本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 G 的中心为坐标原点,左焦点为 F1 (?1,0) , P 为椭圆 G 的上顶 点,且 ?PFO ? 45? . 1 (Ⅰ)求椭圆 G 的标准方程; (Ⅱ)已知直线 l1 : y ? kx ? m1 与椭圆 G 交于 A , B 两点,直线 l2 :
l1 A D y l2

y ? kx ? m2 ( m1 ? m2 )与椭圆 G 交于 C , D 两点,且 | AB |?| CD | ,
如图所示. (ⅰ)证明: m1 ? m2 ? 0 ; (ⅱ)求四边形 ABCD 的面积 S 的最大值.
O B C x

(20)(本小题满分 14 分) 对 于 集 合 M , 定 义 函 数 f M ( x) ? ?

??1 ,x ? M , 对 于 两 个 集 合 M , N , 定 义 集 合 ?1, x ? M .

M ?N ? {x f M ( ?)f N x (? ? . 已知 A = {2, 4,6,8,10} , B = {1, 2, 4,8,16} . x ) 1}
(Ⅰ)写出 f A (1) 和 f B (1) 的值,并用列举法写出集合 A? B ; (Ⅱ)用 Card(M)表示有限集合 M 所含元素的个数,求 Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 的最小值; (Ⅲ)有多少个集合对(P,Q) ,满足 P, Q ? A ? B ,且 ( P?A)?(Q?B) ? A?B ?

海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学(理科) 2012.04
(8) B

参考答案及评分标准
一. 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 (1) D (2) B (3) A (4) C (5) B (6) D (7) A

二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. (9) 2 (10) 4 x - 3 y - 20 = 0 (11) -

4 5

(12) (10, 20)

(13)60°

3 13 13

(14) 1

①③

三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 A, B, C 成等差数列, 所以 2B ? A ? C . 因为 A ? B ? C ? ? , 所以 B ? 因为 b =
2

? . 3

………………………………………2 分

13 , a = 3 , b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ,
………………………………………5 分 ………………………………………6 分

所以 c ? 3c ? 4 ? 0 . 所以 c ? 4 或 c ? ?1 (舍去). (Ⅱ)因为 A ? C ?

2 ?, 3 2? ? A) 所以 t ? sin A sin( 3

? sin A(

3 1 cos A ? sin A) 2 2

?
?

3 1 1 ? cos 2 A sin 2 A ? ( ) 4 2 2
………………………………………10 分

1 1 ? ? sin(2 A ? ) . 4 2 6 2? 因为 0 ? A ? , 3

? ? 7? ? 2A ? ? . 6 6 6 ? ? ? 3 所以当 2 A ? ? ,即 A ? 时, t 有最大值 . 4 6 2 3
所以 ? ………………………………………13 分

(16)(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明: 因为 AB // CD , CD ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB , 所以 CD //平面 PAB . ………………………………………2 分

因为 CD ? 平面 PCD ,平面 PAB ? 平面 PCD ? m , 所以 CD // m . ………………………………………4 分

(Ⅱ)证明:因为 AP ^ 平面 ABCD , AB ^ AD ,所以以 A 为坐标原点, AB, AD, AP 所在的直线分别 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系, 则 B(4, 0, 0) , P(0, 0, 4) , D(0, 2 2,0) , C (2, 2 2,0) . ………………………………………5 分 所以 BD ? (?4,2 2,0) , AC ? (2, 2 2,0) ,

??? ?

??? ?

z P

??? ? AP ? (0,0, 4) ,
所以 BD ? AC ? (?4) ? 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 0 ? 0 ? 0 ,

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? BD ? AP ? (?4) ? 0 ? 2 2 ? 0 ? 0 ? 4 ? 0 .
所以 BD ? AC , BD ? AP . 因为 AP ? AC ? A , AC ? 平面 PAC ,

A C B x

D y

PA ? 平面 PAC , 所以 BD ? 平面 PAC .
(Ⅲ)解:设

………………………………………9 分

PQ = ? (其中 0 #? PB ??? ? ??? ? 所以 PQ = ? PB .

1 ) Qxyz) , (, ,

,直线 QC 与平面 PAC 所成角为 ? .

所以 ( x, y, z - 4) = ? (4,0, - 4) .

ì x = 4? , ? ? ? 所以 í y = 0, 即 Q(4? ,0, - 4? + 4) . ? ? z = - 4? + 4, ? ? ? ??? ? 所以 CQ = (4? - 2, - 2 2, - 4? + 4) . ………………………………………11 分
由(Ⅱ)知平面 PAC 的一个法向量为 BD ? (?4,2 2,0) .

??? ?

………………………………………12 分

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? CQ ×BD 因为 sin ? = cos < CQ, BD > = ??? ??? , ? ? CQ ×BD

所以

3 ?4(4? ? 2) ? 8 . ? 3 2 6 ? (4? ? 2)2 ? 8 ? (?4? ? 4) 2

7 ? [0,1] . 12 PQ 7 = 所以 . PB 12
解得 ? ?

………………………………………14 分

(17)(本小题满分 13 分) 解: )由直方图可得: (Ⅰ

20 ? x ? 0.025 ? 20 ? 0.0065 ? 20 ? 0.003 ? 2 ? 20 ? 1 . 所以 x = 0.0125 . ………………………………………2 分 (Ⅱ)新生上学所需时间不少于 1 小时的频率为: 0.003 ? 2 ? 20 ? 0.12 , ………………………………………4 分
因为 600 ? 0.12 ? 72 , 所以 600 名新生中有 72 名学生可以申请住宿. ………………………………………6 分 (Ⅲ) X 的可能取值为 0,1,2,3,4. ………………………………………7 分 由直方图可知,每位学生上学所需时间少于 20 分钟的概率为

1 , 4

81 ? 3? , P( X ? 0) ? ? ? ? ? 4 ? 256
2 2

4

? 1 ?? 3 ? 27 , P( X ? 1) ? C ? ?? ? ? ? 4 ?? 4 ? 64
1 4 3

3

27 ?1? ? 3? ?1? ? 3? 3 , P( X ? 3) ? C3 ? ? ? ? ? , P( X ? 2) ? C2 ? ? ? ? ? 4 4 ? 4 ? ? 4 ? 128 ? 4 ? ? 4 ? 64
1 ?1? . P( X ? 4) ? ? ? ? ? 4 ? 256
所以 X 的分布列为:
4

X P

0

1

2

3

4

81 256

27 64

27 128

3 64

1 256

………………………………………12 分

81 27 27 3 1 1 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 1 .(或 EX ? 4 ? ? 1 ) 256 64 128 64 256 4
所以 X 的数学期望为 1. ………………………………………13 分

(18)(本小题满分 13 分)

解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 R .

1 f '( x) ? ?ke ? kx ( x 2 ? x ? ) ? e ? kx (2 x ? 1) ? e ? kx [?kx 2 ? (2 ? k ) x ? 2] , k
即 f '( x) ? ?e? kx (kx ? 2)( x ? 1) (k ? 0) . 令 f '( x) ? 0 ,解得: x ? ?1 或 x ? ………………………………………2 分

2 . k
).

当 k ? ?2 时, f '( x) ? 2e2 x ( x ? 1)2 ? 0 ,故 f ( x ) 的单调递增区间是 (- ? , 当 ?2 ? k ? 0 时,

………………………………………3 分

f ( x ) , f '( x) 随 x 的变化情况如下:

x
f '( x) f ( x)

2 ( ??, ) k

2 k
0
极大值

2 ( , ?1) k
?

?1
0
极小值

( ?1, ??)

?
?

?
?
2 k

?
2 k

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ??, ) 和 ( ?1, ??) ,单调递减区间是 ( , ?1) . ………………………………………5 分 当 k ? ?2 时,

f ( x ) , f '( x) 随 x 的变化情况如下:

x
f '( x) f ( x)

( ??, ?1)

?1
0
极大值

2 ( ?1, ) k
?

2 k
0
极小值

2 ( , ??) k

?
?

?
?
2 k

?
2 k

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ??, ?1) 和 ( , ?? ) ,单调递减区间是 ( ?1, ) . ………………………………………7 分
?2 (Ⅱ)当 k = - 1 时, f ( x ) 的极大值等于 3e . 理由如下:

当 k ? ?2 时, f ( x ) 无极大值. 当 ?2 ? k ? 0 时, f ( x ) 的极大值为 f ( ) ? e (

2 k

?2

4 1 ? ), k2 k

………………………………………8 分 令e (
?2

4 1 4 1 4 ? ) ? 3e ?2 ,即 2 ? ? 3, 解得 k ? ?1 或 k ? (舍). 2 k k 3 k k
………………………………………9 分

当 k ? ?2 时, f ( x ) 的极大值为 f (?1) ? ?

ek . k
………………………………………10 分

因为 e ? e , 0 ? ?
k

?2

1 1 ? , k 2

ek 1 ?2 ? e . 所以 ? k 2
因为

1 ?2 e ? 3e ?2 , 2
?2

所以 f ( x ) 的极大值不可能等于 3e .

………………………………………12 分
?2

综上所述,当 k ? ?1 时, f ( x ) 的极大值等于 3e . ………………………………………13 分 (19)(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:设椭圆 G 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a 2 b2

因为 F1 (?1,0) , ?PFO ? 45? , 1 所以 b = c = 1. 所以 a 2 = b2 + c 2 = 2 . ………………………………………2 分

x2 ? y 2 ? 1. 所以 椭圆 G 的标准方程为 2

………………………………………3 分

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) .

? y ? kx ? m1 , ? 2 (ⅰ)证明:由 ? x 2 消去 y 得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4km1x ? 2m1 ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ? 1. ?2
2 则 ? ? 8(2k 2 ? m1 ? 1) ? 0 ,

4km1 ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 , ? ? 2 ? x x ? 2m1 ? 2 . ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
所以 | AB |?

………………………………………5 分

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

? 1 ? k 2 (?

4km1 2 2m2 ? 2 ) ? 4? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2k 2 ? m12 ? 1 . 1 ? 2k 2
2 2k 2 ? m2 ? 1 . 1 ? 2k 2

? 2 2 1? k 2

同理 | CD |? 2 2 1 ? k 因为 | AB |?| CD | ,

2

………………………………………7 分

所以 2 2 1 ? k 2 因为 m1 ? m2 , 所以 m1 ? m2 ? 0 .

2k 2 ? m12 ? 1 ? 2 2 1? k 2 2 1 ? 2k

2 2k 2 ? m2 ? 1 . 1 ? 2k 2

………………………………………9 分

( ⅱ ) 解 : 由 题 意 得 四 边 形 A B C D是 平 行 四 边 形 , 设 两 平 行 线 AB, CD间 的 距 离 为 d , 则

d=

m1 - m2 1+ k 2

.

因为 m1 ? m2 ? 0 , 所以 d =

2m1 1+ k 2

.

………………………………………10 分

所以 S ?| AB | ?d ? 2 2 1 ? k 2

2k 2 ? m12 ? 1 2m1 ? 1 ? 2k 2 1? k2

2k 2 ? m12 ? 1 ? m12 (2k ? m ? 1)m 2 ?4 2 ?4 2 ?2 2 . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 2 1 2 1

(2k 2 ? 1)m12 ? m14 m12 1 1 (或 S ? 4 2 ? 4 2 ?( ? )2 ? ? 2 2 ) 2 2 2 (1 ? 2k ) 1 ? 2k 2 4
所以 当 2k ? 1 ? 2m1 时, 四边形 ABCD 的面积 S 取得最大值为 2 2 .
2 2

………………………………………13 分

(20)(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f A (1)=1 , f B (1)= -1 , A?B ? {1,6,10,16} . ………………………………………3 分 (Ⅱ)根据题意可知:对于集合 C , X ,①若 a ? C 且 a ? X ,则 Card ( ?( ?{ }) ? C X a Card C X ) ? ; ( ? 1 ②若 a ? C 且 a ? X ,则 Card (C?( X ? {a}) ? Card (C ?X ) ? 1. 所以 要使 Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 的值最小,2,4,8 一定属于集合 X ;1,6,10,16 是否属于 X 不 影响 Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 的值;集合 X 不能含有 A ? B 之外的元素. 所以 当 X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时, Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 取到最小值 4. ………………………………………8 分

(Ⅲ)因为 A?B ? {x f A ( x) ? f B ( x) ? ?1} , 所以 A?B ? B?A . 由定义可知: f A?B ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) . 所以 对任意元素 x , f( A?B) ?C ( x) ? f A?B ( x) ? fC ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) ? fC ( x) ,

f A?( B?C ) ( x) ? f A ( x) ? f B?C ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) ? fC ( x) .
所以 f( A?B) ?C ( x) ? f A?( B?C ) ( x) . 所以 ( A?B)?C ? A?( B?C ) . 由 ( P?A)?(Q?B) ? A?B 知: ( P?Q)?( A?B) ? A?B . 所以 ( P?Q)?( A?B)?( A?B) ? ( A?B)?( A?B) . 所以 P?Q?? ? ? . 所以 P?Q ? ? ,即 P = Q . 因为 P, Q ? A ? B ,
7 所以 满足题意的集合对(P,Q)的个数为 2 ? 128 .

………………………………………14 分


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