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数学思维方法CH4


数学思维方法

CH4 常用数学思维方法
? 一、解题原则和思维方式
? 二、常用的数学思维方法
? ? ? ? ? 1、分析与综合 2、形式化与演绎法 3、构造与反例 4、合理推理和数学猜想 5、观察与实验

一、解题原则和思维方式
? 数学的解题:求得正确的解决数学问题过 程和结论。 (一)数

学解题的目的(P.117) 1.通过解题加深理解,把抽象的知识具体化。 2.数学知识的实际应用能力。 3.掌握数学思维方法,培养自己的逻辑思维 能力。

(二)数学解题的一般程序
1、数学题可分为:代数题,几何题,统计题, 概率题,等等。 ? 例如: x?+y?=16 几何意义:方程表示的是一个以原点为 圆心,半径是4的圆。 代数意义:二元二次方程,有一组解集

数学解题的一般程序(P.118)
★弄清问题
★分析和制订解题计划 ★完成解题计划并检验 ★解题后的研究:

更高的要求——数学能力发展的需要

例题:过河谜题
? 一位旅行者带着一只狼,一只羊和一颗大 白菜一起去旅行。当他走到一条河边上, 发现只有一条独木舟,这意味着他一次只 能带一样东西和他一起渡河,狼,羊,或 者大白菜。很显然,如果把任意两件东西 留下,没有他的看管,狼要吃羊,羊要吃 菜,不过,狼不爱吃菜。那么,如果他要 把所有东西都安全地带过河去,那么,他 至少要来回多少次?

(1)弄清题意。
? 找出已知条件:
? 人每次只能带一样东西过河,但是狼要吃 羊,羊要吃菜,目标是把狼、羊、菜全部 安全带过河去。

(2)分析、制订解题计划。
? 因为一次只能带一样东西过河,所以必须 留下两样东西在岸边。但是,狼要吃羊, 羊要吃菜,所以,不能把狼和羊,或者羊 和菜单独放在岸边。这两个联系的关键是 中间的羊。因为狼不吃菜,所以,只要把 中间链——羊这里打断,就能始终保持安全 了。

(3)完成解题计划并检验。
? 首先,旅行者带羊过河。把狼和白菜留在岸边。
? 第二步,旅行者把羊放在对岸,自己回到对岸。 第三步,把狼带过来,放在对岸。 ? 第四步,把羊带回,放在岸边。 ? 第五步,把白菜带到对岸,和狼放在一起。 ? 第六步,旅行者自己回来。

? 第七步,把羊带过去。渡河完成。旅行者又可以 带着他奇怪的三件行李去旅行了。

次数 1 2 3 4 5 6 7

岸边 W(狼) C(菜) W C C C G G

渡船上 T(旅行者) G(羊) T T T T T T G W G C

对岸

G G W W W W C C

(4)解题后的研究
? ①探求新的解法
次数 1
2 3 4 5 6 7

岸边 W C
W W W G G C

渡船上 T G
T T T T T C G W

对岸
G G C C W W C C

T

G

②条件的改变
? 三对新娘和新郎要渡河,但小船每次只能 载两个人。而且,这三个新娘都有非常强 的占有欲,不允许自己的新郎和别的新娘 单独待在渡船上或岸边。也就是说,除非 是自己的丈夫,否则任何一位新娘都不能 和别人的丈夫独处。在新娘和新郎都会划 船的前提下,要往返几次才能渡完河? ? (OR要怎么安排渡河)?

三、数学解题的一般思路
1、调动知识储备把它们组织起来 2、按照解题要求把知识重新组合 (1)类比的解题思路:寻找问题间的联系 (2)特殊化的解题思路 (3)转换方式的解题思路(鸡兔同笼问题) (4)逆向化的解题思路(P.108,例3)

已知:0<a,b,c,d,e<1,求证: (1-a)(1-b)(1-c)(1-d)(1-e)>1(a+b+c+d+e)
? 分析: ? 原不等式中含有5个变元,比较复杂,不妨运用特 殊化方法,先考虑变元较少时的情况。 ? 若变元只有两个,则有(1-a)(1-b)=1(a+b)+ab>1-(a+b) ? 若变元为3个,则有(1-a)(1-b)(1-c)>[1(a+b)](1-c)>1-(a+b+c) ? 由此,要证明原不等式,只要在此基础上,在不 等式两边依次乘以(1-d),(1-e)即可

鸡兔同笼问题——类型1
? 小明家把鸡兔放在同一个笼里,已知鸡比兔多14只 ,共有脚136只,问:鸡和兔各有几只? ? 思路点拨: ? 鸡比兔多14只,所以在总脚数中减去14×2=28只, ? 即 136-14×2=136-28=108 ? 此时,鸡和兔的数量相同。 ? 只要用108÷(2+4)=18,即为兔的数量 ? 18+14=32,即为鸡的数量

鸡兔同笼问题——类型2
? 一个农夫有若干只鸡和兔子,它们共有50个头和140 条腿,问鸡和兔各有多少只? 算术法: ? 让鸡用一条腿、兔子用两条腿站立,显然此时腿应 当为140÷2=70条。 ? 此时,鸡的头和腿数相同,而兔子的腿数是头的两 倍,因此70-50=20条就全是兔子的腿。可见,兔子 应为20只。50-20=30只即为鸡的数量。 方程法: ? 设鸡兔各为X,Y只,则有:X+Y=50,2X+4Y=140

斐波那契的兔子问题
? 某人在一个非常大的笼子里养了一雄一雌 两只兔子。如果,每对兔子每个月能且只 能生出一对一雄一雌的小兔子,并且每对 兔子存活一个月后才能有生育能力,且每 只兔子都能存活。那么,一年后笼子里总 共有多少对兔子? 分析 ? ?斐波那契数列:1, 2, 3, 5,8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233

? 第1个月:一对兔子被放进笼子。记为R1 ? 第2个月:老兔子生了第一对小兔子,记小兔子为R2 R1+R2=2 ? 第3个月:R1生了第二对小兔子,记为R3 ? R1+R2+R3=3 ? 第4个月:R1生了第三对小兔子,记为R4 ? R2生了第一对小兔子,记为R5 ? R1+R2+R3+R4 + R5=5 ? 第5个月:R1生了第四对小兔子,记为R6 ? R2生了第二对小兔子,记为R7 ? R3生了第一对小兔子,记为R8 ? R1+R2+R3+R4 + R5+R6 + R7 + R8=8 ? … … … … ? 第12个月:R1+R2+R3+ … +R233=233

1、分析与综合
? 分析法是把研究对象分解成各个组成部分、 各个不同的因素、各个不同的层次,然后 分别地加以研究探索,从而深刻地认识和 理解事物的方法。 ? 常用来解应用题、证明几何题和证明三角 函数恒等式。又被称为“执果索因”法或 逆推法。 ? 假设整体结论成立?各部分或结论成立的条 件?整体结论成立的条件

综合法
? 综合法(“由因索果”法)是把研究对象的各个 部分、方面、因素都联系起来加以研究考虑, 从而在整体上认识和掌握事物的本质规律的一 种思维方法。 ? 综合法的思维特点是从事物的各部分、方面、 因素的特点和属性出发,寻找它们的内在联系, 然后再去认识事物的整体规律。 ? 已知条件OR已知属性?找出已知和结论的内在 联系?问题的结论

联合使用的优势(P.240)
(1)目的性更明确。

(2)整体性更充分。

例题:一组年龄问题
? (1)祖孙三代的年龄差是一样的。又知祖 父和孙子的年龄之和为84。这个岁数再加 上孙子的岁数,正好是100岁。求祖孙三代 的年龄。 孙子的年龄=100-84=16 祖父的年龄=84-16=68 年龄差=(68-16)÷2=26 父亲的年龄=16+26=42

? (2)祖孙三代的年龄加在一起正好是100 岁。祖父过的年数正好等于孙子过的月数, 儿子过的星期数正好是孙子过的天数。求 祖孙三代的年龄。 ? 分析: ? 已知祖父过的年数正好等于孙子过的月数, 说明,祖父的年龄是孙子年龄的12倍。儿 子过的星期数正好是孙子过的天数,说明, 儿子的年龄是孙子年龄的7倍

? (3)四个人年龄之和是77岁,最小的是10岁,最 大的和最小的年龄之和比另外两人的年龄之和大7 岁。最大的年龄是多少岁? ? 分析: ? 要想求出最大的年龄,因为没有办法把四个人的 年龄逐一求出,所以,首先要解决最大年龄和最 小年龄之和是多少。根据已知,最大的和最小的 年龄之和比另外两人的年龄之和大7岁,且四个人 年龄之和是77岁,可以知道: ? (77-7)÷2=70÷2=35 ? 最大年龄+最小年龄=35+7=42 ? 最大年龄=42-最小年龄=42-10=32岁

(4)祖孙年龄之谜
? 已知:祖孙三人是同一属相,且祖孙三人 的年龄之和为102岁。试问:祖孙三人的年 龄分别是多少岁? ? 分析: ? 设孙子的年龄为x,由题意可知: ? 3x+12n=102(n∈[1,8]) ? N=6,8 ? 10,34,58;6,30,66; ? 2,26,74;2,38,62

2、形式化与演绎法
? 形式化方法是数学的一个重要特征.
? 无论是在数学的具体运算还是在数学理论 的构造中,形式化方法都是一种数学的常

用方法。

哥尼斯堡”七桥问题
? 18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒 )的普莱格尔河上有7座桥,将河中的两个 岛和河岸连结,如图1所示。城中的居民经 常沿河过桥散步,于是提出了一个问题: 能否一次走遍7座桥,而每座桥只许通过一 次,最后仍回到起始地点。

每个点如果有进去的边就必须有出来的边, 从而每个点连接的边数必须有偶数个 才能完成一笔画。

3、构造与反例
? 构造和反例法也是处理数学问题的 重要形式,前者突出了数学思维的 构造性的特征,后者作为一种特殊 的构造形式也体现了数学思维的逆 向特征。 ? 反例构造法(课本P.256)

4、合理推理和数学猜想
? 例1:在周长一定的长方形里面,试问:哪一个面 积最大? ? 分析与操作: ? 这个问题实际上是一个最大值问题。即函数y= - x2+ax的最大值。 ? 但由于这个时候学生还没有正式接触过函数,自 然没有办法想到这个由方程思想转化而来的函数 最大值问题。 ? 根据学生思维的具体形象性这个特点,我们可以 让学生从实际出发,画几个周长一定的长方形 (比如,周长为12,16,20,等等)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

例如: (1)周长为12, 当长为4,宽为2时,面积是2×4=8 长为5,宽为1,面积是5×1=5 长宽均为3,面积是3×3=9(正方形) (2)周长为16, 当长为5,宽为3,面积为5×3=15 长为6,宽为2,面积为6×2=12 长为7,宽为1,面积为7×1=7 长宽均为4,面积为4×4=16(正方形) … … …

? 然后鼓励他们猜想:可能是正方形最 大。因为正方形是特殊的长方形。 (或者因为自己画的这几个图形,确 实是正方形的面积最大,原因可以是 多种的,但必须是科学的,正确的)。 如果举不出来理由,可以让学生举他 们画的几个例子来验证他们的观点。


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