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【数学】甘肃省天水市一中2016届高三下学期第四次模拟考试(文)


天水一中 2015-2016 学年第二学期高三(2013 级)第四次检测考试数学(文科)

天水一中 2015-2016 学年第二学期高三(2013 级)第四次检 测考试数学(文科)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题: (共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符 合题目要求的). 1.设集合 A={x|x

2﹣2x﹣3<0},B={x|y=lnx},则 A∩B=( A(0,3) B(0,2) C(0,1) )

D(1,2) )

2.已知 i 为虚数单位, a ? R ,若 A. 2 B. 11

2?i 为纯虚数,则复数 z ? 2a ? 2i 的模等于( a?i
C. 3 D. 6

4.向量 a , b 均为非零向量, (a ? 2b) ? a,(b ? 2a) ? b ,则 a, b 的夹角为( A.

?

?

? ?

?

?

? ?



? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.
2 7

5? 6
21 1

5.各项为正的等比数列 ?an ? 中, 则o a4 与 a14 的等比中项为 2 2 , l g A.4 B.3 C .2

ao l g?

( a 的值为



D.1

? y ?1 ? 6.已知实数 x、 y 满足 ? y ? 2 x ? 1, 如果目标函数 z ? x ? y 的最小值为-1, 则实数 m ? ( ?x ? y ? m ?
A.6 B.5 C. 4 D.3



7.一个几何体的三视图如图所示,且其侧(左)视图是一个等边三角形,则这个几何体的体 积为( )

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A.

4 3 3

B.

5 3 3

C. 2 3

D.

8 3 3

8.如下图所示的程序框图,若输出的 S ? 88 ,则判断框内应填入的条件是( )

A. k ? 3?

B. k ? 4?

C. k ? 5?

D. k ? 6?

9.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足: f (4) ? f (?2) ? 0 ,在区间 (??, ?3) 与 ? ?3,0? 上分别 递增和递减,则不等式 xf ( x) ? 0 的解集为( A. (??, ?4) ? (4, ??) C. (??, ?4) ? (?2,0) )

B. (?4, ?2) ? (2, 4) D. (??, ?4) ? (?2,0) ? (2, 4)

10.已知点 F1、F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,过 F1 的直线 l 与 a 2 b2

双曲线 C 的左、右两支分别交于 A、B 两点,若 AB : BF2 : AF2 ? 3: 4:5 ,则双曲线的离 心率为( A.2 ) B.4 C. 13 D. 15 )

ln(1 ? x) 的部分图象大致为( 11.函数 f ( x) ? 3sin x?

A.

B.

C.
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D.

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12.一矩形的一边在 x 轴上,另两个顶点在函数 y ? 形绕 x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是(

2x ( x ? 0) 的图像上,如图,则此矩 1 ? x2


A. ?

B.

? ? C. 3 4

D.

? 2
第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题: (本大题共四小题,每小题 5 分) 13. 记集合 N, ,构成的平面区域分别为 M,

现随机地向 M 中抛一粒豆子(大小忽略不计),则该豆子落入 N 中的概率为._____. 14.已知 cos(? ?

?
6

) ? sin ? ?

7 4 3 ,则 sin(? ? ? ) 的值是________. 6 5

15. 已知点 A(0, 2) ,抛物线 C1 : y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点为 F ,射线 FA 与抛物线 C 相交于 点 M ,与其准线相交于点 N ,若 FM : MN ? 1: 5 ,则 a 的值等于________.

(cos 16.数列 ?an ? 的通项 an ? n ?

2

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn ,则 S30 ? ________. 3 3

三、解答题 (本题必作题 5 小题,共 60 分;选作题 3 小题,考生任作一题,共 10 分.) 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 2 . (1)当 x ? ?0,

? ?? 时,求 f ( x ) 的值域; ? 2? ?

(2)若 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 且

b sin(2 A ? C ) ? 3, ? 2 ? 2 cos( A ? C ) ,求 f ( B ) 的值. a sin A

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18. (本小题满分 12 分) 在某大学自主招生考试中, 所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数 学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分别为 A, B, C , D, E 五个等级.某考场考 生的两科考试成绩的数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人.

(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (2)若等级 A, B, C , D, E 分别 对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分; (3)已知参 加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A ,以在至少一科成绩为 A 的考生中, 随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率.

19.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD ,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,且 与底面垂直,底面 ABCD 是 ?ABC ? 60 的菱形, M 为 PC 的中点.
0

(1)求证: PC ? AD ; (2)求点 D 到平面 PAM 的距离

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20. (本小题满分 12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 R( x0 , y0 ) 是椭 C : x ? y ? 1
24 12

2

2

上的一点,从原点 O 向圆 R : ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? 8 作两条切线,分别交椭圆于点 P, Q . (1)若 R 点在第一象限,且直线 OP, OQ 互相垂直,求圆 R 的方程; (2)若直线 OP, OQ 的斜率存在,并记为 k1 , k2 ,求 k1 ? k2 的值;

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

a 2 x ? (a ? 1) x . 2

(1)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ?2 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 x ? 0 时,

f ( x) f ?( x ) ? 恒成立,求实数 a 的取值范围. x 2

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按 所做的第一题目记分. 22. (本小题满分 10 分)

CA 切 ? O 于 A 点,CD 是 ?ACB 的平分线且交 AE 已知 C 点在 ? O 直径 BE 的延长线上,
于点 F ,交 AB 于点 D . (1)求 ? ADF 的度数; (2)若 AB ? AC ,求

AC 的值. BC

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23. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系中, 直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1? t ( t 为参数) , ?y ? t ?3

在以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方 程为 ? ?

2 cos ? . (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)若直线 l 与曲线 sin 2 ?

C 相交于 A、B 两点,求 ?AOB 的面积.

24. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? 2x ? a ? 2a . (1)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为

?x | ?6 ? x ? 4? ,求实数 a 的值;

(2)在(1)的条件下,若不等式 f ( x) ? (k ?1) x ? 5
2

的解集非空,求实数 k 的取值范围.

数学文科参考答案
一、选择题
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1.A 2.C 3.D 4.B 5.B 6.B 7.B 8.C 9.D 10.C 11.B 12.A 二、填空题 13. . 14. ?

4 5

15.

2 6 3

16 .15

f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 3sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 3 sin 2 x ? 2sin 2 x ? 1
17.解: (1)

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6

?

? ? ? 7? ? ? ? 1 ? ? ?? . .6 分 x ? ?0, ? ,∴ 2 x ? ? ? , ? ,sin(2 x ? ) ? ? ? ,1? ,∴ f ( x) ???1, 2? . 6 ?6 6 ? 6 ? 2 ? ? 2?
(2)∵由题意可得 sin ? A ? ( A ? C)? ? 2sin A ? 2sin A cos( A ? C) 有,

sin A cos( A ? C ) ? cos A sin( A ? C ) ? 2sin A ? 2sin A cos( A ? C ) ,
化简可得: sin C ? 2sin A ∴由正弦定理可得: c ? 2a ,∵ b ? 3a , ∴余弦定理可得: cos B ? ∴B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? 4a 2 ? 3a 2 1 ? ? ,∵ 0 ? B ? ? 2ac 2a?2a 2

?
3

, 所以 f ( B) ? 1

18.解: (1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 分, 所以该考场有 10 ? 0.25 ? 40 人 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的

人数 40 ? (1 ? 0.375 ? 0.375 ? 0.15 ? 0.025) ? 40 ? 0.075 ? 3 . . . . .4 分 (2)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

1? (40 ? 0.2) ? 2 ? (40 ? 0.1) ? 3 ? (40 ? 0.375) ? 4 ? (40 ? 0.25) ? 5 ? (40 ? 0.075) ? 2.9(3) 40
因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A ,又恰有两个的两科成绩等级均为 A ,所以还有 2 人只有一个科目得分为 A .设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的 同学,则在至少一科成绩等级为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为

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1 个,则 P( B) ?

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 6

19.解: (1) :取 AD 中点 O ,连结 OP, OC , AC ,依题意可知 ?PAD, ?ACD 均为正三角 形,所以 OC ? AD, OP ? AD ,又 OC ? OP ? O, OC ? 平面 POC , OP ? 平面 POC , 所以 AD ? 平面 POC ,又 PC ? 平面 POC ,所以 PC ? AD . . . . . . . . . . . .5 分 (2)点 D 到平面 PAM 的距离即点 D 到平面 PAC 的距离,由(1)可知 PO ? AD ,又平 面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , PO ? 平面 PAD ,所以 PO ? 平面 ABCD ,即 PO 为三棱锥 P ? ABC 的体高.在 Rt ?POC 中,

PO ? OC ? 3, PC ? 6 ,在 ?PAC 中 PA ? AC ? 2, PC ? 6 ,边 PC 上的高
AM ? PA2 ? PM 2 ? 10 ,所以 ?PAC 的面积 2

S?PAC ?

1 1 10 15 ,设点 D 到平面 PAC 的距离为 h ,由 PC ?AM ? ? 6 ? ? 2 2 2 2

1 1 3 2 2 15 又 S?ACD ? , 解得 h ? , VD?PAC ? VP? ACD 得, S?PAC ?h ? S?ACD ?PO , ?2 ? 3, 3 3 4 5
所以点 D 到平面 PAM 的距离为

2 15 5

20.解: (1)由圆 R 的方程知圆 R 的半径 r ? 2 2 ,因为直线 OP, OQ 互相垂直,且和圆 R
2 2 x0 y0 ? ?1② 相切,所以 OR ? 2r ? 4 ,即 x ? y ? 16 ①又点 R 在椭圆 C 上,所以 24 12
2 0 2 0

联立①②,解得 ?

? ? x0 ? 2 2 ? ? y0 ? 2 2

,所以,所求圆 R 的方程为 ( x ? 2 2)2 ? ( y ? 2 2)2 ? 8 .

(2)因为直线 OP : y ? k1 x 和 OQ : y ? k2 x 都与圆 R 相切,所以

k1 x0 ? y0 1 ? k12

?2 2,

k2 x0 ? y0
2 1 ? k2

?2 2, 化简得 k1 ? k2 ?

2 2 2 x0 y0 y0 ?8 C ? ?1, , 因为点 在椭圆 上, 所以 R ( x , y ) 0 0 2 24 12 x0 ?8

1 2 x0 1 1 2 2 2 k k ? ?? . 即 y0 ? 12 ? x0 ,所以 1 2 2 x0 ? 8 2 2 4?
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1 ? ax ? (a ? 1) ,则 f ?(1) ? 0 , x a a a 而 f (1) ? ln1 ? ? (a ? 1) ? ? ? 1 ,所以函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ? ? 1 . 2 2 2 a 则 ? ? 1 ? ?2 ,解得 a ? 2 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 2
21. (1) 由已知得 f ?( x) ? 那么 f ( x) ? ln x ? x ? 3x , f? ( x )?
2

1 2x 2 ? 3x ? 1 1 ? 2x? ,由 3 f ?( x ) ? ? 2x ? 3? ? 0, x x x

1 1 或 x ? 1 ,因则 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ) 与 (1, ??) ; . . . . . . . . . . . . .4 分 2 2 1 1 1 由 f ?( x) ? ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 ? x ? 1 ,因而 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ,1) . . . . . . .6 分 x 2 2 f ( x) f ?( x ) ln x a 1 ax a ? 1 ? ? x ? (a ? 1) ? ? ? (2)若 ,得 , x 2 x 2 2x 2 2 ln x 1 a ? 1 ? ? 即 在区间 (0, ??) 上恒成立. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 x 2x 2
得0 ? x ?
3 ln x 1 1 ? ln x 1 3? 2 lnx ? ,则 h?( x) ? ? 2? 设 h( x ) ? ,由 h?( x ) ? 0 ,得 0 ? x ? e 2 , x 2x x2 2x 2x 2

因而 h( x) 在 (0, e 2 ) 上单调递增,由 h?( x) ? 0 ,得 x ? e 2 ,因而 h( x) 在 (e 2 , ??) 上单调递
3

3

3

3

减 . . . . . . .10 分

所以 h( x) 的最大值为 h(e 2 ) ,因而

a ?1 ?3 ?e 2, 2

3 ? ? ? 从而实数 a 的取值范围为 ?a | a ? 2e 2 ? 1? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 ? ?

22. (1)∵ AC 为 ? O 的切线,∴ ?B ? ?EAC ,又 DC 是 ?ACE 的平分线, ∴ ?ACD ? ?DCB .由 ?B ? ?DCB ? ?EAC ? ?ACD ,得 ?ADF ? ?AFD ,
0 又 ?BAE ? 90 , ∴ ?ADF ?

1 AC AE ?BAE ? 450 . ? (2) ∵, ∴ ?ACE ? ?BCA ∴ , 2 BC AB
0 0

又 ?ACE ? ?ABC ? ?CAE ? ?BAE ? 180 ,∴ ?B ? ?ACB ? 30 .在 Rt ?ABE 中,∴

AC AE 3 . ? ? tan 300 ? BC AB 3
23.解: (1)由曲线 C 的极坐标方程是: ? ?

2 cos ? 2 2 ,得 ? sin ? ? 2? cos? . 2 sin ?

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∴由曲线 C 的直角坐标方程是: y ? 2 x .由直线 l 的参数方程 ?
2

? x ? 1? t ,得 t ? 3 ? y 代 ?y ? t ?3

入 x ? 1 ? t 中消去 t 得: x ? y ? 4 ? 0 ,所以直线 l 的普通方程为: x ? y ? 4 ? 0 . .5 分
2 (2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程 y ? 2 x ,得 t ? 8t ? 7 ? 0 ,设 A, B 两点
2

对应的参数分别为 t1 , t2 ,所

AB ? 2 t1 ? t2 ? 2 (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 2 82 ? 4 ? 7 ? 6 2 ,
因为原点到直线 x ? y ? 4 ? 0 的距离 d ?

?4 1?1

? 2 2 ,所以 ?AOB 的面积是

1 1 AB ?d ? ? 6 2 ? 2 2 ? 12 . 2 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分

24.解: (1)∵ 2x ? a ? 2a ? 6 ,∴ 2x ? a ? 6 ? 2a ,∴ 2a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? 2a , ∴

3 a a ? 3 ? x ? 3 ? . f ( x) ? 6 的解集为 x ? 6 ? x ? 4 , 2 2

?3 a ? 3 ? ?6 ? ?2 ,解得 a ? ?2 ? ? 3? a ? 4 ? ? 2
(2) 由 (1) 得 f( x) ? 2x 2 ? 4 ? 令 g ( x) ? 2 x ? 2 ? 1 ? ?
2

. ∴ 2x ? 2 ? 4 ? (k ?1) x ? 5 , 化简 2x ? 2 ? 1 ? (k ?1) x
2 2

? 2 x ? 3, x ? ?1 2 , y ? g ( x) 的图象如要使不等 f ( x) ? (k ?1) x ? 5 ??2 x ? 1, x ? ?1
2

的解集非空, 需 k ?1 ? 2 , 或 k ? 1 ? ?1 , ∴ k 的取值范是 k | k ? 3或k ? ? 3或k ? 0 .

?

?

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