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高二数学月考试题及答案


潮阳实验学校 2015-2016 学年度第一学期第一次月考

高 二 数 学
本试卷分选择题和非选择题两部分,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 1.答题前,务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对。 2.答选择题时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮

擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 书写,作图题可先用铅笔在答题 .... .. 卡 规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区 . 域作答,超出答题区域书写的答案无效 , 在 试题 卷、草稿纸上答题无效 。 ............. . . .. .......... 4.考试结束,务必将答题卡上交,试卷和草稿纸请自己带走。 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},则 A∩B=( A.{0} B.{0,1} C.{0,2} ) C. y ? ln x D. y ? x ) D.{0,1,2}

2.下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( A. y ? e ? x 3.下列推理错误的是( B. y ? x )

A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β=AB C.l?α,A∈l?A?α D.A∈l,l?α?A∈α 4. 已知圆的半径为 ? cm ,圆心角为 120 所对的弧长是(
?

)

A.

? cm 3
x y

B.

?2
3

cm

C.

2? cm 3
7 -2.0

D.

2? 2 cm 3

5.根据如下样本数据: 3 4.0 4 2.5 5 -0.5 ) C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 6 0.5 8 -3.0

^ 得到的回归方程为y=bx+a,则( A.a>0,b>0 6. tan690 的值为(
?

B.a>0,b<0 )

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A. ?

3 3

B.

3 3

C. 3

D. ? 3 )

7.执行如图 2 的程序框图,如果输入的 N 的值是 6,那么输出的 p 的值是( A.15 开始 输入 N B.105 C.120

D.720

k ? 1, p ? 1

p ? p?k

k ? N?




输出 p

结束

k ?k?2
8. 已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面.下列说法正确的是( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α )

图2

B.若 m⊥α,n?α ,则 m⊥n D.若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α ) D.5

9.已知 a ? (3,4) , b ? (2,1) ,则 a在b 方向上的投影为( A. 2 B. 5 2 C. 2 5

10.若将函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos2 x 的图像向右平移 ? 个单位,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的 最小正值是( A. ) B.

? 8

? 4

C.

3? 8

D.

3? 4

11.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规 定: 车辆驾驶员血液酒精浓度在 80mg/100ml (含 80)以上时,属醉酒驾车.某地对涉嫌酒后驾车 的 28800 人进行血液检测, 根据检测结果绘制的 频率分布直方图如图 1 所示. 则这 28800 人中属 于醉酒驾车的人数约为(
A. 4320 C. 8640


B. 2880 D. 5760

2 12. 已知函数 f ( x) 是定义域为 R 且周期为 3 的奇函数,当 x ? (0, ) 时, f ( x) ? ln(x ? x ? 1) ,

3 2

则函数 f ( x) 在区间[0,6]上的零点个数是( A.3 B.5

) C.7 D.9

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分
高二数学第 2 页 共 8 页

13.在等比数列 {an } 中,若 a2 ? a3 ? 3a1 ,则 a4 ?



?y ?1 ? 14.若 x 、 y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 3x ? y 的最小值为 ? x ? y ?1 ? 0 ?
15.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的 等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的表 面积是_____________. 16.定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? 3 f ( x) , 当 x ? [0,2] 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x ,当 x ? [?4,?2] 时,

.

正视图

侧视图

f ( x) ?

1 3 ( ? t ) 恒成立,则实数 t 的取值范围是_________ 18 t

俯视图

三.解答题:本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 cos (1)求 cos B 的值; (2)若 a ? 3 , b ? 2 2 ,求 c 的值.

A?C 3 . ? 2 3

18.(本小题满分 12 分) 如图,正方形 OABC 的边长为 2 (1)在其四边或内部取点 P( x, y) ,且 x, y ? Z ,求事件: “ | OP |? 1 ”的概率; (2)在其内部取点 P( x, y) ,且 x, y ? R ,求事件: “ ?POA , ?PAB , ?PBC , ?PCO 的 面积均大于

2 ”的概率。 3

y C B

O

A

x

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 O-ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, OA⊥底面 ABCD, OA=2,
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M 为 OA 的中点。 (1)求四棱锥 O-ABCD 的体积; (2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值的大小。

20.(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 满足 a1 ?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

a a2 a3 ? 2 ? ? ? nn ? 2n , n ? N* . 2 2 2 ?1

an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 。 ? an ? 1?? an?1 ? 1?

21.(本小题满分 12 分) 已知在多面体 ABCDE 中, AB ? 平面 ACD , DE // AB , AC ? AD ? CD ? DE ? 2 , A AB ? 1 , F 是 CD 的中点, B (1)求证: CD ? 平面 ABF ; (2)求多面体 ABCDE 的体积。 D E
2

C 22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? 1 ? x ? kx .
2

F

(1)若 k ? 2 ,求方程 f ( x) ? 0 的解; (2) 若关于 x 的方程 f ( x) ? 0 在 ?0,2? 上有两个解 x1 , x 2 , 求 k 的取值范围, 并证明

1 1 ? ?4. x1 x2

潮阳实验学校 2015-2016 学年度第一学期第一次月考 高二数学参考答案及评分参考
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一.选择题:CBCDB ABBCC AD 二.填空题:13.3 14. 1 15. 3 ? 三.解答题: 17.(本小题满分 12 分) 解: (1)在△ ABC 中, A ? B ? C ? ? .????????????????????1 分 所以 cos

3? 2

16. [?1,0) ? [3,??)

A?C ? ?B ? cos ?????????????????????????2 分 2 2

? sin
所以 cos B ? 1 ? 2sin

B 3 .????????????????????????3 分 ? 2 3
2

B 1 ? .???????????????????????5 分 2 3 1 (2)因为 a ? 3 , b ? 2 2 , cos B ? , 3
由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,????????????????????8 分
2 2 2

得 c ? 2c ? 1 ? 0 .
2

解得 c ? 1 .???????????????????????????????10 分 18.(本小题满分 12 分) 解:1) P( x, y) 共有 9 种情形:

(0,0) , (0,1) , (0,2) , (1,0) , (1,1) , (1,2) , (2,0) , (2,1) , (2,2)
满足 | OP |? 1 ,即

……2 分

x 2 ? y 2 ? 1 共有 6 种
……4 分 ……6 分

(0,2) , (1,1) , (1,2) , (2,0) , (2,1) , (2,2) 。
因此所求的概率是: 2)设 P 到 OA 的距离为 d , 则 S ?POA ?

6 2 ? 9 3

1 2 2 ? 2? d ? ,d ? 2 3 3 2 3

……8 分 ……9 分

所以 P 到 OA AB BC CO 的距离均大于

2 (2 ? 2 ? ) 2 3 ?1 因此所所求的概率是: 2? 2 9
19. (本小题满分 12 分)

??12 分

解:(1)由已知可求得,正方形 ABCD 的面积 S=4,
高二数学第 5 页 共 8 页

1 8 所以,四棱锥 O-ABCD 的体积 V= ×4×2= . 3 3 (2)连接 AC,设线段 AC 的中点为 E,连接 ME,DE,

……5 分

则∠EMD 为异面直线 OC 与 MD 所成的角(或其补角), 由已知,可得 DE= 2,EM= 3,MD= 5, ∵( 2)2+( 3)2=( 5)2,∴△DEM 为直角三角形, ∴tan∠EMD=

……8 分

……10 分

DE 2 6 = = . EM 3 3
a a2 a3 ? 2 ? ? ? nn ? 2n , n ? N* , ?1 2 2 2

??12 分

20.(本小题满分 12 分) 解: (1)因为 a1 ? ①

所以当 n ? 1 时, a1 ? 2 . ??????????????????????1 分 当 n ? 2 时, a1 ? ①-②得,

an ?1 a2 a3 ? 2 ?? ? n ? 2 ? n ? 1? , 2 2 2 ?2



??????2 分

an ?2. 2 n ?1

???????????????????????4 分

所以 an ? 2n .

???????????????????????????5 分

因为 a1 ? 2 ,适合上式,
* 所以 an ? 2n n ? N .????????????????????????6 分

?

?

(2)由(1)得 an ? 2n .

2n an ? 所以 bn ? ??????????????8 分 ? an ? 1?? an?1 ? 1? ? 2n ? 1?? 2n?1 ? 1?
? 1 1 ? n ?1 .??????????????????????10 分 2 ?1 2 ?1
n

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所以 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

1 ? ? 1? ?1 1? ? 1 1 ? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? n?1 ? ? 3 ? ? 3 7 ? ? 7 15 ? ? 2 ?1 2 ?1 ?
? 1? 1 2
n ?1

?1



A ??????????????????? 12 分 B

21.(本小题满分 12 分) 证明 由 AB ? 平面 ACD , CD ? 平面 ACD

AB ? CD AC ? AD ? CD ? DE ? 2 , F 是 CD 的中点, C 所以 AF ? CD CD ? 平面 ABF
2)由题意可得多面体的体积分解为 VB? ACD ? VB?CDE

………………2 分 F D

………………4 分 E

AB ? 平面 ACD , 1 VB ? ACD ? S ?ACD ? AB 3 因为 AC ? AD ? CD ? DE ? 2 , AB ? 1
因为

………………6 分

S ?A C D?

1 3 ?2?2? ? 3 2 2
………………8 分

1 1 3 VB ? ACD ? S ?ACD ? AB ? ? 3 ? 1 ? 3 3 3
因为 DE // AB , AB ? 平面 ACD 所以 DE ? 平面 ACD 由 AF ? 平面 ACD , 所以 AF ? DE ,由 AF ? CD AF ? 平面 CDE ,由 DE // AB 则三棱锥 B ? CDE 的高为 AF

………………10 分

S ?CDE ?

1 ?2?2 ? 2 2

, AF ? 3

1 2 3 VB ?CDE ? S ?CDE ? AF ? 3 3
多面体的体积 VB? ACD ? VB?CDE ? 3 22. (本小题满分 12 分) 解: (1)当 x ? 1 ? 0 即 x ? ?1, 或x ? 1时
2

………………12 分

?1 ? 3 ?1 ? 3 ,x ? 舍去 2 2 2 当 x ? 1 ? 0 即 ?1 ? x ? 1 时 2 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0, x ?

………………1 分

高二数学第 7 页 共 8 页

1 1 1? 3 1 ? 2 x ? 0, x ? ? 综上所述, x ? ? 或x?? ………………2 分 2 2 2 (2)一法:当 0 ? x ? 1 时, kx ? ?1 ,① 2 当 1 ? x ? 2 时, 2 x ? kx ? 1 ? 0 ,② 2 若 k ? 0 则①无解,②的解为 x ? ? ? (1, 2) ,故 k ? 0 不合题意。 ……………3 分 2 1 若 k ? 0 则①的解为 x ? ? , k 1 2 (Ⅰ)当 ? ? (0,1] 时,即 k ? ?1 时,方程②中 ? ? k ? 8 ? 0 , k 故方程②中一根在(1,2)内另一根不在(1,2)内,设 g ( x) ? 2x2 ? kx ?1 ?k ? ?1 ? g (1) ? 0 ? 7 ,? 则? ………………6 分 7 , 又k ? ?1, 故 ? ? k ? ?1 , 2 ? g (2) ? 0 ?k ? ? ? 2

1 1 k2 ?8 ? k 1 1 k 2 ? 8 ? k 2 ? 16k ? 64 此时 ? ? , ? ?4? x1 x2 2 x1 x2 2 7 2 2 而 (k ? 8) ? (k ? 16k ? 64) ? ?16k ? 56 ? ?16( k ? ) ? 0 2 1 1 1 1 ? k 2 ? 8 ? k 2 ?16k ? 64 ? 0 , ? ? 4 ? 0,? ? ? 4 ………………9 分 x1 x2 x1 x2 1 (Ⅱ)当 ? ? (0,1] 时,即 ?1 ? k ? 0, 或k ? 0 时,方程②在(1,2)必须有两个不同解, k 1 而 x1 x2 ? ? ? 0, 知方程②必有负根,不合题意。 ………………11 分 2 7 综上所述, ? ? k ? ?1 ………………12 分 2 ?2 x 2 ? 1,1 ? x ? 2 二法: f ( x) ? 0 ? x 2 ? 1 ? x 2 ? ?kx, x 2 ? 1 ? x 2 ? ? ?1, 0 ? x ? 1 7 7 利用两个函数的图象可得 1 ? ?k ? , ? ? k ? ?1 。 2 2

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