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奥数高中


龙文名师点睛:怎样应用旋转解题(图)
2010-10-27 10:59:10 编辑:龙文学校 来源:考试吧

图一

图二

图三

图五

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新课程标准的实施,其基本理念对近几年中考数学命题的改革产生了重大影响。新 课程标准下的初中数学教材,增添了图形变化的问题,使数学更贴近生活,几何变换这一重 要的数学思想,在近几年的中考、竞赛试题中经常出现,这使得数学试题的解题方法和技巧 更加灵活多变。只改变图形的位置,而不改变其形状大小,使几何图形重新组合,产生新的 图形关系,从而找到解决问题的途径,这是进行几何变换的目的,其中旋转变换是最常见的 手段之一。 旋转是几何变换中的基本变换,它一般先对给定的图形(或其中一部分图形),通过旋转, 改变位置后重新组合,然后在新的图形中分析有关图形之间的关系,进而揭示条件与结论之 间的内在联系,找出证题途径。 旋转变换是一种重要的几何变换,进行几何变换的目的有两个: ①揭示几何图形的性质或几何量之间的内在联系; ②使分散的元素集中,从而使表面互不相干的条件变得密切相关。 什么时候考虑用旋转变换?怎样运用旋转变换呢?下面结合例题谈谈旋转变换在平面几何 解题中的应用: 例1.如图, 正方形 ABCD 的边长为 a, 将正方形 OMNP 的一顶点 O 放在正方形 ABCD 的 对角线 AC、BD 的交点处,你能求出两正方形重叠部分的面积吗? 这道题是初二课本上的一道课后练习题, 当时我们解这道题时是从全等的角度来考虑的。 现在我们可以尝试着用新方法——旋转来解这道题。 分析:重叠部分被分为两部分△ OCF 和△ OCE,而△ OCF ≌△OBE,△ OCE≌△ODF, 我们可以将△ OCF 绕点 O 顺时针旋转90° 与原有的△ OBE 重合, 或将△ OCE 绕点 O 逆时针旋 转90° 与原有的△ ODF 重合。这样,通过旋转我们能轻而易举地知道重叠部分面积为正方形 ABCD 面积的■,所以重叠部分面积为■a2。

解:∵OB=OC ∴将△ OCF 绕点 O 顺时针旋转90° ∴△OCF≌△OBE ∴S 阴影=S△ OBC ∴S 阴影=■a2 这道题也可将△ OEC 绕点 O 逆时针旋转90° ,进行解答。 这道题是通过旋转使图形与原有图形重合,从而使重叠部分面积得到重新组合,使问题 得到解决。这个以前做过的题目,我们换一个角度再看这道题目,又别有一番风景。在感观 上认识旋转,了解旋转解题的简便之处。从中总结出用旋转解题的前提条件——相交等线段, 从感性认识上升到理性认识。 练习1.如右图所示,分别以正方形 ABCD 的边 AB、AD 为直径画半圆,若正方形的边长 为 a,求阴影部分的面积。 例2.如图所示,设 P 为等边△ ABC 内的一点,∠APB=113° ,∠APC=123° 问:(1)PA、PB、PC 能否构成三角形? (2)如果能构成三角形,请找出构成的三角形各内角的度数。 分析:已知三条线段看它能否构成三角形,方法大概有两种。从计算的角度求三边长度, 比较三边大小,利用三角形三边关系,判断能否构成三角形。或从图形的角度,看能否将其 放入一个三角形中。根据本题的实际情况求三边长度不是很现实,所以问题的解决就是看能 否把三条线段放入一个三角形中。如何将三条线段放入同一个三角形中?考虑到 AB、BC 为 两条相交等线段——利用旋转,很好地解决了这一问题。 首先,无论从历史还是从现实上看,高考命题都具备较高稳定性的特点。因此,我们可以 从历届高考试题中分析得出高考命题的许多信息。 数学高考的题型有三种:一是选择题。选择题的解题要求是选判结果、不要过程。就是 说,只需判断选择备选答案的对错,而省去了解题思路的探索、解题策略的制定、解题工具 的选择以及解题过程的实施等细节,只判结果、不要过程。由此提出的解题要求是:选择题 的解答一定要符合“快、准、巧”的要求,最忌讳的是“小题大做”。一道选择题的解答时间只 有三分钟左右, 超出三分钟时间即使能够得出正确答案也是罔然。 因此仅仅停留在会解能解 的层次上是远远不够的,选择题的答题要求是必须“快速、准确、巧妙”的选判正确答案,而 千万别把小题弄成大题解答。 二是填空题。 填空题的解题要求是只要结果、 不要过程, 而最常见的错误是答案不够“完 整、严密”。 三是解答题。解答题的最大特点是综合性,你不能把什么题都拿来作为解答题。解答题 的范围类型目前主要包括:第一,平面向量、三角函数;第二,概率(分布列)与统计(直 方图) ;第三,空间向量、立体几何;第四,函数、导数综合;第五,解析几何;第六,数 列、 或不等式与函数或解析几何的综合。 有两个新的命题趋势在被不少同学因各种原因或理 由而忽视掉了。具体说:一是空间向量的综合运用,二是函数导数的综合运用。有些同学没 有把这两部分内容全面深入地渗透到原有各个部分内容的解题中, 而是把这两部分内容仍然 孤立地与原有内容隔离开来。 要清醒地认识到, 空间向量和函数导数在原有知识内容的基础 上,给我们带来了崭新的简洁实用的解题工具,理应引起我们的高度关注。解答题的解题要 求是:解题思路清晰(为此可以适当跳步而保持思路的完整清晰) ,解题过程切忌过于琐碎; 选择合适的解题工具;制定合理的解题策略;选择简洁的解题方法。 一轮复习的目的是:全面全力夯实基础,切实掌握选择填空题的解题规律,在历次测验

中确保基础部分得满分,也就是把该得的分数确实满分拿到手。在一轮复习中,所有同学都 要集中全力闯过选择填空题的基础关,否则在高考中很难越过一百分。现实中,很多同学从 一开始便投入到漫无目的的、五花八门的、各式各样的题海中。为了在一轮复习中达到此目 的,基础稍差些的同学完全可以主动放弃大型的、复杂的综合体的演练,把节省下来的时间 和精力再次投入到选择填空题上来,以此进一步夯实基础;而基础好一些的同学,也不要把 太多的、主要的精力大面积地投入到解答题上来,而是要分专题、分阶段每天都少量地但是 细致地深入地研究一两道大解答题,在解答题上慢慢地、逐步地积累解题经验和解题规律, 切不可把摊子铺大。 要知道解答题的解题经验和解题规律积累是一个逐步的、 漫漫的由量变 到质变的过程,坚持重于冲击。 二轮复习的目的是: 争取分数超过 130 分。 在这个阶段主要是把解答题所涉及到的内容 加以综合运用,同时进一步深化高考中常见的数形结合、分类讨论、转化与化归以及函数与 方程等数学思想, 其核心则是综合能力、 创新能力的培养提高。 采取的具体办法就是分阶段、 分专题、逐一攻破,但最关键的还是在于长期的一点一滴的积累,不断地总结积累常见类型 题的解题经验和解题规律。 三轮复习的目的是:通过实战模拟,摸索、演练、积累有关答题节奏、答题策略等的经 验以及应对出现意外考题的策略, 此外还有考试心态的进一步调整等。 分析造成考试分数出 现大幅度下滑的客观的主要原因,一个是该拿的分数没拿到,二是非智力因素严重干扰。要 知道非智力因素调因素调整的不好,就会使让你发挥不出平时的水平。 【关键词】 :课外辅导机构,一对一辅导,1对1家教,龙文教育,龙文学校 教育培训学校,京城龙文中小学教育,北京龙文中小学教 即便是基础较好的同学也会在数学综合题上落分,综合题看似难度高,其实并不难,关 键是要学会解题技巧, 龙文编辑整理“名师教你巧解两大类中考数学综合题”帮您解决数学综 合题,让他以后不再是您的难题! (一)函数型综合题: 是先给定直角坐标系和几何图形,求(已知)函数的解析式(即求解前已知函数的类型), 然后进行图形的研究,求点的坐标或研究图形的某些性质。 初中已知函数有①一次函数 (包括正比例函数)和常值函数,它们所对应的图像是直 线;②反比例函数,它所对应的图像是双曲线;③二次函数,它所对应的图像是抛物线。求已 知函数的解析式主要方法是待定系数法, 关键是求点的坐标, 而求点的坐标基本方法是几何 法(图形法)和代数法(解析法)。 (二)几何型综合题: 是先给定几何图形,根据已知条件进行计算,然后有动点(或动线段)运动,对应产生线 段、面积等的变化,求对应的(未知)函数的解析式(即在没有求出之前,不知道函数解析式的 形式是什么)和求函数的定义域,最后根据所求的函数关系进行探索研究, 探索研究的一般类型有:①在什么条件下三角形是等腰三角形、直角三角形;②四边形 是菱形、 梯形等;③探索两个三角形满足什么条件相似;④探究线段之间的位置关系等;⑤探索 面积之间满足一定关系求 x 的值等;⑥直线(圆)与圆的相切时求自变量的值等。 求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系(即列出含有 x、y 的方程),变形写成 y=f(x)的形式。一般有直接法(直接列出含有 x 和 y 的方程)和复合法(列 出含有 x 和 y 和第三个变量的方程, 然后求出第三个变量和 x 之间的函数关系式, 代入消去

第三个变量,得到 y=f(x)的形式),当然还有参数法,这个已超出初中数学教学要求。 找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面 积相等……求定义域主要是寻找图形的特殊位置 (极限位置)和根据解析式求解。 而最后的探索问题千变万化, 但少不了对图形的分析和研究, 用几何和代数的方法求出 x 的值。 今年的数学综合题启示我们在进行综合思维的时候要做到: 数形结合记心头, 大题小作 来转化,潜在条件不能忘,化动为静多画图,方程函数是工具,计算推理严谨,创新品质得 提高。


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