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2013-2014学年河南省洛阳市高二(上)期末数学试卷(文科)


2013-2014 学年河南省洛阳市高二(上)期末数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。 ) (共 12 小题, 1. (5 分)已知集合 A={x|4﹣x >0},B={x| A.(﹣∞,0)∪ (2,+∞)B.(2,+∞)
2

>0},则

A∩ B 等于( C.(1,2)

) D.(﹣2,0)∪ (1,2) D.16

2. (5 分)在等差数列{an}中,若 a3+a13=4,则 a8 等于( ) A .2 B.4 C .8 3. (5 分)在△ ABC 中,边 a,b,c 的对角分别为 A,B,C,若 a =b +c + A.30° B.60° C.120° 4. (5 分) (2014?福建模拟)抛物线 y=4x 的焦点坐标是( A.(0,1) B.(1,0) C. 5. (5 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣6n,则 a10 等于( A.40 B.27 C.15
2 2 2 2 2 2

bc,则 A 的大小为( D.150° D.





) D.13 D.2x+y﹣4=0

6. (5 分)曲线 f(x)=x +3x 在 x=﹣1 处的切线方程为( ) A.x﹣y+1=0 B.x﹣y﹣1=0 C.2x+y+4=0

7. (5 分) (2010?上海) (上海春卷 16)已知 a1,a2∈(0,1) ,记 M=a1a2,N=a1+a2﹣1,则 M 与 N 的大小关系是 ( ) A.M<N B.M>N C.M=N D.不确定 8. (5 分)双曲线 C 的离心率为 A. x﹣
2

,且与椭圆
2

+

=1 有公共焦点,则双曲线 C 的方程为( C.
2



B. =1
2

﹣y =1

y﹣

=1

D. ﹣x =1 )
2

9. (5 分)已知曲线 y=x ﹣2x+3 在点 P 处切线倾斜角的范围是( A. (﹣1,﹣ ) B. ( , , ) C. ]的最小值为( C.

,π)则点 P 的纵坐标的取值范围是( D. (2, )

( ,1) )

10. (5 分)函数 y=sinx+ A .4

,x∈[ B.5

D.5 )

11. (5 分)已知函数 f(x)=cosx+ x,x∈[0,π],若 f(x)在 x0 处取得极大值,则 f(x0)的值为( A .1 B. C. D.

12. (5 分)下列四个命题: ① 定义在[a,b]上的函数 y=f(x)在(a,b)内有零点的充要条件是 f(a)f(b)<0; 2 ② 关于 x 的方程 x +ax+2=0 一根大于 1 且另一根小于 1 的充要条件是 a<﹣3; ③ 直线 l1 与 l2 平行的充要条件是 l1 与 l2 的斜率相等; ④ 已知 p:椭圆 +2y =1 的焦点在 y 轴上,q:双曲线
2

+

=1 的焦点在 x 轴上,当 p∧q 为真时,实数 k 的取

值范围是(0, ) .

其中正确命题的个数为( A .0

) B.1 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)已知命题 p:“若 ,则

C .2

D.3

”在命题 p 的逆命题、否命题和逆否命题中,假命题的个数为

_________ . 14. (5 分) 设正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 41S3 是 S6 与 S9 的等差中项, 则数列{an}的公比 q= _________ . 2 15. (5 分)在区间[﹣4,4]内任取两个实数 a,b,则使函数 f(x)=x + +b 有零点的概率为 _________ . 16. (5 分) 已知经过点 (0, ﹣8) 的直线 l 与抛物线 C: x = y 相切, 则切点 P 到抛物线 C 准线的距离为 _________ . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明或演算步骤。 17. (10 分)已知集合 M={x|2x ﹣(2a+1)x+a>0,a> },集合 N={x|?t∈R,使得 t +t+1≤x 成立},若 x∈N 是 x∈M 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 18. (12 分)已知等差数列{an}单调递增,a1=1,且 a2,a3+4,2a7+1 构成等比数列. (1)求数列{an}的公差 d (2)令 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
2 2 2

19. (12 分)已知椭圆 C: (1)求 a 的值.

+y =1(a>0)的一个焦点为(

2

,0) .

(2)直线 l 经过点 P( , ) ,且与椭圆 C 交于 A、B 两点,若点 P 恰为线段 AB 的中点,求直线 l 的方程.

20. (12 分)设△ ABC 中,边 a,b,c 的对角分别为 A,B,C,且 acosC+ c=b. (1)求 A 的大小; (2)若 a=1,求△ ABC 面积 S 的取值范围. 21. (12 分)已知函数 f(x)= mx ﹣2x+3mx(m∈R) . (1)若 m=1,f(x)在[0,4]上的最值; (2)若 m≤0,判断函数 f(x)的单调性. 22. (12 分)已知中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线 C,一条渐近线方程为 x﹣2y=0,且双曲线经过点 A(2 1) . (1)求双曲线 C 的方程; (2)设双曲线 C 的两个焦点分别为 F1,F2,过点 P(0,t)作双曲线 C 切线,切点为 M,若△ F1MF2 的面积为 求实数 t 的值. ,
2



2

2013-2014 学年河南省洛阳市高二(上)期末数学 试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。 ) (共 12 小题, 1. (5 分)已知集合 A={x|4﹣x >0},B={x| A.(﹣∞,0)∪ (2,+∞)B.(2,+∞) 考点: 专题: 分析: 解答:
2

>0},则 A∩ B 等于( C.(1,2)

) D.(﹣2,0)∪ (1,2)

交集及其运算. 集合. 分别求解二次不等式和分式不等式化简集合 A,B,然后直接利用交集运算求解.
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解:由 4﹣x >0,得 x <4,﹣2<x<2. 2 ∴ A={x|4﹣x >0}={x|﹣2<x<2}, 由 ∴ B={x| 则如图, ,得 x(x﹣1)>0,即 x<0 或 x>1. >0}={x|x<0 或 x>1},

2

2

A∩ B=(﹣2,0)∪ (1,2) . 故选:D. 点评: 本题考查了交集及其运算,考查了不等式的解法,是基础题. 2. (5 分)在等差数列{an}中,若 a3+a13=4,则 a8 等于( ) A .2 B.4 C .8 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的通项公式. 等差数列与等比数列.

D.16

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设出等差数列的首项和公差,把 a3+a13=4 用首项和公差表示,则 a8 可求. 解:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 由 a3+a13=4,得 2a1+14d=4,∴ a1+7d=2. 即 a8=a1+7d=2. 故选:A. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的性质,是基础题. 3. (5 分)在△ ABC 中,边 a,b,c 的对角分别为 A,B,C,若 a =b +c + 30 ° A. B.60° C.120° 考点: 专题: 分析: 解答:
2 2 2

bc,则 A 的大小为( D.150°



余弦定理. 解三角形. 利用余弦定理表示出 cosA,将已知等式变形后代入求出 cosA 的值,即可确定出 A 的度数.
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解:∵ a =b +c +

2

2

2

bc,
3

即 b +c ﹣a =﹣ ∴ cosA=

2

2

2

bc, =﹣ ,

∵ A 为三角形内角, ∴ A=150°. 故选:D. 点评: 此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 4. (5 分) (2014?福建模拟)抛物线 y=4x 的焦点坐标是( A.(0,1) B.(1,0) C.
2

) D.

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: 把抛物线 y=4x 的方程化为标准形式,确定开口方向和 p 值,即可得到焦点坐标. 解答: 2 2 解:抛物线 y=4x 的标准方程为 x = y,p= ,开口向上,焦点在 y 轴的正半轴上,
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故焦点坐标为(0, 故选 C.

) ,

点评: 本题考查抛物线的标准方程,以及简单性质的应用;把抛物线 y=4x2 的方程化为标准形式,是解题的关键. 5. (5 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣6n,则 a10 等于( A.40 B.27 C.15 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的前 n 项和. 等差数列与等比数列.
2

) D.13

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根据数列前 n 项和的性质直接利用 a10=S10﹣S9 计算即可. 2 解:∵ 数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣6n, ∴

=13. 故选:D. 点评: 本题考查数列前 n 项和的定义和利用前 n 项和求数列项的技巧,属于基础题. 6. (5 分)曲线 f(x)=x +3x 在 x=﹣1 处的切线方程为( ) A.x﹣y+1=0 B.x﹣y﹣1=0 C.2x+y+4=0
2

D.2x+y﹣4=0

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 2 分析: 求出函数 f(x)在 x=﹣1 处的函数值和导数值,然后直接利用直线方程的点斜式得曲线 f(x)=x +3x 在 x= ﹣1 处的切线方程. 解答: 解:由 f(x)=x2+3x,得 f′ (x)=2x+3, ∴ f′ (﹣1)=2×(﹣1)+3=1, 2 又 f(﹣1)=(﹣1) +3×(﹣1)=﹣2, ∴ 切点为(﹣1,﹣2) , 2 则曲线 f(x)=x +3x 在 x=﹣1 处的切线方程为 y﹣(﹣2)=1×(x+1) , 即 x﹣y﹣1=0.
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4

故选:B. 点评: 本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,关键是明确给出的点是否为切点,是中档题,也是易 错题. 7. (5 分) (2010?上海) (上海春卷 16)已知 a1,a2∈(0,1) ,记 M=a1a2,N=a1+a2﹣1,则 M 与 N 的大小关系是 ( ) A.M<N B.M>N C.M=N D.不确定 考点: 专题: 分析: 解答: 不等式比较大小. 计算题. 根据题意,利用作差法进行求解.
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解:由 M﹣N=a1a2﹣a1﹣a2+1 =(a1﹣1) (a2﹣1)>0, 故 M>N, 故选 B. 点评: 此题考查大小的比较,利用作差法进行求解,是一道基础题.

8. (5 分)双曲线 C 的离心率为 A. x﹣
2

,且与椭圆
2

+

=1 有公共焦点,则双曲线 C 的方程为( C.
2



B. =1

﹣y =1

y﹣

=1

D. ﹣x =1
2

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由已知条件,先求出椭圆的焦点,于是得到双曲线的焦点,再由双曲线的离心率,能求出双曲线方程. 解答:
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解:∵ 椭圆

+

=1 的焦点是 F1(﹣

,0) ,



双曲线 C 的离心率为

,且与椭圆

+

=1 有公共焦点,

∴ 设双曲线方程为







解得 a=2,c= ∴ 双曲线方程为

,b=

=1, .

故选:B. 点评: 本题考查双曲线方程的求法,解题时要认真审题,要熟练掌握椭圆和双曲线简单性质.
2

9. (5 分)已知曲线 y=x ﹣2x+3 在点 P 处切线倾斜角的范围是(

,π)则点 P 的纵坐标的取值范围是(



5

A.

(﹣1,﹣ )

B.

( ,



C.

( ,1)

D. (2, )

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出原函数的导函数,由倾斜角的范围得到导函数的范围,从而得到点 P 横坐标的范围,代入函数解析式 得点 P 的纵坐标的取值范围. 解答: 解:设 P(x0,y0) ,
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由 y=x ﹣2x+3,得 y′ =2x﹣2, ∵ 在点 P 处切线倾斜角的范围是( ∴ ﹣1<2x0﹣2<0,解得: ∴ ∵ ,∴ . . ,π) , . ,

2



∴ 点 P 的纵坐标的取值范围是

故选:D. 点评: 本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,函数在某点处的导数值就是对应曲线在该点处的切线 的斜率,考查了利用配方法求函数的值域,是中档题. ,x∈[ B.5 ]的最小值为( C.

10. (5 分)函数 y=sinx+ A .4



) D.5

考点: 三角函数的最值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 依题意,知 ≤sinx≤1,令令 t=sinx,t∈[
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,1],利用双钩函数 f(t)=t+ 在[

,1]上单调递减的性质即

可求得其最小值. 解答: 解:∵ x∈[ , ],

∴ ≤sinx≤1, 令 t=sinx,t∈[ ∵ f′ (t)=1﹣ 由 1﹣ ,1], ,

<0(t≠0)得:﹣2<t<0 或 0<t<2, ,1]?(0,2) ,

∴ 双钩函数 f(t)=t+ 在(0,2)上单调递减,[ ∴ f(t)=t+ 在[ ,1]上单调递减,

∴ f(t)min=f(1)=1+4=5,
6

即函数 y=sinx+

,x∈[



]的最小值为 5,

故选:B. 点评: 本题考查三角函数的最值,着重考查转化思想与双钩函数的单调性质,属于中档题. 11. (5 分)已知函数 f(x)=cosx+ x,x∈[0,π],若 f(x)在 x0 处取得极大值,则 f(x0)的值为( A .1 B. C. D.



考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 先求出函数的导数,判断出单调区间,求出函数的极大值点,从而求出函数值. 解答: 解;∴ f′ (x)=﹣sinx+ ,
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当 f′ (x)>0 时,sinx< , ∴ f(x)在[0, ∴ x0= , + ? = , )上递增,在( ,π]递减,

∴ f(x0)=cos

故选:C. 点评: 本题考察了利用导数判断函数的单调性,求函数的极值问题,本题是一道基础题. 12. (5 分)下列四个命题: ① 定义在[a,b]上的函数 y=f(x)在(a,b)内有零点的充要条件是 f(a)f(b)<0; 2 ② 关于 x 的方程 x +ax+2=0 一根大于 1 且另一根小于 1 的充要条件是 a<﹣3; ③ 直线 l1 与 l2 平行的充要条件是 l1 与 l2 的斜率相等; ④ 已知 p:椭圆 +2y =1 的焦点在 y 轴上,q:双曲线
2

+

=1 的焦点在 x 轴上,当 p∧q 为真时,实数 k 的取

值范围是(0, ) . 其中正确命题的个数为( A .0 ) B.1

C .2

D.3

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 规律型. 分析: ① 根据函数零点存在定理进行判断. ② 根据一元二次函数根的分布进行判断即可. ③ 根据直线平行的充要条件,即可判断. ④ 根据椭圆和双曲线的定义,以及复合命题的关系即可判断. 解答: 解:① 定义在[a,b]上的函数 y=f(x)在(a,b)内若 f(a)f(b)<0,则函数 f(x)有零点,反之不一定 成立,比如 f(x)=|x|在[﹣1,1]存在零点 0,但 f(﹣1)f(1)>0,∴ ① 错误; 2 2 ② 若关于 x 的方程 x +ax+2=0 一根大于 1 且另一根小于 1,则设 f(x)=x +ax+2,则 f(1)=3+a<0,即 a <﹣3,∴ ② 正确; ③ 若 l1 与 l2 的斜率相等,则直线 l1 与 l2 平行,但 l1 与 l2 的倾斜角为 90°时,满足两直线平行,但 l1 与 l2 的
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斜率不存在,∴ ③ 错误; ④ 若椭圆 +2y =1 的焦点在 y 轴上,则
2

,即 3

,若双曲线

+

=1 的焦点在 x

轴上,则

,即 0<k<4,

∴ 当 p∧q 为真时,p,q 同时为真,即

,解得 3

,∴ 实数 k 的取值范围是(3, ) ,∴ ④ 错误.

故正确的是② , 故选:B. 点评: 本题主要考查各种命题的真假判断,涉及的知识点较多,考查学生的综合知识的应用. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分) 已知命题 p: “若 , 则 ”在命题 p 的逆命题、 否命题和逆否命题中, 假命题的个数为 1 .

考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 本题的关键是判定命题 p:“若
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,则

”在命题 p 的逆命题、否命题和逆否命题中的真假情况

解答: 解:原命题 p:“若 ,则 ”

不妨取 a=1,b=5,显然不满足 故原命题为假,故逆否命题为假 逆命题:若 ,则若 ,

显然为真,故否命题为真. 故在命题 p 的逆命题、否命题和逆否命题中,假命题的个数为 1 个 故答案为:1 点评: 本题考查的知识点是复合命题的真假判定,解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假,再根据 真值表进行判断. 14. (5 分)设正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 41S3 是 S6 与 S9 的等差中项,则数列{an}的公比 q= 2 .

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由 41S3 是 S6 与 S9 的等差中项,得 82S3=S6+S9,可知 q≠1,由等比数列求和公式可得关于 q 的方程,解出 即可. 解答: 解:∵ 41S3 是 S6 与 S9 的等差中项, ∴ 82S3=S6+S9,
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易知 q≠1,∴
3 6 9 3 6 3



即 82(1﹣q )=2﹣q ﹣q =(1﹣q ) (q +2q +2) , 6 3 ∴ q +2q ﹣80=0, 3 3 得 q =8 或 q =﹣10(舍) , ∴ q=2, 故答案为:2. 点评: 本题考查等比数列的前 n 项和公式,考查学生的运算求解能力,解决本题的难点是方程的求解,高次方程 往往需要通过因式分解解决. 15. (5 分)在区间[﹣4,4]内任取两个实数 a,b,则使函数 f(x)=x +
2

+b 有零点的概率为



考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 根据题意,以 a 为横坐标、b 为纵坐标建立如图所示直角坐标系,得到所有的点在如图的正方形 OABC 及 2 其内部任意取,由一元二次方程根与系数的关系,算出函数 f(x)=x + x+b 有零点时满足 a≥4b,满足条 件的点(a,b)在正方形内部且在直线 a﹣4b=0 的下方,因此可得阴影面积除以正方形的面积,即可得到 所求的概率. 解答: 解:∵ 两个数 a、b 在区间[﹣4,4]内随地机取, ∴ 以 a 为横坐标、b 为纵坐标建立如图所示直角坐标系, 2 若函数 f(x)=x + x+b 有零点,则 △ =a﹣4b≥0,解之得 a≥4b,满足条件的点(a,b)在直线 a﹣4b=0 的下方,且在正方形内部,
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其面积为 S1= ×[(﹣1)﹣(﹣4)+1﹣(﹣4)]×[4﹣(﹣4)]=32 ∵ 正方形的面积为 S=8×8=64 ∴ 函数 f(x)=x + 故答案为:
2

+b 有零点的概率为 P=

= ,

点评: 本题给出 a、b 满足的关系式,求函数 f(x)=x2+ +b 有零点的概率,着重考查了面积计算公式、一元 二次方程根的判别式和几何概型计算公式等知识,属于基础题.
2

16. (5 分)已知经过点(0,﹣8)的直线 l 与抛物线 C:x = y 相切,则切点 P 到抛物线 C 准线的距离为



考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;点到直线的距离公式.
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专题: 导数的综合应用. 分析: 化抛物线方程为一般函数式,设出切点坐标,求导后得到函数在切点处的导数,写出点斜式方程,代入点 (0,﹣8) ,得到切点的坐标,然后由抛物线的定义求得切点 P 到抛物线 C 准线的距离. 解答: 2 2 解:由 x = y,得 y=8x ,∴ y′ =16x. 设切点坐标为(x0,y0) ,∴ ∴ 直线 l 的方程为 代入点(0,﹣8) ,得﹣8﹣8 即 ∴ ,解得:x0=±1. , = . , , =16x0(0﹣x0) ,

则切点 P 到抛物线 C 准线的距离为 8+ 故答案为: .

点评: 本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,考查了利用抛物线的定义求抛物线上的点到准线的距 离,体现了数学转化思想方法,是中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明或演算步骤。 17. (10 分)已知集合 M={x|2x ﹣(2a+1)x+a>0,a> },集合 N={x|?t∈R,使得 t +t+1≤x 成立},若 x∈N 是 x∈M 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 专题: 分析: 解答: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 简易逻辑. 分别求出集合 M,N 成立的等价条件,利用充分不必要条件的定义即可得到结论. 2 解:∵ 2x ﹣(2a+1)x+a>0, ∴ (x﹣a) (2x﹣1)>0,
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2

2

∵ a> , ∴ 不等式的解为 x>a 或 x< , 即 M={x|x>a 或 x< }. ∵ t +t+1=(t+ ) + ≥ , ∴ 若?t∈R,使得 t +t+1≤x 成立, 则 x≥ , 即 N={x|x≥ }. 若 x∈N 是 x∈M 的充分不必要条件, 则 N?M, 即 a< ,
10
2 2 2

∴ 实数 a 的取值范围是

a< .

点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用不等式的性质求出 M,N 的等价条件是解决本题的关键. 18. (12 分)已知等差数列{an}单调递增,a1=1,且 a2,a3+4,2a7+1 构成等比数列. (1)求数列{an}的公差 d (2)令 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由 a2,a3+4,2a7+1 构成等差数列,得
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,即(5+2d) =(1+d) (3+12d) ,

2

解出可得; (2)由(1)易求 an,进而可表示出 bn,分母有理化后利用裂项相消法可求得 Sn. 解答: 解: (1)∵ a2,a3+4,2a7+1 构成等差数列, ∴
2



即(5+2d) =(1+d) (3+12d) , 解得 d=2,或 d=﹣ ,

又{an}单调递增, ∴ d=2; (2)由(1)可得 an=1+2(n﹣1)=2n﹣1, ∴ bn= = = ,

∴ Sn= ( = ( = (

﹣1)+

+ +

+…+ )

﹣1) .

点评: 本题考查等差数列的通项公式、等比中项及数列求和等知识,考查裂项相消法对数列求和,裂项相消法是 数列求和的常用方法,要熟练掌握.

19. (12 分)已知椭圆 C: (1)求 a 的值.

+y =1(a>0)的一个焦点为(

2

,0) .

(2)直线 l 经过点 P( , ) ,且与椭圆 C 交于 A、B 两点,若点 P 恰为线段 AB 的中点,求直线 l 的方程.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;直线的一般式方程;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 2 2 (1)根据椭圆 C: +y =1(a>0)的一个焦点为( ,0) ,可得 a ﹣1=3,即可求出 a;
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(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2=1,y1+y2=1,利用点差法求出直线的向量,可求直线 l 的方程. 解答: 解: (1)∵ 椭圆 C:
2

+y =1(a>0)的一个焦点为(

2

,0) ,

∴ a ﹣1=3, ∴ a=2; (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2=1,y1+y2=1; 2 2 2 2 由(1)知,x1 +4y1 =4,① x2 +4y2 =4,② ① ﹣② 得: (x1+x2) (x1﹣x2)+4(y1+y2) (y2﹣y1)=0, ∴ (x1﹣x2)+4(y2﹣y1)=0, 由题意知,直线 l 的斜率存在,k= =﹣ ,

∴ 直线 l 的方程为 y﹣ =﹣ (x﹣ ) ,即 2x+8y﹣5=0. 点评: 本题考查椭圆的标准方程与几何性质,考查点差法求直线方程,正确运用点差法是关键. 20. (12 分)设△ ABC 中,边 a,b,c 的对角分别为 A,B,C,且 acosC+ c=b. (1)求 A 的大小; (2)若 a=1,求△ ABC 面积 S 的取值范围. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用余弦定理表示出 cosC,代入已知等式中变形得到关系式,再利用余弦定理表示出 cosA,将得出 关系式代入求出 cosA 的值,即可确定出 A 的度数; (2)利用余弦定理列出关系式,将 a 与 cosA 的值代入,利用基本不等式求出 bc 的范围,再利用面积公式 即可求出 S 的范围. 解答:
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解: (1)将 cosC= 整理得:b +c ﹣a =bc, ∴ cosA= ∵ A 为三角形内角, ∴ A= ; = ,
2 2 2

代入已知等式得:a?

+ c=b,

(2)∵ a=1,cosA= , ∴ 由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA, 2 2 即 1+bc=b +c , 2 2 ∵ b +c ≥2bc,即 1+bc≥2bc, ∴ 0<bc≤1, ∴ 0< bcsinA≤ , ].
2 2 2

则 S 的取值范围为(0,

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握公式及定理是解本题的关键.
12

21. (12 分)已知函数 f(x)= mx ﹣2x+3mx(m∈R) . (1)若 m=1,f(x)在[0,4]上的最值; (2)若 m≤0,判断函数 f(x)的单调性. 考点: 二次函数在闭区间上的最值;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据 f(x)= ﹣ 在[0,4]上是增函数,从而求得 f(x)在[0,4]上的最值.
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2

(2)若 m=0,f(x)=﹣2x,显然函数 f(x)在 R 上是减函数.若 m<0,根据函数 f(x)= mx ﹣2x+3mx 的对称轴方程,求得 f(x)的单调区间. 解答: 解: (1)若 m=1,则 f(x)= x +x=
2

2



在[0,4]上是增函数, .

故当 x=0 时,f(x)取得最小值为 0,当 x=4 时,f(x)取得最大值为 (2)若 m=0,f(x)=﹣2x,显然函数 f(x)在 R 上是减函数.

若 m<0,由于函数 f(x)= mx ﹣2x+3mx 的对称轴为 x= ﹣ <﹣ , 故函数 f(x)在(﹣∞, ﹣ ) 上是减函数,在( ﹣ ,+∞)上是增函数. 点评: 本题主要考查二次函数的性质应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题. 22. (12 分)已知中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线 C,一条渐近线方程为 x﹣2y=0,且双曲线经过点 A(2 1) . (1)求双曲线 C 的方程; (2)设双曲线 C 的两个焦点分别为 F1,F2,过点 P(0,t)作双曲线 C 切线,切点为 M,若△ F1MF2 的面积为 求实数 t 的值. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;双曲线的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)根据双曲线的一条渐近线方程为 x﹣2y=0,可设双曲线 C 的方程 x2﹣4y2=λ,代入点 A(2 可得双曲线 C 的方程;
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2





,1) ,

(2)利用△ F1MF2 的面积为

,求出 M 的坐标,求导数,得到切线的向量,即可求实数 t 的值.

解答: 解: (1)∵ 双曲线的一条渐近线方程为 x﹣2y=0, 2 2 ∴ 可设双曲线 C 的方程 x ﹣4y =λ, ∵ 双曲线经过点 A(2 ,1) , ∴ 8﹣4=λ, ∴ λ=4, ∴ 双曲线 C 的方程为 ; ,0) ,F2( ,0) ,∴ |F1F2|=2 .

(2)双曲线 C 的两个焦点分别为 F1(﹣ 设 M(x,y) ,则∵ △ F1MF2 的面积为 ∴ = , ,

13

∴ |y|= , ∴ |x|= , , ) ,则 PM 的方程为 y= x+t,

取点 M(



,可得

,∴ y′ =



x=

时,y′ =





=



∴ t=﹣2, 同理,根据对称性,可得 t=2. 点评: 本题考查双曲线的方程与几何性质,考查三角形面积的计算,考查双曲线的切线,考查学生的计算能力, 属于中档题.

14

参与本试卷答题和审题的老师有:sxs123;sllwyn;minqi5;zhtiwu;youyou;zlzhan;wfy814;1619495736;maths; Math 何;wyz123;szjzl;刘长柏;caoqz(排名不分先后)
菁优网 2014 年 12 月 20 日

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