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平面向量-教师版


第五章平面向量 第1讲向量的线性运算 随堂演练巩固 1.如图,向量a-b等于()

A.-2e 1 ? 4 e 2 C.e 1 ? 3 e 2

B.-4e 1 ? 2 e 2 D.-e 1 ? 3 e 2

【答案】 D 【解析】a-b=a+(-b),即是连接向量a的起点与向量-b的终点且指向向量-b的向量,那么此向量

为-e ? 3 e 2 ? 故选D. 1 2.已知O、A、B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2 A C + C B =0,则 O C 等于()
??? ??? ? ?
??? ?

????

??? ?

????

??? ?

??? ?

A.2 O A - O B
3 3

C. 2 O A ? 1 O B 【答案】 A
????

??? ?

B.- O A +2 O B
??? ? 3 3

D. ? 1 O A ? 2 O B
? ???? ??? ??? ???? ?

??? ?

【解析】依题意得2( O C - O A )+( O B - O C )=0, 所以 O C =2 O A - O B .
??? ??? ? ?

3.已知向量a、b,且 A B ? a+2b ? B C ? ? 5 a+6b ? C D ? 7 a-2b,则一定共线的三点是() A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D 【答案】 A 【解析】 B D ? B C ? C D ? ( ? 5 a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2(a+2b ) ? 2 A B ∴ B D 与 A B 共线.又∵ B D 与 A B 有公共点B, ∴A、B、D三点共线.
??? ? ????
???? ????
???? ??? ? ???? ??? ?
???? ??? ? ????

??? ?

????

????

??? ?

4.在 ? ABCD中 ? A B ? a ? A D ? b ? A N ? 3 N C ? M 为BC的中点,则 M N ? () A. ? 1 a ? 1 b
4 4

???? ?

B. ? 1 a ? 1 b

C.a ? 1 b 2 【答案】 A
???? ????
???? ????

2 2 3 ? 3 D. ? a b 4 4
???? ?

【解析】由 A N ? 3 N C ? 得 4 A N ? 3 A C ? 3( a+b),又 A M ? a ? 1 b,
???? ? ???? ???? ? 所以 M N ? A N ? A M ? 3 ( a+b)-(a ? 1 b ) ? ? 1 a ? 1 b. 4 4 2 4
???? ??? ? ???? ? A C ? ? A E ? ? A F ? 其中 ? ? ? ? R,则 ? ? ? ? .

2

5.(2012 山 东 枣 庄 段 考 ) 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ,E 和 F 分 别 是 边 CD 和 BC 的 中 点

【答案】 4
3

【解析】设 A B ? a ? A D ? b, 由题意可得 A C ? a+b,
????

??? ?

????

??? ? ???? A E ? 1 a+b ? A F ? a ? 1 b, 2 2 ???? ??? ? ???? 又∵ A C ? ? A E ? ? A F ?

∴a+b ? ? ( 1 a+b ) ? ? ( a ? 1 b)
2 2 1 ? ? ? ) ? (? ? 1 ? ) ? ( a b. 2 2

? 1 ? ? ? ? 1? ?2 ∴? ?? ? 1 ? ? 1? ? 2

∴? ? ? ? 4 .
3

课后作业夯基 1.给出以下命题: ①若两非零向量a,b,使得a ? ? b ( ? ? R),那么a∥b; ②若两非零向量a∥b,则a ? ? b ( ? ? R); ③若 ? ? R,则 ? a∥a; ④若 ? ? ? ? R ? ? ? ? ? 则 ( ? ? ? ) a与a共线. 其中正确命题的个数是() A.1 B.2 C.3 【答案】 D 【解析】a∥b(b ? 0 ) ? 存在实数 ? 使得a ? ? b, ∴①②③④正确. 2.设四边形ABCD中,有 D C ? 1 A B 且| A D |=| B C |,则这个四边形是()
2

D.4

????

??? ?

????

????

A.平行四边形 C.等腰梯形 【答案】 C

B.矩形 D.菱形
??? ?

【解析】∵ D C = 1 A B ,∴ D C ∥ A B .∴AB∥CD,且 D C ? A B ? 又| A D |=| B C |,
2

????

????

??? ?

????

????

∴四边形ABCD为等腰梯形.
????

3.在平行四边形ABCD中, A B - C D + B D 等于()
????

??? ???? ?

????

??? ?

????

A. D B 【答案】 D

B. A D
???? ??? ? ????

C. A B
???? ????

D. A C

【解析】 A B - C D + B D = A B + B D + D C = A C .

??? ???? ?

4.在△ABC中, A B =c, A C =b,若点D满足 B D =2 D C ,则 A D 等于() A. 2 b ? 1 c
3 3 2 ?1 C. b c 3 3

??? ?

????

????

????

????

B. 5 c ? 2 b

3 3 1 ? 2 D. b c 3 3

【答案】 A 【解析】如图,

???? ???? ??? ???? ? 2 A D = A B + B D =c ? B C 3

=c ? 2 ( b-c)

3 2 ?1 ? b c, 3 3
????

故选A. A. 1 B. 1
???? ? ???? ??? ?

5.△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM中点 ? A N ? ? A B ? ? A C ? 则 ? ? ? 的值为()
2 3
????

??? ?

????

C. 1
??? ?

4
????

D.1

【答案】 A

【解析】 A M ? 2 A N ? 2 ( ? A B ? ? A C ) ? 2 ? A B ? 2 ? A C . ∵M、B、C共线,∴ 2 ? ? 2 ? ? 1? ? ? ? ? 1 .
2

6.在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若
???? ???? ???? A C =a, B D =b,则 A F 等于()

A. 1 a ? 1 b
4 2 C. 1 a ? 1 b 2 4

B. 2 a ? 1 b

3 3 D. 1 a ? 2 b 3 3

【答案】 B 【解析】如图,

???? ???? ???? A F = A D + D F ,由题意知,DE∶BE=1∶3=DF∶AB, ??? ? ???? ∴ DF ? 1 AB . 3 ???? ∴ A F ? 1 a ? 1 b ? 1 ? ( 1 a ? 1 b) 2 2 3 2 2

??? ? ??? ? ??? ? ???? ? AB ? 7.(2012湖南长沙检测)已知平面上不共线的四点O、A、B、C.若 O A ? 4 O B ? 3 O C ? 0,则 ???? ? BC ?

? 2 a ? 1 b. 3 3

等于() A. 1 3 【答案】 D
??? ? ??? ?

B. 1
????

2
??? ? ??? ?

C.2
??? ?

D.3
????

【解析】∵ O A ? 4 O B ? 3 O C ? 0,∴ ( O A ? O B ) ? 3 O B ? 3O C =0,
??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ???? ? ? AB ? 即 O A ? O B ? 3( O B ? O C ) ? ∴ B A ? 3 C B .∴ ???? ? 3 . ? BC ? ???? ??? ? ??????? ? ??????? ??????? ? 8.已知 O P1 ? a ? O P2 ? b ? P1 P ? ? P P2 ? 则 O P ? .

a? ? b 1? ? 1? ? ???? ??????? ??? ? ??????? 【解析】 O P ? O P1 ? P1 P ? O P1 ? 【答案】 1
? O P1 ?
???????

?
1? ?

????????

P1 P2

?
1? ?

( O P2 ? O P1 ) 1 a ? ? b. 1? ? 1? ?

??????? ?

???????

=a ?

?
1? ?

( b-a ) ?

9.若2( x ? 1 a ) ? 1 ( b ? c ? 3 x ) ? b=0,其中a,b,c为已知向量,则未知向量x=.

3 2 4 1 ? 1 【答案】 a? b c 21 7 7 【解析】 2 x ? 2 a ? 1 b ? 1 c ? 3 x+b=0, 3 2 2 2 4 ? 1 ? 1 故x ? a b c. 21 7 7 ???? ???? ??? ? 10.在△ABC中, A B =a, B C =b,AD为BC上的中线,G为△ABC的重心,则 A G =.

【答案】 2 a ? 1 b

3 3 ???? ??? ???? ? ???? 【解析】 A G ? 2 A D ? 2 ( A B + B D ) 3 3 ??? ? ???? 2 ( AB ? 1 BC ? ) 3 2 ? 2 a ? 1 b. 3 3 ??? ? ???? ??? ? 11.设向量e 1 ? e 2 不共线 ? A B ? 3( e 1 ? e 2 ) ? C B ? e 2 ? e 1 ? C D ? 2 e 1 ? e 2 ? 给出下列结论:①A、B、

C共线;②A、B、D共线;③B、C、D共线;④A、C、D共线.其中所有正确结论的序号为. 【答案】④ 【解析】 A C ? A B ? C B ? 4 e 1 ? 2 e 2 ? B D ? C D ? C B ? 3 e 1 ? 由向量共线的充要条件b ? ? a(a
? 0)可得A、C、D共线,而其他 ? 无解. ??? ? ???? ??? ? 12.设e 1 ? e 2 是两个不共线向量,已知 A B ? 2 e 1 ? k e 2 ? C B ? e 1 ? 3e 2 ? C D ? 2 e 1 ? e 2 ? 若A、B、D
???? ??? ? ??? ?
???? ???? ??? ?

三点共线,求实数k的值.
??? ?
???? ???? ??? ?

【解】∵ C B ? e 1 ? 3 e 2 ? C D ? 2 e 1 ? e 2 ? ∴ BD ? C D ? C B ? (2 e1 ? e 2 ) ? ( e1 ? 3 e 2 ) ? e1 ? 4 e 2 . ∵A、B、D三点共线,∴ A B ∥ B D .∴ A B ? ? B D .
??? ? ????

????

??? ?

????

∴2e 1 ? k e 2 ? ? ( e 1 ? 4 e 2 ) . ∴2e 1 ? k e 2 ? ? e 1 ? 4 ? e 2 . 又e 1 ? e 2 是两个不共线向量, ∴?
? 2 ? ?? ?k ? ?4? ?

∴k=-8.
????
??? ? ??? ?

13.在△ABC中,AB=5,AC=5,BC=6,内角平分线交点为O,若 A O ? ? A B ? ? B C ? 求 ? 与 ? 的和. 【解】如图,AB=AC,由已知D为BC的中点,由角平分线定理知



AB ? AO ? 5 ? BD OD 3 AO 5
AD 8 5 8

= ,于是 AO = ( AB +
5
1 2

5 8 5 8

AD AB

= ( AB + BD )
8

5

=

BC
5 16
5 16

)=

+

5 16

BC

.

∴λ = ,μ =
8
5 8

. =
15 16
??? ? ? 2 ???? ??? AD , AB 3

∴λ +μ = +

. =a, AC =b.

14如图所示,在△ABC中,D、F分别是BC、AC的中点, A E =

(1)用a,b表示向量 A D 、 A E 、 A F 、 B E 、 B F ; (2)求证:B、E、F三点共线.
????

????

??? ?

????

??? ?

??? ?

(1)解:延长AD到G,使 A D =

1 2

AC

,

连结BG、CG,得到 ? ABGC, 所以 AC =a+b,
???? AD

= =

1 2

AC

=

1 2

(a+b),
????

2 ???? 1 AD = 3 3 ??? ??? ? ? ??? ? BE = AE - AB
??? ? BF ???? ??? ?

??? ? AE

(a+b), A F =
1

1 2

AC
1 3

=

1 2

b,

= (a+b)-a=
3

(b-2a),

= AF - AB =

1

b-a=

1

(b-2a). ,

2 ??? ? (2)证明:由(1)可知 B E

2 ? 2 ??? = BF 3

所以B、E、F三点共线.
第2讲向量的坐标运算 随堂演练巩固 1.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b等于() A.(7,3) B.(7,7) C.(1,7) 【答案】 A 【解析】a-2b=(3,5)-(-4,2)=(7,3). 2.已知向量a=(1,3),b=(2,1),若(a+2b)与(3a ? ? b)平行,则 ? 的值等于() A.-6 B.6 C.2 【答案】 B 【解析】a+2b=(5,5),3a ? ? b ? (3 ? 2 ? ? 9 ? ? ) . ∵(a+2b)∥(3a ? ? b), ∴ 5(9 ? ? ) ? 5(3 ? 2 ? ) ? 0 ? 解得 ? ? 6 . A. ( 3 ? ? 4 )
5 4 ? 3) C. ( ? 5 5 5

D.(1,3)

D.-2

3.已知两点A(4,1)、B(7,-3),则与向量 A B 同向的单位向量是() B. ( ? 3 ? 4 )
5 5 4 ?? 3) D. ( 5 5
??? ? ??? ?
2 2

??? ?

【答案】 A

【解析】∵ A B =(3,-4),| A B | ?

3 ? ( ? 4 ) ? 5? ??? ? ??? ? ∴与 A B 同向的单位向量是 1 A B ? ( 3 ? ? 4 ) . 5 5 5

4.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且 B C ? 2 A D ? 则顶点D的坐标为()

????

????

A. ( 2 ? 7 )
2

B. ( 2 ? ? 1 )
2
???? ??? ?

C.(3,2)
????
????

D.(1,3)

【答案】 A

【解析】设D ( x ? y ) ? A D ? ( x ? y ? 2 ) ? B C ? ( 4 ? 3) ? 又 B C ? ? 2 A D ? ,
? x ? 2? ? 4 ? 2 x? ? ∴? ∴? 7 ? 3 ? 2 ( y ? 2 )? ? y ? ? ? 2

即点D坐标为 ( 2 ? 7 ) .
2

课后作业夯基 1.e 1 ? e 2 是平面内一组基底,那么() A.若存在实数 ? 1 ? ? 2 ? 使 ? 1 e 1 ? ? 2 e 2 ? 0,则 ? 1 ? ? 2 ? 0 B.空间内任一向量a可以表示为a ? ? 1 e 1 ? ? 2 e 2 ( ?1 ? ? 2 为?实数)? C.对实数 ?1 ? ? 2 ? ?1 e 1 ? ? 2 e 2 不一定在该平面内 D.对平面内任一向量a,使a ? ? 1 e 1 ? ? 2 e 2 的实数 ? 1 ? ? 2 有无数对 【答案】 A 【解析】对于A,∵e 1 ? e 2 不共线,故 ? 1 ? ? 2 ? 0 正确; 对于B,空间向量a应改为该平面内的向量才可以; C中 ? ?1 e 1 ? ? 2 e 2 一定在该平面内; D中,根据平面向量基本定理 ? ? 1 ? ? 2 应是唯一一对. 2.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),则向量a与b() A.垂直 C.平行且反向 【答案】 C 【解析】 1 ? 2 ?
?2 ?4

B.不垂直也不平行 D.平行且同向

∴a∥b. 又∵b=-2a,∴a、b平行且反向. 3.设向量a=(1,-3),b=(-2,4).若表示向量4a、3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c 为…() A.(1,-1) B.(-1,1) C.(-4,6) D.(4,-6) 【答案】 D 【解析】依题可知4a+(3b-2a)+c=0, 所以c=2a-4a-3b=-2a-3b =-2(1,-3)-3(-2,4) =(4,-6). 4.已知向量a=(-3,1),b=(1,-2),若(-2a+b)∥(a+kb),则实数k的值是() A.-17 C. 1 9 18 【答案】 D 【解析】易知a+kb为非零向量, 故由题意得-2a+b ? ? ( a+kb), ∴ ? ? ? 2 ? 1 ? ? k .∴ k ? ? 1 .
2

B. 5

3

D. ? 1

2

5.对于非零向量a ? ( a 1 ? a 2 ) 和b ? ( b1 ? b 2 ) ? “a∥b”是“ a1 b 2 ? a 2 b1 ? 0 ”的() A.必要不充分条件 B.充分必要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】由向量平行的坐标表示可得a∥b ? a 1b 2 ? a 2 b1 ? 0 ? 故选B. 6.设 O A =(1,-2), O B =(a,-1), O C =(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A、 C三点共线,则 1 ? 2 的最 B、
a b

??? ?

??? ?

????

小值是? () A.2 【答案】 D
??? ?

B.4
??? ??? ??? ? ? ? ????

C.6
? ???? ???

D.8

【解析】 A B = O B O B - O A =(a-1,1), A C = O C - O A =(-b-1,2). ∵A、B、C三点共线, ∴ AB ∥ AC . ∴ a ?1 ? 1 .
?b ? 1 2
??? ?

????

∴2a+b=1. ∴ 1 ? 2 ? ( 1 ? 2 )( 2 a ? b ) ? 4 ? b ? 4 a
a b a b a b
? 4?2 b ? 4 a ? 8? a b

当且仅当 b ? 4 a 时取等号.
a b 1 ? 2 ∴ 的最小值是8. a b

7.已知向量a ? ( 3 ? 1) ? b=(0,-1),c ? ( k ? 3 ) .若a-2b与c共线,则k=. 【答案】 1 【解析】a-2b ? ( 3 ? 3) ? 因为a-2b与c共线, 所以 k ?
3 3 ? 即k=1. 3

8.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则m=. 【答案】 -1 【解析】a+b=(1,m-1),由(a+b)∥c得 1 ? 2 ? ( m ? 1)=0,∴m=-1. 9.设向量a=(1,0),b=(1,1),若向量 ? a+b与向量c=(6,2)共线,则实数 ? ? . 【答案】 2 【解析】 ? a+b ? ( ? ? 1? 1) ? ∵ ? a+b与向量c=(6,2)共线, ∴ 2 ( ? ? 1) ? 6 ? 1? ∴ ? ? 2 . 10.在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC.已知A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D 点的坐标为. 【答案】 (0,-2) 【解析】设D点的坐标为(x,y),由题意知 B C ? A D ? 即(2,-2)=(x+2,y),所以x=0,y=-2,∴D(0,-2). 11.若a,b为非零向量且a∥b ? ?1 ? ? 2 ? R,且 ?1 ? 2 ? 0 ? 求证: ? 1 a+ ? 2 b与 ? 1 a ? ? 2 b为共线向量. 【证明】设a ? ( x1 ? y 1 ) ? b ? ( x 2 ? y 2 ) . ∵a∥b,b ? 0,a ? 0, ∴存在实数m,使得a=mb,
??? ? ????

即a ? ( x1 ? y 1 ) ? ( m x 2 ? m y 2 ) . ∴ ? 1 a ? ? 2 b ? (( m ?1 ? ? 2 ) x 2 ? ( m ?1 ? ? 2 ) y 2 )
? ( m ? 1 ? ? 2 )( x 2 ? y 2 ) .

同理 ? 1 a ? ? 2 b ? ( m ?1 ? ? 2 )( x 2 ? y 2 ) ? ∴ ( ?1 a ? ? 2 b)∥b ? ( ? 1 a ? ? 2 b)∥b. 而b ? 0,∴ ( ?1 a ? ? 2 b)∥ ( ?1 a ? ? 2 b),即 ? 1 a ? ? 2 b与 ? 1 a ? ? 2 b为共线向量. 12.a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向? 【解】 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4). 当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数 ? 使ka+?b=? ? ( a-3b). 由(k-3 ? 2 k ? 2 ) ? ? (1 0 ? ? 4 ) . ∴?
? k ? 3 ? 10? ? ?2k ? 2 ? ?4? ?

解得 k ? ? ? ? 1 .
3

当 k ? ? 1 时,ka+b与a-3b平行,这时ka+b=? ? 1 a+?b ? ? 1 ( a-3b).
3 ∵ ? ? ? 1 ? 0? 3 3 3

∴ka+b与a-3b反向. 【解】 A B =(2-1,1+2)=(1,3),
???? ??? ?

13.已知A(1,-2),B(2,1),C(3,2)和D(-2,3),试以 A B 、 AC 为一组基底表 A D + B D + CD

??? ?

????

????

=(3-1,2+2)=(2,4), A D =(-3,5), ???? B D =(-4,2), CD =(-5,1), ???? ???? ∴ A D + B D + CD =(-3-4-5,5+2+1)=(-12,8). ??? ? 令(-12,8)=m A B +n AC , 则有m(1,3)+n(2,4)=(-12,8), 即(m+2n,3m+4n)=(-12,8).
AC

∴?

? m ? 2 n ? ? 12 , ?3m ? 4 n ? 8 .

解得m=32,n=-22. ???? ???? ??? ? ∴ A D + B D + CD =32 A B -22 AC .
14.已知A(1,1)、B(3,-1)、C(a,b). (1)若A、B、C三点共线,求a、b的关系式; (2)若 A C ? 2 A B ? 求点C的坐标.
??? ?
??? ?
???? ??? ?

【解】 (1)由已知得 A B ? ( 2 ? ? 2 ) ? A C ? ( a ? 1? b ? 1), ∵A、B、C三点共线,∴ A B ∥ A C ? ∴2(b-1)+2(a-1)=0,即a+b=2. (2)∵ A C ? 2 A B . ∴(a-1,b-1)=2(2,-2), ∴?
? a ? 1 ? 4? ? b ? 1 ? ? 4?
????

????

????

??? ?

解得 ?

? a ? 5? ? b ? ? 3?

∴点C的坐标为(5,-3).

第3讲平面向量的数量积及应用 随堂演练巩固 1.已知向量a、b满足|a|=1,|b|=4,且a ? b=2,则a与b的夹角为() A. ? B. ? C. ? D. ?

6

4

3

2

【答案】 C 【解析】 cos<a,b> ?
a ?b ? 2 ? 1 . ? a ?? b ? 1 ? 4 2

∵<a,b> ? [ 0 ? ? ],∴a与b的夹角为 ? .
3

2.对于向量a、b、c和实数 ? ? 下列命题中真命题是… () A.若a ? b=0,则a=0或b=0 B.若 ? a=0,则 ? ? 0 或a=0 C.若a ? b ? 则a=b或a=-b D.若a ? b=a ? c,则b=c 【答案】 B 【解析】排除法.A中a ? b=0,还可能有a ? b;
2
2

C中a ? b 2 ? a ? b ? 0 ? ( a+b ) ? ( a-b)=0,此时若a与b的模相等或a+b与a-b互相垂直即可; D中a ? b=a ? c ? a ? ( b-c)=0,a=0或b=c或a ? ( b-c). 3.已知向量a=(-2,2),b=(5,k),若|a+b|不超过5,则k的取值范围是() A.[-4,6] B.[-6,4] C.[-6,2] D.[-2,6] 【答案】 C 【解析】a=(-2,2),b=(5,k), 故a+b=(3,2+k).∵|a+b| ? 5 ?
2 2

2

∴|a+b| ? ( a+b ) ? 3 ? ( 2 ? k ) ? 2 5 .
2 2 2 2

∴ ?6 ? k ? 2 . 4.已知向量a=(cos ? ? sin ? ) ? b ? ( 3 ? ? 1) ? 则|2a-b|的最大值.最小值分别是() A.4,0 B.16,0 C.2,0 D.16,4 【答案】 A
2 2 2 【解析】∵|2a-b| ? 4 a ? 4 a ? b+b ? 8 ? 4 |a||b|cos<a,b> ? 8 ? 8 cos <a,b>, 又∵<a,b> ? [ 0 ? ? ], ∴cos<a,b> ? [ ? 1? 1]? ∴8-8cos<a,b> ? [0 ? 1 6 ]?

即|2a-b| ? [0 ? 1 6 ]? ∴|2a-b| ? [ 0 ? 4 ] . 5.若a与b-c都是非零向量,则“a ? b=a ? c”是“a ? ( b-c)”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 C 【解析】由a ? b=a ? c得a ? ( b-c)=0,即|a||b-c|cos ? ? 0 ? ∵a,b-c均为非零向量, ∴cos ? ? 0 ? 即a与(b-c)的夹角为90 circ . ∴a ? ( b-c). 反之,若a ? ( b-c),则a ? ( b-c)=0, 即a ? b-a ? c=0,∴a ? b=a ? c. 故“a ? b=a ? c”是“a ? ( b-c)”的充要条件.
2

课后作业夯基 1.已知a=(1,0),b=(1,1),(a ? ? b ) ? b,则 ? 等于…() A.-2 【答案】 D
2 【解析】由(a ? ? b ) ? b=0,得a ? b ? ? |b| ? 0 ? 得 1 ? 2 ? ? 0 .

B.2

C. 1

2

D. ? 1

2

∴ ? ? ? 1 ? 故选D.
2

2.(2011上海春招,15)若向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论正确的是() A.a ? b=1 B.|a|=|b| C.(a-b ) ? b D.a∥b 【答案】 C 【解析】a ? b=2,选项A错误; |a|=2,|b| ? 2 ? 选项B错误; (a-b ) ? b= (1? ? 1) ? (1? 1) ? 0 ? 选项C正确,故?选C.? 3.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=1,|b|=5,则|3a-b|?等于? () A.7 B.6 C.5 【答案】 A 【解析】 |3a-b| ?
?
(3 a ? b )
2

D.4

?

9 ? a ? ? ? b ? ?6a ? b
2 2

9 ? 2 5 ? 6 ? 5 ? ( ? 1 ) ? 4 9 ? 7 .故选A. 2 ???? ??? ? 4.已知△ABC中,AB A B =a, A C =b,a ? b ? 0 ? S ? A B C ? 1 5 ? |a|=3,|b|=5,则 ? B A C 等于() 4

A.30° 【答案】 C
2

B.-150°

C.150°

D.30°或150°

【解析】 S ? A B C ? 1 |a||b|sin ? B A C ? 1 5 ? ∴sin ? B A C ? 1 .
4 2

又a ? b<0,∴ ? B A C 为钝角.∴ ? B A C ? 1 5 0 °,选C.
??? ? ??? ?

5.已知向量 O A ? ( 2 ? 2 ) ? O B ? ( 4 ? 1) ? 在x轴上存在一点P使 A P ? B P 有最小值,则P点的坐标是() A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0) 【答案】 C 【解析】设P点坐标为(x,0),则 A P ? ( x ? 2 ? ? 2 ) ?
??? ?

??? ?

??? ?

??? ? B P ? ( x ? 4 ? ? 1) . ??? ??? ? ? 2 2 A P ? B P ? ( x ? 2 )( x ? 4) ? ( ? 2 ) ? ( ? 1) ? x ? 6 x ? 1 0 ? ( x ? 3) ? 1 . ??? ??? ? ? 当x=3时 ? A P ? B P 有最小值1.

∴点P的坐标为(3,0).故选C. 6.已知向量a=(2cos ? ? 2 sin ? ) ? b=(3cos ? ? 3 sin ? ) ? 若a与b的夹角为60 ,则直线xcos ? ? y sin
?

2 2 ? ? 1 ? 0 与圆(x-cos ? ) ? (y+sin ? ) ? 1 的位置关系是()

2

2

A.相交 B.相交且过圆心 C.相切 D.相离 【答案】 D 【解析】∵a=(2cos ? ? 2 sin ? ) ? b=(3cos ? ? 3 sin ? ) ? ∴|a|=2,|b|=3.

∴a ? b=6cos ? cos ? ? 6 sin ? sin ? ? 6 cos (? ? ? ) . 而a ? b=|a||b|cos60°=3, ∴6cos (? ? ? ) ? 3 ? cos (? ? ? ) ? 1 .
2

则圆心(cos ? ? ? sin ? ) 到直线xcos ? ? y sin ? ? 1 ? 0 的距离
2

d=|cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 1 |=|cos (? ? ? ) ? 1 |=1>
2 2

2 ? r? 2

∴直线与圆相离. 7.设向量a与b的夹角为 ? ? 定义a与b的”向量积”:a ? b是一个向量,它的模|a ? b|=|a| ? |b| ? sin ? ? 若a
? (? 3 ? ? 1) ? b ? (1? 3 ) ? 则|a ? b|等于()

A. 3 【答案】 B

B.2

C. 2 3

D.4

【解析】∵|a|=|b|=2,a ? b ? ? 2 3 ?
?2 3 3 ? ? . 2?2 2 又 ? ? [0 ? ? ],∴sin ? ? 1 . 2 1 ? 2 ∴|a ? b| ? 2 ? 2 ? .故选B. 2 8.已知向量a=(4,3),b=(sin ? ? cos ? ) ? 且a ? b,那么tan 2 ? 等于.

∴cos ? ?

【答案】 ? 2 4
7

【解析】由a ? b得4sin ? ? 3 cos ? ? 0 ? 所以tan ? ? ? 3 ? tan 2 ? ? ? 2 4 .
4 7 ???? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ? 9.若平面上三点A、B、C满足| A B |=3,| B C |=4,| C A |=5,则 A B ? B C ? B C ? C A ? C A ? A B 的值等

于. 【答案】 -25

【解析】由 A B ? B C ? C A ? 0可得 ( A B ? B C ? C A ) 2 ? 0 ? ∴9 ? 1 6 ? 2 5 ? 2 ( A B ? B C ? B C ? C A ? C A ? A B ) ? 0 ?
??? ???? ???? ??? ??? ??? ? ? ? ? AB ? BC ? BC ? C A ? C A ? AB ? ?25 .
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

10.关于平面向量a,b,c,有下列三个命题: ①若a ? b=a ? c,则b=c. ②若a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则k=-3. ③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与?a+?b的夹角为60°. 其中真命题的序号为(写出所有真命题的序号). 【答案】② 【解析】命题①明显错误.由两向量平行的充要条件得 1 ? 6 ? 2 k ? 0 ? k ? ? 3,故命题②正确. 由|a|=|b|=|a-b|,再结合平行四边形法则可得a与a+b的夹角为30°,命题③错误. 11.已知 OA =(2,5), OB =(3,1), OC =(6,3),在 OC 上是否存在点M,使 M A ⊥ M B ,若存在,求 出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 【解】设存在点M,且 OM =λ OC =(6λ ,3λ ),
????
????

∴ M A = OA - OM =(2-6λ ,5-3λ ), ???? M B = OB - OM =(3-6λ ,1-3λ ), ???? ???? ∵MA ⊥MB ,

????

∴ ( 2 ? 6 ? )(3 ? 6 ? ) ? (5 ? 3 ? )(1 ? 3 ? ) ? 0 ?
2 即 4 5 ? ? 4 8 ? ? 1 1 ? 0 ? 解得 ? ? 1 或 ? ? 1 1 .

3

15

∴ OM =(2,1)或 OM ? ( 2 2 ? 1 1 ) .

5 5 22 ? 11) ∴存在M(2,1)或 M ( 满足题意. 5 5

12.已知a=(sin ? ? 1) ? b=(1,cos ? ) ? c=(0 ? 3) ? ? ? ? ? ? ? .
2 2

(1)若(4a-c)∥b,求 ? ; (2)求|a+b|的取值范围. 【解】 (1)4a-c=(4sin ? ? 4 ) ? (0 ? 3) ? ( 4sin ? ? 1) ? ∵(4a-c)∥b,∴4sin ? cos ? ? 1 ? 0 . ∴sin 2? ? 1 .
2

∵ ? ? ( ? ? ? ? ) ? ∴ 2? ? ( ? ? , ? ).
6 12 (2)a+b=(sin ? ? 1? 1 ? cos ? ) ? 6 12
2

2 2 ? 或 5? ? 即 ? ? ? 或 5? . ∴ 2? ?

|a+b| ?
?

(sin ? ? 1) ? (1 ? co s ? )
2

3 ? 2 (s in ? ? c o s ? ) ?

3?2

2 s in (? ? ? ) ? 4

∵? ? ? ? ? ? ?
2 2

∴ ? ? ? ? ? ? ? 3? .
4 4 4

∴sin (? ? ? ) ? ( ?
4

2 ? 1] . 2

∴ 2 2 sin (? ? ? ) ? ( ? 2 ? 2 2 ] .
4

∴|a+b| ? (1? 2 ? 1] .
2 13.(2012山东临沂模拟)已知向量m ? ( 3 sin x ? 1) ? n=(cos x ? cos x ) .

4 4 4 2? ? x ) (1)若m ? n=1,求cos ( 的值; 3 (2)记f(x)=m ? n,在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取

值范围.
2 x 【解】 (1)∵m ? n=1,即 3 sin 4 cos x ? cos x ? 1?

4

4

3 sin x ? 1 cos x ? 1 ? 1? 2 2 2 2 2 x ? ? )? 1 ∴sin ( . 2 6 2 ∴cos ( 2 ? ? x ) ? cos ( x ? 2 ? ) ? ? cos ( x ? ? ) 3 3 3 2 x =-[1-2sin ( ? ? )] 2 6



? 2?(1) ?1 ? ? 2
2

1 2

.

(2)∵(2a-c)cosB=bcosC, 由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC. ∴2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC, ∴2sinAcosB=sin(B+C), ∵A+B+C= ? , ∴sin(B+C)=sinA,且sin A ? 0 . ∴cos B ? 1 ? B ? ? .
2 3 ∴ 0 ? A ? 2? . 3 ? ? A ? ? ? ? ? 1 ? sin ( ∴ 6 2 6 2 2 又∵f(x)=m ? n=sin ( x ? ? ) ? 2 6 ? ∴f(A)=sin ( A ? ) ? 1 . 2 2 6

A ? ? )?1 . 2 6 1? 2

故函数f(A)的取值范围是 (1? 3 ) .
2

14.已知a ? ( 3 sin ? x ? 1) ? b=(cos ? x ? 0 ) ? 其中 ? ? 0 ? 又函数f(x)=b ? ( a-b)+k是以 ? 为最小正周期
2

的周期函数,当 x ? [0 ? ? ] 时,函数f(x)的最小值为-2.
4

(1)求f(x)的解析式; (2)写出函数f(x)的单调递增区间. 【解】 (1)a-b ? ( 3 sin ? x ? 1) ? ( cos ? x ? 0 )
? ( 3 sin ? x ? cos ? x ? 1) ?

∴f(x)=(cos ? x ? 0 ) ? ( 3 sin ? x ? cos ? x ? 1) ? k =sin ( 2 ? x ? ? ) ? 1 ? k .
6 2 2? ? ? ? ? ? 2 ∴ . 2? 2 4

∵ x ? [ 0 ? ? ]? 则 4 x ? ? ? [ ? ? ? 5 ? ] .
6

6 6 1 ? 1 ?k ∴f(x)的最小值为f ( 0 ) ? ? =k-1=-2. 2 2

∴k=-1. ∴f(x)=sin ( 4 x ? ? ) ? 3 .
6 2

(2)当 4 x ? ? ? [ 2 k ? ? ? ? 2 k ? ? ? ]( k ? Z),

2 6 2 k ? ? ? ? k ? ? ? ]( k ? 即x?[ Z)时,函数f(x)是增函数. 2 12 2 6 ∴函数的单调递增区间为 [ k ? ? ? ? k ? ? ? ]( k ? Z). 2 12 2 6

一、选择题: 1.a与b是非零向量,下列结论正确的是 A.|a|+|b|=|a+b| B.|a|-|b|=|a-b| C.|a|+|b|>|a+b| D.|a|+|b|≥|a+b| 解析:在三角形中,两边之和大于第三边,当a与b同向时,取“=”号. 答案:D
[来源:Zxxk.Com]

2.在四边形ABCD中, AB A.平行四边形 C.长方形

? DC

,且| AB |=| BC |,那么四边形ABCD为 B.菱形 D.正方形

解析:由 AB = DC 可得四边形ABCD是平行四边形,由| AB |=| BC |得四边 形ABCD的一组邻边相等,一组邻边相等的平行四边 形是菱形. 答案:B 3.已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(-2,1)、(3,4)、 (-1,3),则第四个顶点D的坐标为 A.(2,2) B.(-6,0 ) C.(4,6) D.(-4,2) 解析:设D(x,y),则 AB =(5,3), DC =(-1-x,3-y),
AD

=(x+2,y-1), BC =(-4,-1).

又∵ AB ∥ DC , AD ∥ BC , ∴5(3-y)+3(1+x)=0,-(x+2)+4(y-1)=0, 解得x=-6,y=0. 答案:B 4.有下列命题:① AB =(m,4),则|a|=
23
? BC ? AC

=0;②(a+b)?c=a?c+b?c;③若a
7

的充要条件是m=

;④若 AB 的起点为A(2,1),
4 5

终点为B(-2,4),则 BA 与x轴正向所夹角的余弦值是 是 A.①② B.②③ C.②④

.其中正确命题的序号 D.③④

解析:∵ AB ? BC ? AC ? 2 AC ,∴①错. ②是数量积的分配律,正确. 当m=- 7 时,|a|也等于 23 ,∴③错.
[来源:学§科§网]

在④中, BA =(4,-3)与x轴正向夹角的余弦值是

4 5

,故④正确.

[来源:学|科|网]

答案:C 5.已知a=(-2,5),|b|=2|a|,若b与a反向,则b等于 A.(-1,
5 2



B .(1,-

5 2



C.(-4,10) D.(4,-10) 解析:b=-2a=(4,-10),选D. 答案:D 6.已知|a|=8,e是单位向量,当它们之间的夹角为 为 A.4 3 B.4 C.4 2 D.8+2 3 解析:由两个向量数量积的几何意义可知:a在e方向上的投影即: a?e=|a ||e|cos
?
3

?
3

时,a在e方向上的 投影

=8?1?

1 2

=4.

答案:B 7.若|a|=|b|=1,a⊥b且2a+3b与ka-4b也互相垂直,则k的值为

A.-6 B.6 C.3 D.-3 解析:∵a⊥b ∴a?b=0 又∵(2a+3b)⊥(ka-4 b) ∴(2a+3b)?(ka-4 b)=0 得2ka2-12b2=0又a2=|a|2=1,b2=|b|2=1 解得k=6. 答案:B 8.已知a=(3,4),b⊥a,且b的起点为(1,2),终点为(x,3x),则b 等于
[来源:Z.xx.k.Com]

A.(- C.(-

11 15

,

1 5

) )

B.(-

1 11 , 5 15


, 1 5

4 15

,

1 5

D.(

4 15



解析:b=(x-1,3x-2) ∵a⊥b,∴a?b=0 即3(x-1)+4(3x-2)=0, 解得x=
11 15

.

答案:C 9.等边△ABC的边长为1, AB =a, BC =b,CA =c,那么a?b+b?c+c?a 等于 A.0 B.1 C.-
1 2

D.-

3 2

解析:由已知|a|=|b|=|c|=1, ∴a?b+b?c+c?a =cos120°+cos120°+cos120°=- 答 案:D 10.把函数y= 式为 A.y= C.y=
2x ? 7 3
2x ? 9 3 2x ?1 3 2x ?1 3

3 2

.

的图象按a=(-1,2)平移到F′,则F′的函数解析
2x ? 5 3
2x ? 3 3

B.y= D. y=

解析:把函数y=

的图象按a=(-1,2)平移到F′,则F′的函数解
2 ( x ? 1) ? 1 3

析式为A,即按图象向左平移1个单位,用(x+1)换掉x,再把图象向上平移2 个单位,用(y-2)换掉y,可得y-2= 整理得y= 答案:A
2x ? 7 3

.

11.已知向量e1、e2不共线,a=ke1+e2,b=e 1+ke2,若a与b共线,则k等于 () A.±1 B.1 C.-1 D.0 解析:∵a与b共线 ∴a=λ b(λ ∈R), 即ke1+e2=λ (e1+ke2), ∴(k-λ )e1+(1-λ k)e2=0 ∵e1、e2不共线. ∴?
?k ? ? ? 0 ?1 ? ? k ? 0

解得k=±1,故选A. 答案:A 12.已知a、b均为非零向量,则|a+b|=|a-b|是a⊥b的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 2 解析:|a+b|=| a-b| ? (a+b) =(a-b)2 ? a?b=0 ? a⊥b. 答案:C 二、填空题 13.如图,M、N是△ABC的一边BC上的两个三等分点, AB =a, AC =b, 则 MN =.

解析: BC ∴ MN =
1

? AC ? AB
BC ? 1 3

=b-a,

1 3

(b-a).

答案: (b-a)
3

14.a、b、a-b的数值分别为2,3, 解析:∵(a-b)2=7 ∴a2-2a?b+b 2=7 ∴a?b=3
[来源:Z.xx.k.Com]

7

,则a与b的夹角为.

∴cosθ = ∴θ = 答案:
?
3

a ?b
| a || b |

?

1 2

.

?
3

15.把函数y=-2x2的图象按a平移,得到y=-2x2-4x-1的图象,则a=. 解析:y=-2x2-4x-1=-2(x+1)2+1 ∴y-1=-2(x+1)2

即原函数图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,∴a=(-1,1). 答案:(-1,1) 16.已知向量a、b的夹角为 解析:∵a?b=|a||b|cos
?
3

?
3

,|a|=2,|b|=1,则|a+b||a-b|的值是.
1 2

=2?1?

=1

∴|a+b|2=a2+2 a?b+b2=22+2?1+ 12=7, |a-b|2=a2-2 a?b+b2=22-2?1+1=3 ∴|a+b|2|a-b |2=3?7=21 ∴|a+b||a-b |= 21 . 答案: 21 三、解答题: 17.(本小题满分10分) 已知A(4,1),B(1,- 解:∵ AB =(-3,- 又∵ AB ∥ BC ∴根据两向量共线的充要条件得-
3 2 3 2

1 2

),C(x,-

3 2

),若A、B、C共线,求x.

), BC =(x-1,-1)

(x-1)=3

解得x=-1. 18.(本小题满分12分) 已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,c=3a+5b,d=ma-b,c⊥d,求 m的值. 解:a?b=|a||b|cos60°=3 ∵c⊥d,∴c?d=0 即(3a+5b)(ma-b)=0 ∴3ma2+(5m-3)a?b-5b2=0 ∴27m+3(5m-3)-20=0 解得m=
29 42

.

19.(本小题满分12分) 已知a、b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a 与b的夹角. 解:由已知,(a+3b)?(7 a-5b)=0, (a-4b)?(7a-2 b)=0, 即7a2+16a?b-15 b 2=0 ① 2 7a-30a?b+8 b =0 ② 2 ①-②得2a?b=b 代入①式得a2=b2
1

∴cosθ =

1 ? 2 2 ? | a || b | |b | 2

a ?b

b

2



故a与b的夹角为60°.

20.(本小题满分12分) 已知:在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,AB上的中线CD=m,求证: a2+b2= c2+2m2.
2 1

证明:∵ BC ? BD ? 两式平方相加可得
1 2

DC , AC ? AD ? DC



a2+b2= c2+2m2+2( BD ? DC + AD ? DC ) ∵ BD ? DC + AD ? DC =| BD || DC |?cosBDC+| AD || DC |cosCDA=0 ∴a2+b2= c2+2m2.
2 1

21.(本小题满分14分) 设i、j分别是直角坐标系x轴、y轴上的单位向量,若在同一直线上有三点A、 B、C,且 OA =-2i+mj, OB =ni+j, OC =5i-j, OA ⊥ OB ,求实数m、n的 值. 解:∵ OA ⊥ OB , ∴-2n+m=0 ① ∵A、B、C在同一直线上,


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