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1.4.3 含有一个量词的命题的否定


预习导学 高中数学 · 选修2-1· 人教A版

1.4.3

含有一个量词的命题的否定

1.4.3 含有一个量词的命题的否定

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1.4.3

含有一

个量词的命题的否定

[学习目标]
1.通过探究数学中一些实例,使学生归纳总结出含有一个量 词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.

2.通过例题和习题的教学,使学生能够根据含有一个量词的
命题与它们的否定在形式上的变化规律,正确地对含有一 个量词的命题进行否定.

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[知识链接]

1.4.3

含有一个量词的命题的否定

你能尝试写出下面含有一个量词的命题的否定吗? (1)所有矩形都是平行四边形; (2)每一个素数都是奇数;

(3)?x∈R,x2-2x+1≥0.
答:(1)存在一个矩形不是平行四边形; (2)存在一个素数不是奇数; (3)?x0∈R,x02-2x0+1<0.

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[预习导引] 1.全称命题的否定:

1.4.3

含有一个量词的命题的否定

全称命题p:?x∈M,p(x), ?x0∈M,綈p(x0). 它的否定綈p:________________ 2.特称命题的否定: 特称命题p:?x0∈M,p(x0), ?x∈M,綈p(x). 它的否定綈p:_________________ 全称 命题. 特称命题的否定是_____

特称 命题. 3.全称命题的否定是_____

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1.4.3

含有一个量词的命题的否定

要点一 全称命题的否定
例1 写出下列命题的否定:

(1)任何一个平行四边形的对边都平行; (2)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数;

(3)?a,b∈R,方程ax=b都有唯一解;
(4)可以被5整除的整数,末位是0.

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1.4.3

含有一个量词的命题的否定

(1)是全称命题,其否定为:存在一个平行四边形的对

边不都平行.
(2)是全称命题,其否定:数列{1,2,3,4,5}中至少有一 项不是偶数.

(3)是全称命题,其否定:?a,b∈R,使方程ax=b的解不
唯一或不存在. (4)是全称命题,其否定:存在被5整除的整数,末位不是0. 规律方法 全称命题的否定是特称命题,对省略全称量词 的全称命题可补上量词后进行否定.

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跟踪演练1

1.4.3

含有一个量词的命题的否定

写出下列全称命题的否定:

(1)p:所有能被3整除的整数都是奇数;
(2)p:每一个四边形的四个顶点共圆; (3)p:对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3.
解 (1)綈 p:存在一个能被 3 整除的整数不是奇数.

(2)綈 p:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆. (3)綈 p:?x0∈Z,x02 的个位数字等于 3.

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含有一个量词的命题的否定

要点二 例2

特称命题的否定

写出下列特称命题的否定,并判断其真假.

(1)p:?x>1,使x2-2x-3=0;

(2)p:有些素数是奇数;
(3)p:有些平行四边形不是矩形.

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1.4.3

含有一个量词的命题的否定

(1)綈 p:?x>1,x2-2x- 3≠ 0.(假).

(2)綈 p:所有的素数都不是奇数.(假). (3)綈 p:所有平行四边形都是矩形. (假 ).
规律方法 特称命题的否定是全称命题, 写命题的否定时要

分别改变其中的量词和判断词.即 p:? x∈ M, p(x)成立? 綈 p:?x∈ M,綈 p(x)成立.

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跟踪演练2

1.4.3

含有一个量词的命题的否定

写出下列特称命题的否定:

(1)p:?x0∈R,x02+2x0+2≤0; (2)p:有的三角形是等边三角形; (3)p:有一个素数含三个正因数.
解 (1)綈 p:?x∈R,x2+2x+2>0.

(2)綈 p:所有的三角形都不是等边三角形. (3)綈 p:每一个素数都不含三个正因数.

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1.4.3

含有一个量词的命题的否定

要点三

特称命题、全称命题的综合应用

例3

已知函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,

1]上至少存在一个实数c,使得f(c)>0.求实数p的取值范 围. 解

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1.4.3

含有一个量词的命题的否定

在区间 [-1,1]中至少存在一个实数 c,使得 f(c)>0 的否定是 在 [- 1, 1]上的所有实数 x,都有 f(x)≤ 0 恒成立.又由二次 函数的图象特征可知,
? ?f(- 1)≤ 0, ? ? ?f( 1)≤ 0,
2 ? ?4+ 2( p- 2)- 2p - p+ 1≤ 0, 即? 2 ? ?4- 2( p- 2)- 2p - p+ 1≤ 0,

1 ? p ≥ 1 或 p ≤ - , ? 2 3 即? ∴p≥ 或 p≤-3. 2 3 ?p≥ 或p≤- 3. ? 2 3 故 p 的取值范围是(-3, ). 2
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1.4.3

含有一个量词的命题的否定

规律方法

通常对于“至多”“至少”的命题,应采用逆向思

维的方法处理,先考虑命题的否定,求出相应的集合,再 求集合的补集,可避免繁杂的运算.

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1.4.3

含有一个量词的命题的否定

跟踪演练3

若?x∈R,f(x)=(a2-1)x是单调减函数,则a

的取值范围是________.
答案
解析

(- 2,-1)∪(1, 2)
2 ? a ? - 1>0 2 依题意有:0<a -1<1?? 2 ? ? ?a - 1<1

? ?a<- 1或 a>1 ? ?- ? ?- 2<a< 2

2<a<-1 或 1<a< 2.

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1.4.3

含有一个量词的命题的否定

1. 命题 p: “存在实数 m, 使方程 x2+mx+1=0 有实数根”, 则“綈 p”形式的命题是 ( )

A.存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实根 B.不存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实根 C.对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实根 D.至多有一个实数m,使方程x2+mx+1=0有实根

答案
解析

C
命题 p 是特称命题,其否定形式为全称命题,

即綈 p:对任意的实数 m,方程 x2+mx+1=0 无实根.
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1.4.3

含有一个量词的命题的否定 ( )

2.对下列命题的否定说法错误的是

A.p:能被 2 整除的数是偶数;綈 p:存在一个能被 2 整除 的数不是偶数 B.p:有些矩形是正方形;綈 p:所有的矩形都不是正方形 C.p:有的三角形为正三角形;綈 p:所有的三角形不都是 正三角形 D.p:? n∈N,2n≤100;綈 p:?n∈N,2n>100.

答案 解析

C “有的三角形为正三角形”为特称命题,其否定为全称

命题:“所有的三角形都不是正三角形”,

故选项C错误.
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3.下列命题中的假命题是

1.4.3

含有一个量词的命题的否定 ( )

A.?x∈R,2x-1>0
B.?x∈N*,(x-1)2>0 C.?x0∈R,lg x0<1

D.?x0∈R,tan x0=2
答案 解析 B A中命题是全称命题,易知2x-1>0恒成立,故是真命

题;B中命题是全称命题,当x=1时,(x-1)2=0,故是假命 题;C中命题是特称命题,当x=1时,lg x=0,故是真命

题;D中命题是特称命题,依据正切函数定义,可知
是真命题.
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1.4.3

含有一个量词的命题的否定

4.命题“零向量与任意向量共线”的否定为_____________ _______________________________________________. 答案 解析 有的向量与零向量不共线 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向

量共线”,是全称命题,其否定为特称命题:“有的向量与 零向量不共线”.

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1.4.3

含有一个量词的命题的否定

对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题: (1)确定命题类型,是全称命题还是特称命题. (2)改变量词:把全称量词改为恰当的存在量词;把存在量

词改为恰当的全称量词.
(3)否定结论:原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为 “不是”“没有”“不存在”“不成立”等. (4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.

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1.4.3

含有一个量词的命题的否定

再见
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