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2012-2013学年第2学期《概率论与数理统计》期末试题(A卷)


2012-2013 学年第 2 学期《概率论与数理统计》期末 试题(A 卷)
姓名 学院 学号 专业

题号 得分 评卷人

















>总分

注意: ?(1.67) ? 0.9525 ?(2.33) ? 0.99 ?(1.45) ? 0.926
t0 . 9 ( ? 2 . 3 6 4t 6 77 5 ) t0 . 9 ( ? 2 . 3 0 6t 0 78 5 ) ? ? 0 .? 9 5 ? 0 .? 9? 5 7 8 1.8946 1.8595

2 2 ?0.95 (7) ? 14.067 ? 0.05 (7) ? 2.167 2 2 ?0.95 (8) ? 15.507 ? 0.05 (8) ? 2.733

一、填空题(每空 3 分,共 15 分)。
1、设 X 服从参数为 λ 的泊松分布,且 E[( X ? 1)( X ? 2)] ? 1 ,则 ? = 1 2、设 X1 , X 2 ,

, X n ? n ? 2? 为来自总体 N ? 0,1? 的简单随机样本, X 为样本均值, S 2

? n ? 1? X 12
为样本方差,则

?X
i ?2

n

2 i

服从的分布是

.

? n ? 1? X12

?X
i ?2

n

~ F ? 1n , ? ?1

2 i

3 、 设 随 机 变 量 X 与 Y 相 互 独 立 , 且 均 服 从 区 间 ?0 , 3 ? 上的均匀分布,则

1

P{max{ X , Y } ? 1} ?

1/9

.

4、设随机变量 X 和 Y 的数学期望分别为-2 和 2,方差分别为 1 和 4,而相关系数为 -0.5,则根据契比雪夫不等式 P ? X ? Y ? 6? ? _____
P ? X ? Y ? 6? ? 1 12

5、设随机变量 X1,X2,X3 相互独立,其中 X1 在[0,6]上服从均匀分布,X2 服 从正态分布 N(0,22),X3 服从参数为 ? =3 的泊松分布,记 Y=X1-2X2+3X3, 则 D(Y)= 46

二、(10 分)从 5 双尺码不同的鞋子中任取 4 只,求下列事件的概率: (1)所取的 4 只中没有两只成对;(2)所取的 4 只中只有两只成对(3)所取 的 4 只都成对
4 4 C5 2 8 C52 ? C54 24 12 C52 1 ? ? (1) 4 (2)1(3) 4 ? 4 C10 21 C10 21 C10 21

三、(10 分)玻璃杯成箱出售,每箱 20 只。已知任取一箱,箱中 0、1、2 只残次 品的概率相应为 0.8、0.1 和 0.1,某顾客欲购买一箱玻璃杯,在购买时,售货 员随意取一箱,而顾客随机地察看 4 只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则 退回。试求:(1)顾客买下该箱的概率 ;(2)在顾客买下的该箱中,没有残 次品的概率 。

i ? 0 ,1, 2。 解: 设事件 A 表示 “顾客买下该箱” ,Bi 表示 “箱中恰好有 i 件次品” ,


P( B0 ) ? 0.8 , P( B1 ) ? 0.1 , P( B2 ) ? 0.1 , P( A | B0 ) ? 1 , P( A | B1 ) ?
4 C18 12 P( A | B2 ) ? 4 ? 。 C20 19

4 C19 4 ? , 4 C20 5

由全概率公式得
2 4 12 P( A) ? ? P( Bi ) P( A | Bi ) ? 0.8 ? 1 ? 0.1 ? ? 0.1 ? ? 0.94 5 19 i ?0

由贝叶斯公式
2

( B0 | A) ?

P( B0 ) P( A | B0 ) 0.8 ? 1 ? ? 0.85 P( A) 0.94

四、(15)设二维随机变量 ? X , Y ? 的概率分布为
Y

X

-1

0

1 0.2

-1

a
0.1

0

0

b

0.2

1

0

0.1

c

其中 a 、 b 、 c 为常数,且 X 的数学期望 EX ? ?0.2 , P ?Y ? 0 X ? 0? ? 0.5 , 记
Z ? X ?Y . 求

(1) a 、 b 、 c 的值;

(2) Z 的概率分布;

(3) P ? X ? Z? .

解 (1)由概率分布的性质可知, a ? b ? c ? 0.6 ? 1 ,即 a ? b ? c ? 0.4 . 由 EX ? ?0.2 ,可得 ?a ? c ? ?0.1 . 再由 P ?Y ? 0 X ? 0? ?

P ? X ? 0, Y ? 0? a ? b ? 0.1 ? ? 0.5 ,解得 a ? b ? 0.3 . P ? X ? 0? a ? b ? 0.5

解以上关于 a 、 b 、 c 的三个方程可得, a ? 0.2, b ? 0.1, c ? 0.1 . (2) Z 的所有可能取值为-2,-1,0,1,2.则

P?Z ? ?2? ? P?X ? ?1, Y ? ?1? ? 0.2 P?Z ? ?1? ? P? X ? ?1, Y ? 0? ? P?X ? 0, Y ? ?1? ? 0.1 P?Z ? 0? ? P? X ? ?1, Y ? 1? ? P?X ? 1, Y ? ?1? ? P?X ? 0,Y ? 0? ? 0.3 P?Z ? 1? ? P? X ? 1, Y ? 0? ? P?X ? 0, Y ? 1? ? 0.3 P?Z ? 2? ? P? X ? 1, Y ? 1? ? 0.1
所以 Z 的概率分布为

3

Z P

-2 0.2

-1 0.1

0 0.3

1 0.3

2 0.1

(3) P? X ? Z? ? P?Y ? 0? ? 0 ? b ? 0.1 ? 0.1? 0.1 ? 0.2 .

五、(15)设随机变量 X 的概率密度为
?1 ? 2 当 ?1 ? x ? 0 ? ?1 fX ? x? ? ? 当0 ? x ? 2 ?4 ? 0 其他 ? ?

令 Y ? X 2 , F ? x, y ? 为二维随机变量 ? X , Y ? 的分布函数. 求(1) Y 的密度函数 fY ? y ? ; 解 (1) Y 的分布函数为
FY ? y ? ? P ?Y ? y? ? P ? X 2 ? y?

(2) cov ? X , Y ? ;

? 1 ? (3) F ? ? , 4 ? . ? 2 ?

当 y ? 0 时, FY ? y ? ? 0, fY ? y ? ? 0 . 当 0 ? y ? 1 时,
FY ? y ? ? P ? y ? X ?

?

y ? P ? y ? X ?0 ?P 0? X ?

? ?

? ?

y ?

?

3 y 4

fY ? y ? ?

3 8 y

当 1 ? y ? 4 时,
FY ? y ? ? P ??1 ? X ? 0? ? P 0 ? X ?

?

y ?

?

1 1 ? y 2 4

fY ? y ? ?

1 8 y

当 y ? 4 时, FY ? y ? ? 1, fY ? y ? ? 0 . 所以 Y 的概率密度为
4

? 3 ?8 y ? ? 1 fY ? y ? ? ? ?8 y ?0 ? ?

当0 ? y ? 1 当1 ? y ? 4 其他
xf X ? x ? dx ? ?
0

(2)

21 1 1 xdx ? ? xdx ? ?? ?1 2 0 4 4 ?? 0 1 5 EY ? EX 2 ? ? x 2 f X ? x ? dx ? ? x 2 dx ? ?? ?1 4 6 ?? 0 1 21 7 EXY ? EX 3 ? ? x 3 f X ? x ? dx ? ? x 3dx ? ? x 3dx ? ?? ?1 2 0 4 8

EX ? ?

??



cov ? X , Y ? ? EXY ? EX ? EY ?

2 3

1 1 2 ?1 ? ? ? ? ? (3) F ? , 4 ? ? P ? X ? ? , Y ? 4? ? P ? X ? ? , X ? 4? 2 2 ?2 ? ? ? ? ? 1 1? 1? 1 ? ? ? ? ? P ? X ? ? , 2 ? X ? 2? ? P ??2 ? X ? ? ? ? P ??1 ? X ? ? ? ? 2 2? 2? 4 ? ? ? ?

(10 分)设供电站供应某地区 1000 户居民用电,各户用电情况相互独立。 六、 已知每户每天用电量(单位:度)在[0,20]上服从均匀分布。现要以 0.99 的概 率满足该地区居民供应电量的需求,问供电站每天至少需向该地区供应多少度 电? 1000 户居民每天用电量为 X 度, EX k ? 解: 设第 K 户居民每天用电量为 X k 度, 10, DX k ?
202 =。再设供应站需供应 L 度电才能满足条件,则 12

P{ X ? L} ? ?(

L ? 1000? 10 202 1000? 12

) ? 0.99



L ? 10000 100000/ 3

? 2.33,则 L=10425 度。

七、(10 分)化肥厂用自动打包机装化肥,某日测得 8 包化肥的重量(斤)如 下: 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 101.4 100.5
5

已知各包重量服从正态分布 N( ? , ? 2 ) (1)是否可以认为每包平均重量为 100 斤(取 ? ? 0.05 )? (2)求参数 ? 2 的 90%置信区间。 解、需要检验的假设 检验统计量为 t ?

H0 : ? ? 1 0 0

H1 : ? ? 1 0 0

X ? 100 , Sn n ? 1

计算可得: x ? 99.98 , Sn ? 1.05, t ?

x ? ?0 ? ?0.063 Sn / n ? 1
故接受原假设。
2

t

1?

?
2

(n ? 1) ? t0.975 ? 7? ? 2.3646

, t ? t1?? (n ? 1)
2
2

(2) ? ? 0.1 ,n=8
2 Sn ? 1.102

查表得 ?0.95 (7) ? 14.067 , ?0.05 (7) ? 2.167

故置信区间为

? ? 2 2 nSn ? nSn ? ? ? 2 (n ? 1) , ? 2 (n ? 1) ? ? [0.626, 4.07] ? ? ? ? ? 1? 2 2 ?
八、(15 分) 设总体 X 的密度函数是 f ( x;? ) ? 本 X 1 , X 2 ,..., X n 来自总体 X。

1 ?? e ,其中 ? >0 是参数。样 2?

| x|

? ; (1) 求 ? 的矩估计 ? M ? ; (2) 求 ? 的最大似然估计 ? L ? 是 ? 的无偏估计,且 ? ? 是 ? 的相合估计(一致估计)。 (3) 证明 ? L L
解:(1) EX ? ?

1 ?? xe dx ? 0 , ?? 2?
??

| x|

6

? ?? 1 1 2 ?? EX ? ? x e dx ? ? x 2 e ? dx ? ? 2? 0 ? 2 ?? x x ? ? 2 ?? ? ?? ? ? ? ? ?? x e ? ? 2? xe dx 0 ? ?0 x x x ? ? ? ? 2 ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2? 2 ? ?2? x ? e ? 2 ? e dx ? ? 2 ? e ? ? ? ? ? 0 ? ?0 ? ?0 ?? ?? ??

| x|

x



? ? ? M

1 n 2 ? Xi 2n i ?1

* ? Sn ? *2 2 ,? ? ? 或: DX ? EX 2 ? ?EX ?2 ? 2? 2 , Sn ? DX ?? 2? M 2
?? i 1 ? i 1 ? i ?1 (2)似然函数: L ? ? e ? , L ? , e n 2 ? ?2? ? i ?1

n

|x |

n

|x |

ln L ? ?n ln(2? ) ?

1

?

?x
i ?1 n i ?1

n

i

d ?ln L? ? ? n ? 12 d? ? ?
令, ?

?x

i



n 1 ? 2 ? ? ? ?

n ? ?1 x ? 0 ? , ? ? Xi i L n i ?1 i ?1

n

(3) E X ? ?0

??

x x x ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? xe dx ? ?? xe ? ? ? e dx ? ???e ? ? ?? 0 ? ? ?0 ? ?0

1

?

x

??

??

? ? E? L
EX
2

1 n ? E X i ? E X ? ? , ??L 是 ? 的无偏估计, n i ?1
? EX 2 ? 2? 2 ,

D X ? EX 2 ? ?E X

?

2

?1 n ? D? X ? ? 2 ? ? 2? 2 ? ? 2 ? ? 2 , D? ? X i ? ? n n ? n i ?1 ?

?2 ? 是 ? 的相合估计 ? ? P ? L ? E? L ? ? ? 2 ? 0 , ? L n?

?

?

7


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