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等差数列


等差数列的通项公式 下面我们看这样一些数列的例子: (1)0,5,10,15,20,25,?;? (2)48,53,58,63,?;? (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5?;? (4)10 072,10 144,10 216,10 288,10 366,?.? 请你们来写出上述四个数列的第 7 项.? 1.等差数列的定义:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前

一项的差等于同一个 常数, 这个数列就叫做等差数列, 这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示).? (1)公差 d 一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求;?[来源:学科网] (2)对于数列{an},若 an-a n-1=d(与 n 无关的数或字母),n≥2,n∈N ,则此数列是等差数 列,d 叫做公差. (3)等差数列的通项公式可得:an= ? ,且
*

2. 等差中项的定义 : 若三个数 a,A,b 构成等差数列 , 则 A 叫作 a 与 b 的

A=______ .
3.等差数列的性质 在等差数列{an}中: (1)an-am= (2)an= ,d= (m≠n);

=

=?;

(3)若 p+q=r+s(p,q,r,s∈N+),则 ; (4)若{kn}为等差数列,则{a·kn}为 数列,此外,所有奇数项(或偶数项)按原来 的顺序构成的数列也为 数列. 4.等差数列的单调性 等差数列 {an} 中 , 若公差 d>0, 则数列 {an} 为 数列 ; 若公差 d<0, 则数列 {an} 为 数列;若公差 d=0,则数列{an}为 数列. 【例 1】 (1)求等差数列 8,5,2,?的第 20 项;? (2)-401 是不是等差数列-5,-9,-13?的项?如果是,是第几项??

练习: (1)求等差数列 3,7,11,?的第 4 项与第 10 项.? (2)求等差数列 10,8,6,?的第 20 项.? (3)100 是不是等差数列 2,9,16,?的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.

例 2.(1)已知{an}是等差数列,a5=10,d=3,求 a10.? (2)已知{an}是等差数列,a5=10,a 12=31,求 a (3)等差数列 2,5,8,?,107 共有多少项??
20

,an.?

例 3.(1)在等差数列 ?an ? 中,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 25 ,则 a2 ? a8 = (2)在等差数列 {an } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 2a10 ? a12 的值为( A.20 B.22 C.24 D.28 ) )

.

(3)已知等差数列{an}中,a5=10,则 a2+a4+a5+a9 的值等于( A.52 B.40 C.26 D.20

例 4.已知数列{an}的通项公式为 an=pn+q,其中 p、 q 是常数,那么这个数列是否一定是等差数 列?若是,求出首项与公差;若不是,请说明理由.

例 5.已知三个数成等差数列,它们的和为 15,且第三个数与第二个数的平方差为 56,求这三 个数.

例 6.第一届现代奥运会于 1896 年在希腊雅典举行,此后每 4 年举行一次,奥运会如因故不 能举行,届数照算. (1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式; (2) 2012 年伦敦奥运会是第几届? 2050 年举行奥运会吗?

练习: 一、选择题 1.已知数列 {an } 为等差数列,且 a1 ? 2 , a2 ? a3 ? 13 ,则 a4 ? a5 ? a6 ? ( (A)45 (B)43 (C)42 (D)40 ). )

2.已知等差数列{an}的通项公式为 an=3-2n,则它的公差为( A.2 B.3 C.-2 D.-3 3.在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则 a10=( A.12 B.14 C.16 )

D.18 )

4.等差数列{an}中,a1+a4+a7=36,a2+a5+a8=33,则 a3+a6+a9 的值为 ( (A)21 (B)24 (C)27 (D)30

5.设数列{an}、{bn}都是等差数列,且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么数列{an+bn}的第 37 项为 ( ). A.0 B.37 C.100 D.-37 6.△ABC 中,三内角 A、B、C 成等差数列,则角 B 等于( ). A.30° B.60° C.90° D.120° 7.已知等差数列{an}满足 a1+a2+a3+…+a101=0,则有( A. a1+a101>0 B. a2+a100<0 C. a3+a99=0 ) D.a51=51 )

8.已知数列 ?an ? 是等差数列,且 a1 ? a4 ? a7 ? 2? ,则 tan(a3 ? a5 ) 的值为(

A.

3

B. ? 3

C.

3 3
).

D. ?

3 3

9.一个等差数列的前 4 项是 a,x,b,2x,则 等于(

A.

B.

C.

D.

二、填空题

1. ?an ? 为等差数列, a1 ? ?1 a2 ? ?3 ,则公差为 2.在等差数列 ?an ? 中, (1)已知 a1 ? ?1 , d ? 4 ,则 a8 = (2)已知 a 4 ? 4 , a8 ? ?4 ,则 a12 = (3)已知 d ? ?

, an =



1 , a7 ? 8 ,则 a1 = 3
.


3.在等差数列{an}中,若 a1=2,a2+a3=13,则 a4+a5+a6=
2 2

4.已知等差数列 ?an ? 中, a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? 20 ,则 a2 ? a10 ?

5.已知递增的等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a3 ? a ? 4 ,则 an =_____________. 6.等差数列 {an } 中,若 a1 ? a4 ? a7 ? 15 , a3 ? a6 ? a9 ? 3 ,则 a2 ? a5 ? a8 =______. 7.若 2,a,b,c,9 成等差数列,则 c-a=________. 8.若一个不等边三角形的三条边长从小到大依次构成等差数列 ,其中最小的边长为 5,则公 差 d 的取值范围为 .

三、解答题
1.在等差数列 ?an ? 中, (1)已知 a3 ? 31 , a7 ? 76,求 a1 和 d ; (2)已知 a1 ? a6 ? 12, a4 ? 7 ,求 a9 .

(3)已知 a3=7,a5+a7=26,求 an.(4)已知 a3 ? a4 ? a5 ? 84, a9 ? 73 .求数列 ?an ? 的通项公 式;

2.设{an}是递增等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,求这三个数.

3.已知数列{an}的通项公式为 an=pn +qn(p,q∈R,且 p,q 为常数). (1)当 p,q 满足什么条件时,数列{an}是等差数列? (2)求证:对于任意的实数 p,q,数列{an+1-an}是等差数列.

2

4.已知数列{an}是一个等差数列,且 a2=1,a5=-5. (1)求{an}的通项公式; (2)设 cn= ,bn= ,求 T=log2b1+log2b2+log2b3+?+log2bn 的值.

5.诺沃尔在 1740 年发现了一颗彗星,并推算出在 1823 年,1906 年,1989 年人们都可以看 到这颗彗星,即彗星每隔 83 年出现一次. (1)从发现那次算起,彗星第 8 次出现是在哪一年? (2)你认为这颗彗星在 2500 年会出现吗?为什么?

6.数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设 bn=an+1-an,证明:{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式.


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