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从江苏08年高考13题的解法看阿波罗尼斯圆的应用


58

数学通报

2009年

第48卷

第5期

从江苏08年高考13题的解法看 “阿波罗尼斯圆”的应用
周永兴
(江苏省前黄高级中学213161)

1提出问题
问题1

2008年高考江苏卷第13题:若AB

角形三边关系有J√2工+z>2解得2拉一2<z<
【z+2>√2z

----2,AC=J、/2BC,则S△删的最大值是——.
2教材原题再现及推广 苏教版必修2教材习题2.2(1)第10题:


2在+2,故当z2=12,即z=2厄时s△ABc取得最
大值2√2. 解法2引进角为自变量. 设么ACB=0,BC=z,则AC一√2 z.在

已知点M(x,y)与两个定点0(0,O),A(3,O)

的距离之比为÷,那么点M的坐标应满足什么关
系?画出满足条件的点M所形成的曲线.

解:由题意得了丢黔=虿1,化简整理
、/LZ一5,。1_V。


/kABC中,由余弦定理知4一z2+(屈)2—2?z ?皿?cos 0,即z2=———≥—一再根据面积公
3‘——2

42C08 0

得(z+1)2+y2=4,所以满足条件的点M所形成 的曲线是以(一1,O)为圆心,2为半径的圆,图略. 一般地,我们可以证明:平面内到两个定点 A(--a,o),B(a,0),(a>0)的距离之比为正数A
(,Ive

式得:S△ABc:

AC..Bc.sin口:~—/2—x2-sin 0,将


上式代入得s△ABc

i2j、/巧2s面in



,记

J——二V厶COS口

1)的点的轨迹是以c\{AA。2一+ila,O)为圆心,

s』上丝些卫,则2抠(sin O+S
3—2√ZCOS 0

I者兰l为半径的圆.与圆锥曲线的第二定义类
似,我们把“平面内到两个定点距离之比为正数A (A≠1)的点的轨迹”叫做圆的第二定义,这个圆就 是著名的“阿波罗尼斯圆”. 3解决问题 解法1引进边长为自变量 设BC=z,则Ac=√虿z,根据面积公式得

朴in(臼叫I

5焘≤1'可得s≤2拉,

COS口):3S,再

当且仅当tan口=半时S△ABc取最大值2厄
解法3应用“阿波罗尼斯圆”,将三角问题 解析化.

=4互BC可得以iF丁研一厄抓孑可呵,
化简得(z一3)2+Y2=8,于是点C的轨迹是以

设A(一1,O),B(1,0),动点C(x,y),由AC

s△A8c=÷AB?BC?sin
余弦定理得c。s

=一=一仃 z乒再玎一正、/--(匹x2--竽12)2塑+128,又由三
r讯胜 :—4+—x—石2--~2x2:—4--:-X2,代,t、上式得SAA 4z’o~7、J-H
4z

B=垒甓去鼯
B=z N

41--C0¥2B,根据

D(3,o)为圆心,2厄为半径的圆,所以点C到AB 的距离的最大值为半径2厄,故s△ABc的最大值
…= ABc: “

为妻×2×2抠=2厄
4高考题链接 其实,“阿波罗尼斯圆”在高考数学试卷中的

万方数据

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出现还有几例,请看: 问题2(2006年高考四川卷第6题)已知两定 点A(一2,0),B(1,0),如果动点P满足条件 lPAl一2I PBI,则点P的轨迹所包围的图形的 面积等于
A.7c B.47c C.87r

AB=lOOkm,灾区C到铁路的距离CA=20km, 现要在A、B之间某点D处,向C抢修一条笔直 的公路,已知每吨救灾物资运输lkm在铁路与公 路上的费用之比为3:5,为了使每吨救灾物资从 供应站B运到灾区C的总费用最少,点D应选在 何处? 该题的求解模型很多,此处不一一列出,其中 用“阿波罗尼斯圆”来解就显得很简捷! 解建立如图所示直角坐标系,先求到定点


D.97r



解析:设P(x,y),用类似的方法可以求得点 P的轨迹方程为(z一2)2+y2=4,所以点P的轨 迹所包围的图形为半径为2的圆及圆的内部,它 的面积为4丌,故选B. 问题3(2008年高考四川卷第12题)设抛物 线C:Y2=Sx的焦点为F,准线与z轴相交于点

A、c的距离之比为詈的动点P(z,y)的轨迹方

K,点A在c上且lAKI一√三IAFI,则AAFK的
面积为
A.4 B.8 C.16

程,即:了主军斋2号,整理即得动点
厂j-二r—r





D.32



P(x,y)的轨迹方程:2x2+2y2+45y--450—0,令 y=o,得z一±15(舍去正值)即得点D(一15,o), DA一15,DC=25,所以点D应该选在线段AB上 距离A点15km处. +下证此点D即为所选的点:自点B作CD延 长线的垂线,设垂足为E,在线段BA上任取异于 D的点D,,连结CD,,再作D。E。上BE于E?.设 每吨物资运输lkm在铁路上的费用为3k(k2>0), 则每吨物资运输lkm在公路上的费用为5足,若选 址在D1处,那么总运输费用y=3kBD?+5kD,C
=(3BDl+5D1 C)k,而△BE D1∽△BED∽

常规方法解析:Y2=8x的焦点F(2,0),准线

拉IAFI,得以习虿而r一拉以≯虿酮了,
即(z+2)2+y2—2[(z一2)2+y2]. 得z一2,Y=士4.
1 1

z=一2,K(一2,0).设A(z,y),由I

AK

I一

化简得:z2+y2—12z+4=0,与y2—8x联立,解

所以s△AFK一÷?I


FK

I.J蛳l=寺×4×4


=8故选B.


自编题举例 四川汶川大地震后,各地的救灾物资源源不


ACAD,所以器一器一_而25一_了5,所以3
即为所求的选址点.

BDl=

5E,D1,于是总费用y一(3BDl+5D1C)k一(E1D? +D,C)5愚≥(CD+DE)5k=5kCE,上式当且仅当 点C、D。、E1三点共线时取等号.综上所述,点D



。c

,,夕

,,,7/


总之,在高中数学教学中,教材上的习题我们 一定要给予充分重视,因为教材是教师实施教学 的主要工具,它里面的习题都是经过精心挑选的, 具有一定的代表性和可迁移性.教师不仅要善待 教材中每一道习题,而且还要善于挖掘问题的本 质和背景,从“高观点”看数学问题,达到“居高临 下”的境界,这样更有利于我们提高习题的教学质 量,促进学生创造思维的培养.

D./石夕一 广\

一、、、、\姒? \. 乡】i
断的运抵灾区C,如上图。在铁路运输线上线段

万方数据


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