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高三立体几何翻折题


2009年考题:如图,长方形ABCD中,

AB=2,BC=1,E为CD的中点,F为线段EC (端点除外)上一动点,现将三角形AFD 沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC,在平 面ABD内过点D作DK ⊥AB ,K为垂足,设 AK=t,则t 的取值范围是 .

(图1)

实验操作
方法一:采用实验演示,直观感知,操作确认

通性通法
方法二:重展立体图形,“空间问题平面化”
D
M

E F

C

?

D
M

A

K

B

?

F K
B

C

A

Rt ?ADF∽Rt ?KAD
1 AK ? DF

AD DF ? AK AD

方法三:添设辅助线,“几何问题代数化”

D

F

C

A

K N

B

设DF ? m, 则KN ? m ? t
AD2 ? AK 2 ? DK 2 ? DF 2 ? KF 2 ? DF 2 ? (KN 2 ? FN 2 )
1 t ? m

方法四:设置直角坐标系,“立体问题坐标化”

z
A
x

D F K
2

C

B

y

DF ? m, CF ? 2 ? m D (0, t , 1 ? t ), F (?1, m,0)

DF ? m

1 t? m

考题变式1: 如图,长方形ABCD中,

AB=2,BC=1,E为CD的中点,F为线段EC (端点除外)上一动点,现将三角形AFD 沿AF折起,使平面AFD⊥平面ABC,在平 面ABD内过点D作DK⊥AB ,K为垂足,设 AK=t,则 t 的取值范围是 .

(图1)

考题变式2: 如图,长方形ABCD中,

AB=3,BC=1,E为CD的三等分点,F为线 段EC (端点除外)上一动点,现将三角 形AFD沿AF折起,使D点在平面内的射影 恰好落在边AB上,则当F运动时,二面 角D-AF-B平面角余弦值的范围 .

(图1)


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