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【志鸿优化设计】2015届高考数学(人教版,文科)一轮总复习课时规范练17 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质


课时规范练 17

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质

一、选择题 1.将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( ) A.y=sin B.y=sin C.y=sin D.y=sin 答案:C 解析:函数 y=sin x 的图象上的

点向右平移个单位长度可得函数 y=sin 的图象;再把各点的横坐标伸长 到原来的 2 倍(纵坐标不变)可得函数 y=sin 的图象,所以所求函数的解析式是 y=sin.故选 C. 2.若把函数 f(x)=sin ωx 的图象向左平移个单位,恰好与函数 y=cos ωx 的图象重合,则 ω 的值可能是 ( ) A. B. C. D. 答案:D 解析:将函数 y=sin ωx 的图象向左平移个单位长度, 则得到函数 y=sinω=sin 的图象, 因为 y=cos ωx=cos(-ωx)=sin, 所以+2kπ,ω=+6k,k∈Z, 所以当 k=0 时,ω=,选 D.

3.(2013 四川高考)函数 f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<的部分图象如图所示,则 ω,φ 的值分别是( ) A.2,B.2,C.4,D.4, 答案:A 解析:由图象可得, ∴ T=π,则 ω==2,再将点代入 f(x)=2sin(2x+φ)中得 sin=1, 令+φ=2kπ+,k∈Z, 解得,φ=2kπ-,k∈Z, 又∵ φ∈,则取 k=0, ∴ φ=-.故选 A. 4.已知函数 y=2sin(ωx+θ)为偶函数(0<θ<π),其图象与直线 y=2 的某两个交点的横坐标为 x1, x2,若|x2x1|的最小值为 π,则( ) A.ω=2,θ= B.ω=,θ= C.ω=,θ= D.ω=2,θ= 答案:A 解析:∵ y=2sin(ωx+θ)为偶函数,0<θ<π, ∴ θ=. ∵ 图象与直线 y=2 的两个交点的横坐标为 x1,x2,|x2-x1|min=π,∴ =π,ω=2.故选 A. 5.函数 f(x)=sin,给出下列三个命题:①函数 f(x)在区间上是减函数;②直线 x=是函数 f(x)的图象的一条 对称轴;③函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin 2x 的图象向左平移个单位得到. 其中正确的是( ) A.①③ B.①② C.②③ D.①②③ 答案:B 解析:∵ ≤x≤, ∴ ≤2x+, ∴ f(x)在上是减函数,故①正确.

fsin,故②正确. y=sin 2x 向左平移个单位得 y=sincos 2x≠f(x),故③不正确.故选 B. 6.已知函数 f(x)=Mcos(ωx+φ)(M>0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,AC=BC=,∠ C=90° ,则 f 的值为( )

A.B. C.D. 答案:A 解析:依题意,△ABC 是直角边长为的等腰直角三角形,因此其边 AB 上的高是,函数 f(x)的最小正周期 是 2,故 M==2,ω=π,f(x)=cos(πx+φ).又函数 f(x)是奇函数,于是有 φ=kπ+,其中 k∈Z.由 0<φ<π 得 φ=,故 f(x)=-sin πx,f=-sin =-,选 A. 二、填空题 7.已知 f(x)=sin(ω>0),f=f 且 f(x)在区间内有最小值,无最大值,则 ω= . 答案: 解析:∵ f=f 且 f(x)在区间上有最小值,无最大值, ∴ f(x)在 x=处取得最小值. ∴ ω+=2kπ-(k∈Z). ∴ ω=8k-(k∈Z). ∵ ω>0, ∴ 当 k=1 时,ω=8-; 当 k=2 时,ω=16-,此时函数在区间内已存在最大值.故 ω=. 8.已知函数 y=sin ωx(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,要得到函数 y=sin 的图象,则需将函数 y=sin ωx 的图象向 平移 个单位长度.

答案:左 解析:由图象知函数 y=sin ωx 的周期为 T=3π-(-π)=4π, ∴ ω=, 故 y=sin x. 又 y=sin=sin, ∴ 将函数 y=sinx 的图象向左平移个单位长度,即可得到函数 y=sin 的图象. 9.函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为 π,且函数图象关于点对称,则函数的解析式 为 . 答案:y=sin 解析:由题意知最小正周期 T=π=,故 ω=2. 又∵ 2×+φ=kπ(k∈Z), ∴ φ=kπ+(k∈Z). 又∵ 0<φ<π,∴ φ=, ∴ y=sin. 10.已知 ω>0,函数 f(x)=sin 上单调递减,则 ω 的取值范围是 . 答案:≤ω≤ 解析:函数 f(x)=sin 的图象可看作是由函数 y=sin x 的图象先向左平移个单位得 y=sin 的图象,再将所 得图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到的,而函数 y=sin 上单调递减,所以要使函数 f(x)=sin 上单调递减,需满足解得≤ω≤. 11.给出下列命题: ①函数 f(x)=4cos 的一个对称中心为; ②已知函数 f(x)=min{sin x,cos x},则 f(x)的值域为;

③若 α,β 均为第一象限角,且 α>β,则 sin α>sin β. 其中所有真命题的序号是 . 答案:①② 解析:对于①,令 x=-,则 2x+=-=-,有 f=0,因此为 f(x)的对称中心,①为真命题;对于②,结合图象知 f(x)的 值域为;对于③,令 α=390° ,β=60° ,有 390° >60° ,但 sin 390° =<sin 60° =,故③为假命题,所以真命题为 ①②. 三、解答题 12.若把函数 y=cos x-sin x+1 的图象向右平移 m(m>0)个单位长度,使点为其对称中心,求 m 的最小值. 解:y=cos x-sin x+1=2cos+1,把该函数图象向右平移 m(m>0)个单位后所得函数的解析式为 y=2cos+1, 由平移后为其对称中心得 1=2cos+1, ∴ cos=0, ∴ -m=kπ+(k∈Z),解得 m=-kπ+(k∈Z),故 m 的最小值是. 13.函数 f(x)=Asin+1(A>0,ω>0)的最大值为 3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 α∈,f=2,求 α 的值. 解:(1)∵ 函数 f(x)的最大值为 3,∴ A+1=3,即 A=2, ∵ 函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为, ∴ 最小正周期 T=π,∴ ω=2,∴ f(x)=2sin+1. (2)∵ f=2sin+1=2, 即 sin, ∵ 0<α<,∴ -<α-, ∴ α-,∴ α=. 14.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象如图所示:

(1)求 ω,φ 的值; (2)设 g(x)=f(x)f,求函数 g(x)的单调递增区间. 解:(1)由图可知 T=4=π,ω==2,又由 f=1,得 sin(π+φ)=1,sin φ=-1.∵ |φ|<π,∴ φ=-. (2)由(1)知 f(x)=sin=-cos 2x.∵ g(x)=-cos 2x=cos 2xsin 2x=sin 4x,∴ 2kπ-≤4x≤2kπ+(k∈Z),即≤x≤(k∈ Z). 故函数 g(x)的单调递增区间为(k∈Z). 15.如图,某小区准备在一直角围墙 ABC 内的空地上植造一块“绿地△ABD”,其中 AB 长为定值 a,BD 长可根据需要进行调节(BC 足够长).现规划在△ABD 的内接正方形 BEFG 内种花,其余地方种草,且把 种草的面积 S1 与种花的面积 S2 的比值称为“草花比 y”.

(1)设∠DAB=θ,将 y 表示成 θ 的函数关系式. (2)当 BE 为多长时,y 有最小值?最小值是多少? 解:(1)因为 BD=atan θ, 所以△ABD 的面积为 a2tan θ. 设正方形 BEFG 的边长为 t, 则由,得,解得 t=, 则 S2=, 所以 S1=a2tan θ-S2=a2tan θ-,

则 y=-1. (2)因为 tan θ∈(0,+∞), 所以 y=-1=≥1, 当且仅当 tan θ=1 时取等号,此时 BE=t=. 所以当 BE 长为时,y 有最小值 1. 四、选做题 1.函数 f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,如果 x1,x2∈,且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)=(

)

A. B. C. D.1 答案:C 解析:由图可知 T=2×=π,所以 ω==2,令 2×+φ=0 得 φ=,所以函数解析式为 f(x)=sin,对于 x1,x2∈,由于 f(x1)=f(x2),故 x1+x2=2×,故 f(x1+x2)=f,选 C. 2.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则将 y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到的图象解析 式为 .

答案:y=sin 解析:T=,得周期 T=π,于是 ω=2,由图象易知 A=1,根据五点作图法有 ω·+φ=,解得 φ=,所以 f(x)=sin, 将 y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到的图象解析式为 y=sin=sin. 3.f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),x∈R 的最大值是 1,最小正周期是 2π,其图象经过点 M(0,1). (1)求 f(x)的解析式; (2)设 A,B,C 为△ABC 的三个内角,且 f(A)=,f(B)=,求 f(C)的值. 解:(1)因为函数 f(x)的最大值是 1,且 A>0,所以 A=1. 因为函数 f(x)的最小正周期是 2π,且 ω>0,所以 T==2π,解得 ω=1. 所以 f(x)=sin(x+φ).因为函数 f(x)的图象经过点 M(0,1), 所以 sin φ=1. 因为 0<φ<π,所以 φ=. 所以 f(x)=sin=cos x. (2)由(1)得 f(x)=cos x, 所以 f(A)=cos A=,f(B)=cos B=. 因为 A,B∈(0,π),所以 sin A=,sin B=. 因为 A,B,C 为△ABC 的三个内角, 所以 cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B). 所以 f(C)=cos C=-cos(A+B)=-(cos Acos B-sin Asin B)=-.


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