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2016届高三四校一联文科数学试题


2016 届高三年级第一次四校联考文科数学试题
(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 一、选择题(5×12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将 正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号. ) 1. 已知集合 A ? x y ? x ? 1?,B ? ? y y ? x 2 ? 1? ,则 A ? B = A. ? B.

?(0, ?1),(1,0)? C. ? ?1, ??? D. ?0,1?

?

? ? ? ? 2. 已知 a ? (5,6), b ? (sin ? ,cos? ) ,已知向量且 a // b ,则 tan? =
A.

5 6

B. ?

5 6

C.

6 5

D. ?

6 5

3. 若复数 z 满足 ( z ? 1)i ? 2 ? i ,则复数 z 的共轭复数在复平面上所对应点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4. 从(40,30), (50,10), (20,30) , (45,5) , (10,10)这 5 个点中任取一个点,这个点在圆

x2 ? y 2 ? 2016 内部的概率是
A.

3 5

B.

2 5

C.

1 5

D.

4 5

5. 已 知 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y ? ? A.

1 x , 且 经 过 点 (4,1) , 则 双 曲 线 的 标 准 方 程 是 2
C.

x2 y2 ? ?1 3 12

B.

y2 x2 ? ?1 3 12

x2 y2 ? ?1 12 3
D. 32?

D.

y2 x2 ? ?1 12 3

6. 各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高是 2,体积是 16,则这个球的表面积是 A. 16? B. 20? C. 24?

7. 设等差数列 ?an ? 的公差是 d ,其前项和是 Sn ,若 a1 ? d ? 1 ,则 A.

Sn ? 8 的最小值是 an

9 2

B.

7 2

C. 2 2 ?

1 2

D. 2 2 ?

1 2

8. 已知 a, b ? R? ,函数 f ( x) ? a log 2 x ? b 的图像经过点 (4,1) ,则 A. 6 ? 2 2 B.6 C. 4 ? 2 2

1 2 ? 的最小值为 a b
D.8

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9. 对一名学生数学成绩统计了 8 次,第 i 次统计得到的数据为 ai ,具体如下表所示:

i

1 100

2 101

3 103

4 103

5 104

6 106

7 107

8 108

ai

在对上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图 (其中 a 是这 8 个数据的平均数),则输出的 S 的值是 A.9 B.8 C. 7 D.6

10. 对任意的实数 x 都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2 f (1), 若 y ? f ( x ? 1) 的图像 关于 x ? 1 对称,且 f (0) ? 2, 则 f (2015) ? f (2016) ? A.0 B.2 C. 3 D.4

11. 一个几何体的正视图和俯视图如图所示,其中俯视图是边长为 2 3 的正三角形,且圆与三角形内切,则侧视图的面积为 A.6+ ? B.4 3+ ? C.6+4 ? D.4 3+4 ?

?2 x ? 1(x ? 0) 12. 函数 f ( x) ? ? 若方程 f ( x ) ? ? x ? a 有且只有两个 ? f ( x ? 1)( x ? 0)
不等的实数根,则实数 a 的取值范围为 A.(-∞,0) B.[0,1) C.(-∞,1) D.[0,+∞)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 函数 f ( x) ? xe x 的图象在 x ? 1 处的切线方程为 ▲ . ▲ .

?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? 14. 若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 , 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?x ? 3 ?

15. 已知抛物线 y 2 ? ?2 px( p ? 0) 的准线与圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 25 相切,则 p 的值为 16. 函数 f ?x ? = 3 sin x ? a cos x 的图象的一条对称轴是 x ?



.

5? ,则 3
▲ .

g ( x) ? a sin x ? cos x ? Asin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? ) 的初相是 2
17. (本小题满分 12 分)

?

三、解答题(本大题共 8 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 在△ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a= 7,b+c=5,且 B+C 7 4sin2 -cos2A= . 2 2 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求△ABC 的面积.
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18. (本小题满分 12 分) 已知在四棱锥 S ? ABCD 中,四边形 ABCD 是菱形, SD ? 平面 ABCD , P 为 SB 的中点,

Q 为 BD 上一动点. AD ? 2, SD ? 2, ?DAB ? ? .
3
(Ⅰ)求证: AC ? PQ ; (Ⅱ)当 PQ // 平面 SAC 时,求四棱锥 P ? AQCD 的体积. 19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)如图所示是某市最近 5 年个人年平均收入表节选. 求 y 关于

x 的回归直线方程,并估计第 6 年此市的个人年平均收入(保留三位有效数字).
年份 x 收入 y(千元) 1 21 2 24 3 27 4 29 5 31

(Ⅱ)下表是从调查某行业个人平均收入与接受专业培训时间关系得到 2 ? 2 列联表:
受培时间一年以上 收入不低于平均值 收入低于平均值 60 10 受培时间不足一年 20 10 100

完成上表,并回答:是否有 95 % 以上的把握认为“收入与接受培训时间有关系” .
附 2:

P( K 2 ? k0 )

0.50 0.455

0.40 0.708

0.10 2.706

0.05 3.841

0.01 6.635

0.005 7.879

k0

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 满足:过椭圆 C 的右焦点 F ( 2,0) 且经过短轴端点的直线的倾斜角为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 O 为坐标原点,若点 A 在直线 y ? 2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA ? OB ,求线段

?
4

.

AB 长度的最小值.

高三四校一联文科数学试题 第 3 页 共 4 页

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (a ? 1)ln x ? x ? , 其中 a ? R. (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若在 ?1, e? 上存在 x 0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 成立,求 a 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一个计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1 几何证明选讲 如图,过圆外一点 P 的直线交圆 O 于 A、B 两点,PE 是圆 O 的切线,CP 平分 ∠ APE ,分别与 AE、BE 交于点 C , D . 求证: (Ⅰ) CE ? DE ; (Ⅱ)

a x

CA PE ? . CE PB

23. (本小题满分 10 分)选修 4─4:坐标系与参数方程选讲 设平面直角坐标系原点与极坐标极点重合, x 轴正半轴与极轴
2 重合,若已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ?

12 ,点 F1 、 F2 为其左、右焦 3cos ? ? 4sin 2 ?
2

? 2 t ?x ? 1 ? ? 2 ( 为参数, t ? R ). 点,直线 l 的参数方程为 ? t 2 ?y ? t ? 2 ?
(Ⅰ)求曲线 C 的标准方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若点 P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 的最大距离. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2x ? 1 , x ? R. (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 2 ? 5 的解集; (Ⅱ)若 g ( x) ?

1 的定义域为 R ,求实数 m 的取值范围. f ( x) ? f ( x ? 1) ? m

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