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河北唐山市2015届高三摸底考试数学(文)试题 Word版含答案


河北省唐山市 2015 届高三摸底考试数学(文)试题
说明: 1.本试卷分为第Ⅰ 卷和第Ⅱ 卷,第Ⅰ 卷为选择题,第Ⅱ 卷为非选择题,分为必考和选考两个部分. 2.答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题. 3.做选择题时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应的项目符号涂黑,如需改动,用橡 皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案. 4.考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回. 第Ⅰ 卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题 目要求) 1、已知集合 M={x|x≥-1},N={x|2-x2≥0},则 M∪ N=( A.[- 2 ,+∞) C.[-1,+∞) 2、复数 z= 1 ? 3i ,则( 1 ? 2i A.|z|=2 C.z 的虚部为-i ) B.z 的实部为 1 D.z 的共轭复数为-1+i ) B.奇函数,在(0,+∞)是增函数 D.奇函数,在(0,+∞)是减函数 ) B.[-1, 2 ] D.(-∞,- 2 ]∪ [-1,+∞) )

x ?x 3、函数 f 王(x)= 2 ? 2 是( 2

A.偶函数,在(0,+∞)是增函数 C.偶函数,在(0,+∞)是减函数 4、抛物线 y=2x2 的准线方程是( A.x=-

1 2

B.x=

1 2
)

C.y=-

1 8

D.y=

1 8

5、已知 sin( ? ? x) ? 1 ,则 sin2x 的值为( 4 4 A. 15 16 B. 9 16

C. 7 8 ) C.

D. ? 15 16

6、甲、乙、丙三人站成一排,则甲、乙相邻的概率是( A.

2 3

B.

1 3
) C.5

1 2

D.

5 6

7、执行如图所示的程序框图,则输出的 a=( A. 5 4 B. ? 1 4

D. 4 5

7、设向量 a,b 满足|a|=|b|=|a+b|=1,则|a-tb|(t∈ R)的最小值为( A.2 B. 1 2 C.1

) D. 3 2 )

9、将函数 f ( x) ? sin(? x ? A.

?
6

) 的图象关于 x=

? 对称,则 ω 的值可能是( 6
D.2 )

1 2
4 3

B.

3 2

C.5

10、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A. B. 5 +6 C. 5 +5

D. 3 +5

x ?1 ? ? 11、已知 a>0,x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,且 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=( ? y ? a( x ? 3) ?

)

A. 1 4

B. 1 2

C.1

D.2 )

12、已知 a>0,且 a≠1,则函数 f(x)=ax+(x-1)2-2a 的零点个数为( A.1 B.2 C.3 D.与 a 有关

第Ⅱ 卷

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13、函数 f(x)=log2(2x-1)的定义域为________________. 14、实数 x,y 满足 x+2y=2,则 3x+9y 的最小值是________________. 15、已知双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的一条渐近线与直线 l: x ? 3 y ? 0 垂直,C 的一个 a 2 b2

焦点到 l 的距离为 1,则 C 的方程为__________________. 16、 在△ ABC 中,AB ? 2 , 点 D 在边 BC 上,BD ? 2DC ,cos ?DAC ? 则 AC+BC=_________________.

3 10 2 5 ,cos ?C ? , 10 5

三、解答题:本大题共 70 分,其中(17)-(21)题为必考题,(22),(23),(24)题为选考题,解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤. 17(本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=kn(n+1)-n(k∈ R),公差 d 为 2. (1)求 an 与 k; (2)若数列{bn}满足 b1 ? 2 , bn ? bn?1 ? 2 n (n≥2),求 bn.
a

18(本小题满分 12 分) 某公司对夏季室外工作人员规定如下:当气温超过 35℃ 时,室外连续工作时间严禁超过 100 分 钟;不少于 60 分钟的,公司给予适当补助.随机抽取部分工人调查其高温室外连续工作时间(单位: 分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中工作时间范围是[0,100],样本数据分组为 [0,20),[20,40),[40.60),[60,80),[80,100]. (1)求频率分布直方图中 x 的值; (2)根据频率分布直方图估计样本学数据的中位数; (3)用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率;用分层抽样的方法从享受补助人员 和不享受补助人员中抽取 25 人的样本,检测他们健康状况的变化,那么这两种人员应该各抽取多少 人?

19(本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D 是 BC 的中点. (1)求证:A1B∥ 平面 ADC1; (2)若 AB=AC,BC=AA1=2,求点 A1 到平面 ADC1 的距离.

20(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=2ex-ax-2(a∈ R) (1)讨论函数的单调性; (2)当 x≥0 时,f(x)≥0,求 a 的取值范围.

21(本小题满分 12 分) 椭圆 C:

3 4 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,P(m,0)为 C 的长轴上的一个动点,过 P 点斜率为 2 5 5 a b

的直线 l 交 C 于 A、B 两点.当 m=0 时, PA ? PB ? ? (1)求 C 的方程; (2)求证: | PA | ? | PB | 为定值.
2 2

41 2

请考生在第(22),(23),(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑

22(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙ O 过平行四边形 ABCT 的三个顶点 B,C,T,且与 AT 相切,交 AB 的延长线于点 D. (1)求证:AT2=BT· AD; (2)E、F 是 BC 的三等分点,且 DE=DF,求∠ A.

23(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C:

? ? x ? ?2 ? ? 2 ? sin ? ? 2a cos? (a>0),过点 P(-2,-4)的直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ?
C 分别交于 M,N. (1)写出 C 的平面直角坐标系方程和 l 的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值.

2 t 2 (t 为参数),l 与 2 t 2

24(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? (1)证明:f(x)≥4; (2)若 f(2)>5,求 m 的取值范围.

4 | ? | x ? m | (m>0) m

唐山市 2014—2015 学年度高三年级摸底考试

文科数学参考答案
一、选择题: A 卷:CDBCA BCDCD BA B 卷:ADBCC ACDDC BB 二、填空题: 1 y2 (13) ,+∞ (14)6 (15)x2- =1 2 3 三、解答题:





(16)3+ 5

(17)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题设得 a1=S1=2k-1, a2=S2-S1=4k-1, 由 a2-a1=2 得 k=1, 则 a1=1,an=a1+(n-1)d=2n-1. ?4 分 an an 1 an a2 a3 an 1 an (Ⅱ)bn=bn-1+2 =bn-2+2 +2 =b1+2 +2 +?+2 +2 . - 由(Ⅰ)知 2an=22n 1,又因为 b1=2,所以 2(1-4n) 2(4n-1) - - bn=21+23+25+?+22n 3+22n 1= = . 3 1-4 明显,n=1 时,也成立. 2(4n-1) 综上所述,bn= . ?12 分 3 (18)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由直方图可得:20×(x+0.0250+0.0065+0.0030+0.0030)=1, 解得 x=0.0125. ?4 分 (Ⅱ)设中位数为 t,则 20×0.0125+(t-20)×0.0250=0.5,得 t=30. 样本数据的中位数估计为 30 分钟. ?8 分 (Ⅲ)享受补助人员占总体的 12%,享受补助人员占总体的 88%. 因为共抽取 25 人,所以应抽取享受补助人员 25×12%=3 人, 抽取不享受补助人员 25×88%=22 人. ?12 分
- -

(19)(本小题满分 12 分) C1 A1 解: B1 (Ⅰ)连接 A1C,交 AC1 于点 E, E 则点 E 是 A1C 及 AC1 的中点. 连接 DE,则 DE∥A1B. F 因为 DE?平面 ADC1,所以 A1B∥平面 ADC1.?4 分 A (Ⅱ)由(Ⅰ)知 A1B∥平面 ADC1, C 则点 A1 与 B 到与平面 ADC1 的距离相等,又点 D 是 BC D B 点, 点 C 与 B 到与平面 ADC1 的距离相等, 则 C 到与平面 ADC1 即为所求. ?6 分 因为 AB=AC,点 D 是 BC 的中点,所以 AD⊥BC,又 AD⊥A1A, 所以 AD⊥平面 BCC1B1,平面 ADC1⊥平面 BCC1B1. 作于 CF⊥DC1 于 F,则 CF⊥平面 ADC1,CF 即为所求距离. ?10 分 DC×CC1 2 5 在 Rt△DCC1 中,CF= = . DC1 5

的中 的距离

所以 A1 到与平面 ADC1 的距离为

2 5 . 5

?12 分

(20)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)f ?(x)=2ex-a. 若 a≤0,则 f ?(x)>0,f (x)在(-∞,+∞)上单调递增; 若 a>0,则 a 当 x∈(-∞,ln )时,f ?(x)<0,f (x)单调递减; 2 a 当 x∈(ln ,+∞)时,f ?(x)>0,f (x)单调递增. 2 ?5 分

(Ⅱ)注意到 f (0)=0. 若 a≤0,则当 x∈[0,+∞)时,f (x)单调递增,f (x)≥f (0)=0,符合题意. a 若 ln ≤0,即 0<a≤2,则当 x∈[0,+∞)时,f (x)单调递增,f (x)≥f (0)=0,符合题意. 2 a a 若 ln >0,即 a>2,则当 x∈(0,ln )时,f (x)单调递减,f (x)<0,不合题意. 2 2 综上所述,a 的取值范围是(-∞,2]. (21)(本小题满分 12 分) 解: 3 b 4 (Ⅰ)因为离心率为 ,所以 = . 5 a 5 4 当 m=0 时,l 的方程为 y= x, 5 x2 y2 a2 代入 2+ 2=1并整理得 x2= . a b 2 设 A(x0,y0),则 B(-x0,-y0), 41 2 41 a2 2 2 → PA ·→ PB =-x0-y0=- x0=- · . 25 25 2 41 又因为→ PA ·→ PB =- ,所以 a2=25,b2=16, 2 x2 y2 椭圆 C 的方程为 + =1. 25 16 5 x2 y2 (Ⅱ)l 的方程为 x= y+m,代入 + =1并整理得 4 25 16 25y2+20my+8(m2-25)=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 41 2 41 则|PA|2=(x1-m)2+y2 y ,同理|PB|2= y2 . 1= 16 1 16 2 41 41 则|PA|2+|PB|2= ( y2 +y2)= [(y +y )2-2y1y2] 16 1 2 16 1 2 2 41 4m 2 16(m -25) = - - =41. 16 5 25 ?12 分

?2 分

?5 分

?8 分

[(

)

]

所以,|PA|2+|PB|2 是定值. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解: (Ⅰ)证明: 因为∠A=∠TCB,∠ATB=∠TCB,

?12 分
T F E A B M D C

所以∠A=∠ATB,所以 AB=BT. 又 AT 2=AB?AD,所以 AT 2=BT?AD. ?4 分 (Ⅱ)取 BC 中点 M,连接 DM,TM. 由(Ⅰ)知 TC=TB,所以 TM⊥BC. 因为 DE=DF,M 为 EF 的中点,所以 DM⊥BC. 所以 O,D,T 三点共线,DT 为⊙O 的直径. 所以∠ABT=∠DBT=90?. 所以∠A=∠ATB=45?.

?10 分

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: 2 (Ⅰ)曲线 C 的直角坐标方程为 y =2ax(a>0); 直线 l 的普通方程为 x-y-2=0. ?4 分 (Ⅱ)将直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立,得 t2-2(4+a) 2t+8(4+a)=0 (*) △=8a(4+a)>0. 设点 M,N 分别对应参数 t1,t2,恰为上述方程的根. 则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|. 2 2 由题设得(t1-t2) =|t1t2|,即(t1+t2) -4t1t2=|t1t2|. 由(*)得 t1+t2=2(4+a) 2,t1t2=8(4+a)>0,则有 (4+a)2-5(4+a)=0,得 a=1,或 a=-4. 因为 a>0,所以 a=1. ?10 分
[

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: 4 (Ⅰ)由 m>0,有 f (x)= x- +|x+m| m

|

|

4 4 +x+m = +m≥4, m m 4 当且仅当 m =m,即 m=2 时取“=”.所以 f (x)≥4. ?4 分 4 (Ⅱ)f (2)= 2- + 2+m . m 1+ 17 4 4 当 <2,即 m>2 时,f (2)=m- +4,由 f (2)>5,得 m> . m m 2 4 4 当 ≥2,即 0<m≤2 时,f (2)= +m,由 f (2)>5,0<m<1. m m 1+ 17 综上,m 的取值范围是(0,1)∪ ,+∞ . ?10 分 2 ≥ - x-

| (

)

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|

(

)


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