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高中物理竞赛中有关静电能的问题


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物理篇 ?   竞赛捐导 ?  

《 理化解 究》 2o 第,期 数 题研 o2 2 

高中物理竞赛中有关静电能的问题   
△ 新疆乌市新疆实验中学 (301 唐承君 。  800)
静电能的有关知识和相关题 目是静 电场 中的一  个难点 . 中所涉及 的一些概念 和公式 由于在高 中 其   课本和竞赛 书籍 中都没有 比较 的系 统的 阐述 . 故这 

对于球形孤立电容, 则有:  
W 宜=  ̄ 1


K =K   R  譬 Q

部分内容的掌握和相关竞赛题的解答则对于学生来  说较棘手, 本文, 将比较系统地介绍一下这部分 内  
容, 并尽量来用高中的初等数学知识 .  

二、 带电体系的静 电能:  

对于带电体系则除了上面讨论的每个带电体都  有的 宜   之外, 还有由于它们之间相互作用的 互    , 对于  百 则可以理解为把带电体一个一个地从无  , 穷远处移到各自最终位置过程中外力所做功的代数  和. 我们可用一个例子来说明这一问题.  
口  
a  a  

在《 电磁学》 有一书中这样阐述,设带电体系 “   由若干个带电体组成, 带电体系的总静 电能 W 尊   由各带电体之间的相互作用能 W 百 和每个带电体的  

I l 见 图②, 例 i : 求  自 w自 能 组成,而 把每个带电体看作一个不可分      割的整体, 将各带电体从无限远处移到现在位置外  整个带电体系的 互    . 力所作功的代数和等于它们之间的相互作用能; 把  解: 先设 想 把 一 

c  
—q  

q  

—q  

每一个带电体上的各部分电带从 无限分散的状态  (p e各无限远处) 聚集起来, 外力所作的功的代数和 
等于这个带 电体的 自能 .  

个 一q 从穷 远处移 到 一  

图 ② 

图中  点, 在这一过程外力无需做功, WI 0 即 =.   再把+  从无穷远处移到图中的B点, 外力做功 


利用这个阐述的思想方法, 我们就可以讨论静 
电能 了.  


g ( 詈】 K   【 一 )一等 0 K = 一



孤立带电导体的静电能( W自  自能 )

最后再把一q从无穷远处移到图中 C点, 外力 
做 功 

由于只有一个孤立带电导体, 则只有由它产生  的电场所储存的 自能  自我们可以设想从无穷远  .
处把无限小的电量 △   Q 一次一次地用外力移动到该导 

W  【K 一 ) 丢 , 0 詈  】   一( _ 一K

体上, 则外力必须作功, 而整个过程中, 外力所作的   功总和则储存为电场 ( 电荷) 的静电能( 自 .   )设导体  的电容为 c 第 f ’ 次移电荷为 △   Q, 则外力必须作功 

故 互WW W .   W=I23 等 ++- _
注: 以证 明, 可 这一 结果 与搬运 电荷 的顺 序 无 

= Q,   为移送该 △     其中 Q之前带 电体的电   势, 故有 W 自:Z Q 对于这个无穷级的求和可采     
用图象法求解, 由于孤立带电导体的电势 【产带电 ,   量 Q之间满足 Q=C 即图①   
所示关系 : 由图可见 .   是阴  

关, 另外, 对于点电荷的自能( 自 讨论起来较为复    )
杂, 这里就不涉及了 .  

I 2 例 卜一个带电的水球, 若带电量超过某一量值 
后 , 自动分裂为两个大小、 会 电量均相 同的小 水球,  

试问一个半径为 l— 05 m的水球至少要带多少电量才 
会分裂? 设 电荷均匀分布, ( 水表面张力系数 盯 7 × =.  3
l~、m)  0 l . /

影部分面积, 则对于无穷多的阴   影面积求和, 即图像与横轴所夹  Q  

解 : 分裂 前 半 径为 R 分 裂 后 半 径 为 尺, 设 ,   则 
有:  

= ,, 2 尺 击  V =  

①  

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物理篇 
因为水球分裂造成表面积增大而所需 的表面 张  

《 化解题 数理 研究》 20 # 第7期 02 - 2  

力势能为  A a S ( R 一  ̄ 2 E= A =a8   4 R) n   分 裂前水球具有的 自能: 。     =k
n 2  

②  ③ 

÷ :Q 一 卜It U ÷( 詈  (1j 苦  [ J Q+ ) i   -
4 k  n d

则整个过程 中外力做功 值 

分 后 能 和 : 2薷  裂 自之 为 ×  
‘ 

④  
⑤  ⑥  ⑦ 

即: W静= ÷QU I u= 1 (— 1 ∑ ( —     u U) + ) Q  
由于开始 时两极板 紧贴 故 U = , . 0 则 

rt   2

分裂后的相互能为:   则 A — W. ( + E 一   

k  

W静:    IQU= + c +  I +    要使水球能分裂, 则必须有: E > E A  A  
联立①~⑦式, 则  .  

:』   :I : 
+ + + + + 

可见电容器所带静电能值等 于孤立带 电体的静 
电能 ( 自能值) 不过该处 的 U指 的是两极板 的电祷  ,

Q> 2 ) 盯  l     一1 兀 R 一— 4

=1    0C
f.  

差. 下面给一电容器的例子.   I 3 如图④ 所示 , 为一平 行板 电容 器的 两 例 J :     个极板 ,c 6 是一块长宽都与 a 极相 同的厚 导体 板, 平 

三、 平行板电容器的静电能:  

f  

当平行板电容器两极板充上等量异种电荷后,  
极板间充满匀强 电场 E而极板外 无电场, 故所有静  电能都储存在极板间, 有两种办法可以推导其静电能.  

行地插在 口b之间, , 导体板厚 b=a :c. c b d极板与内  
阻可忽略的电动势为 s 为蓄电池以及 电阻 R相连 .   已知在没有 导体板 6 时 电容 器 a d的电容为 C 现  c 、 ’
程中电阻 R上消耗的电能.  

( 采用电荷积累法: 1 ) 设两极板间距为 d 电容值  将 6 抽走, , c 设抽 走过程 中外- 做的功 为  , 该过  力 求
为 C 若每次从一极板拿一无限小电量 A 。 。 Q 到另一 
板, 则整个过程 中外 力所做功 之和即为  静 W静: ,  

解:当 有 6 c存 在 
电容器  和  串联, 而 
每个 电容器的 电容 和 C  

∑ =T f=∑ QEd A   仿 前 述 方 法 ( W  _l △  i=Z Q U. , F 见  时, 电容  相 当于 两个 
图①)则 Ww: 1Q ,      ()可设想 把一带  2
电极 板 固 定 不 动 并 接 


相 比是其 3 故: 倍,  

:  

图④  

地, 则电势为零 ( 当于  相
无穷远含义 ) 另一极板  .

C  
c  
+  ,  

3 。3   C C
3c    

从无限贴紧处 ( 当于  相 无穷远处) 拿到其相距 d  

B 

① 

图⑧ 

抽走 b 过程中, c 电容器的静电能减少量为:  
△E。  I  2  Ic£  1c£ =  c £一   2 :    

处. 则外力克服电场力做功之值即为 W静 见图⑨ . ,  

② 

如把 A极板固定并接地, B极从 d处移动无限   
小距离到 d   电场力对其作功为  , i 处, + 由于距 离很  而电容器极板上 的 电量减 少量为 :   A Q=C£ £  1c    一c =   £ 则 可知电容器 对电源充 电的电为 :   △2 Q:   £ E :A £  1c   @   ⑧  

小 设该段电 力不变, 可假 场 等于在中间 ÷处时所  +  

受 力  E=Q d 1 电 , =Q    i) 场故   誓(   一  
( 由于求的是 B极板 受  极板 的 电场力, 故场强值  应取电容器内部原场强值的 


) 由 U= . 于 i  ,   故:

用 E表示电阻上消耗的能, 由能量守恒有:  
+AEl :AE2 +E 

{  
4 kd + n j  

( )1—    d …:Q—一一     一  
4 ̄ d +  r i? k

EW△~  一 c :+ E  {£ E△= 2  



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