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2016届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:6.1 不等式的性质


第六章

不等式

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考纲解读

1.理解不等式的性质及其证明.
2.掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数的定理,并会简单的应用. 3.掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. 4.掌握简单不等式的解法. 5.理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a

|+|b|.

§6.1 不等式的性质

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.两个实数的大小比较 两个实数的大小比较是用实数的运算性质来定义的,有 a- b>0?a>b;a-b= 0? a=b;a-b< 0? a< b. a a a > b a=b ; 另外,若 b>0,则有 > 1?______; =1?________ b b a a<b < 1? _________. b

2.不等式的性质 b<a ; (1)对称性: a> b?________ a>c ; (2)传递性: a> b,b> c?________ (3)不等量加等量: a>b?a+m> b+ m; ac<bc ; (4)不等量乘等量: a> b, ____ a> b, c< 0?________ c>0 ? ac> bc; a+c>b+d; (5)同向不等式相加: a> b, c> d?__________ 1 1 ab > 0 不等式取倒数: a>b,________ ? < ; a b ac>bd ; (6)同向不等式相乘: a> b> 0, c> d>0?_________ n>bn a (7)不等式的乘方: a>b>0?________ (n∈ N*且 n> 1);
n n a> b (n∈ N*且 n>1). (8)不等式的开方: a>b>0?__________

思考探究 1.在不等式的性质中,如何把异向不等式转化为同向不等式?

提示:利用不等式的对称性或者在不等式的两边同乘以-1都
可以将异向不等式转化为同向不等式. 2.对不等式需要相除时如何处理? 提示:对于两个不等式需要相除时,一般是先利用取倒数后 再利用同向不等式相乘.

课前热身
1. (教材改编)设 A=(x2+ 1)2, B= x4+x2+ 1,则 ( A. A>B C. A≤B B. A≥ B D.不确定 )

答案:B

2. (2012· 高考陕西卷)小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时速为 v,则 ( A. a< v< ab B. v= ab )

a+b a+b C. ab< v< D. v= 2 2 解析:选 A.设甲、乙两地之间的距离为 S,因为 a<b,所以全

2S 2ab 2ab 2ab 2ab 程的平均速度为 v= = < = ab, > =a, S S a+b 2 ab 2 b a+b + a b 即 a<v< ab,则选 A.

3.如果a>b,c<d,那么下面推导正确的是( A.a>b,c<d?a+c>b+d

)

B.a>b,c<d?a+d>b+c
C.a>b,c<d?a-c<b-d

D.a>b,c<d?c-a>d-b
答案:B

1 1 4.若-1<a<b<0,则 , , a2,b2 中值最小的是________. a b 1 答案: b 1 1 5.若 a<b<0,则 与 的大小关系为________. a-b a 1 1 答案: < a-b a

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 实数(代数式 )大小比较问题

比较两实数(代数式 )的大小常用方法是作差法、作商法、中 间量传递法以及赋值法,或者结合函数的单调性.

例1

(1)若x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)

的大小; (2)设a>0,b>0,且a≠b,试比较aabb与abba的大小. 【思路分析】 (1)作差比较;

(2)由a>0,b>0知aabb和abba都大于零,可以作商比较大小.

【解】 (1)(x2+ y2)(x- y)- (x2- y2)(x+y) =-2xy(x- y). 又∵x<y<0,∴ xy>0, x- y<0.∴- 2xy(x- y)>0, ∴ (x2+ y2)(x-y)>(x2- y2)(x+ y). aabb a a- b a a- b b-a (2)∵ b a= a b =( ) ,∴当 a>b>0 时, >1, a- b>0, ab b b a a-b a a b b a 则 ( ) >1,于是 a b >a b ;当 b>a>0 时, 0< <1, a-b<0, b b a - 则 ( )a b>1,于是 aabb>abba. b 综上所述,对于不相等的正实数 a、 b,都有 aabb>abba.

【名师点评】

作差法比较大小,将差变形为积的形式或者

平方的形式,幂的形式比较大小常用作商法.

考点2 用不等式性质判断不等关系
判断一个关于不等式的命题的真假时,先要把判断的命题与

不等式的性质联系起来,还要考虑其他数学知识,比如对数
函数、指数函数的性质等.假命题可通过反例来说明.

例2 下列各命题是否成立?如不成立,能否适当添加条件使
命题成立? (1)若 ac2>bc2,则 a>b;(2)若 a>b,则-ac>-bc; 1 1 (3)若 a>b,则 < ;(4)若 a>b, c>d,则 ac>bd. a b

【思路分析】

对比性质,适当变形,如作差法.

【解】

(1)∵ c2≠ 0? c2>0,
2 2

1 ∴可以在不等式 ac >bc 两边同乘以 2, c 即得 a>b,故命题成立. (2)∵-ac- (- bc)=bc-ac= c(b- a), 故需添加 “c<0”这个条件才能使命题成立. 1 1 b-a (3)∵ - = ,对照条件和不等式的性质要求可知需添加 a b ab “ab>0”这个条件才能使命题成立.

(4) ∵ a - b>0 , c - d>0 ,又 ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d) , ∴ 需添加 “c>0 且 b>0” 或 “a>0 且 d≥0” 或 “c>0 且 b≥0” 可使命题成立.对照不等式的运算性质,还可添加 “b≥0且d≥0”也可使命题成立. 【思维总结】不等式两边同乘以一个量时要分清量的正负.

考点3

利用不等式性质求数(式)的取值范围

根据已知的数或式子的范围,求其它数或代数式的取值范围,
可以运用方程思想,利用整体换元,通过列方程或待定系数

法相互转换.

例3

已知-1<a+b<3且2<a-b<4,求2a+3b的取值范围. 将2a+3b用a+b和a-b表示出来,再利用不

【思路分析】

等式的性质求解2a+3b的范围.

【解】

设 2a+ 3b=x(a+b)+ y(a-b), 5 x= ? x + y = 2 2 ? ∴? ,解得 , 1 ?x- y= 3 ? y=- 2

? ? ?

5 1 ∴ 2a+3b= (a+b)- (a-b). 2 2 ∵-1<a+b<3,2<a-b<4, 5 5 15 1 ∴- < (a+b)< ,- 2<- (a- b)<- 1. 2 2 2 2 9 5 1 13 ∴- < (a+b)- (a-b)< . 2 2 2 2 9 13 即- <2a+3b< . 2 2

【误区警示】

由M1<f1(a,b)<N1和M2<f2(a,b)<N2,求g(a,

b)的取值范围,可利用待定系数法解决,即设g(a,b) =pf1(a,b)+qf2(a,b),用恒等变形求得p,q,再利用不等式 的性质求得 g(a , b)的范围.这种题型如果先求出 a 与 b 的范围, 再求 g(a , b) 的范围就是错误的.其原因是多次应用同向不等 式相加时,扩大了各自的取值范围.

跟踪训练 在本例中,求a2-b2的取值范围.
解:当 0<a+ b<3 时,2<a-b<4, ∴ 0<(a+ b)(a-b)<12,即 0<a2-b2<12. 当 a+ b= 0 时.a2- b2=0. 当-1<a+b<0 时, 0<-a-b<1, 又 2<a-b<4,∴ 0<b2-a2<4, ∴-4<a2- b2<0. 综上可知 a2- b2 的取值范围为- 4<a2-b2<12.

方法感悟
方法技巧

1.比较两实数(或代数式)的大小常用的方法. 方法
作差法 作商法 赋值法

步骤
作差—变形—定号—结论 作商—变形—判断与1的大小—结论 特殊值代入—求值—结论(适合选择、填空题)

当两个代数式正负不确定且为多项式形式时,常用作差法比 较大小;当两个代数式均为正且均为幂的乘积式时,常用作 商法比较大小.

2.特殊值法是判断命题真假时常用到的一种方法,说明一个
命题为假命题时,可以用特殊值法,但不能用特殊值法肯定 一个命题正确. 3.在应用不等式的性质时,必须弄清命题的条件和结论,解 题时做到有理有据.

失误防范 1.用作商法比较大小时,要注意分母的正负. 2.两不等式相加的前提是两不等式必须同向,如“<”与“≤”,

“>”与“≥”均可理解成同向;两不等式相乘除了要同向外,还
必须满足各数均是非负的,同向相减或相除不成立.

3.比较大小,作差或作商时,若结果不确定要注意分类讨论.

考向瞭望把脉高考
命题预测
不等式的概念和性质是不等式证明及不等式应用的基础.从 近两年的高考试题来看,试题多以选择题为主,客观试题中 应用不等式性质的题目不多,多以对数、指数为载体设计“小 而巧”的选择题,试题中等难度,主要考查学生对不等式基本 概念理解及综合解决问题的能力.

2011年的高考中,在这部分出题集中于:(1)数的大小比较,如上 海卷还蕴含了分类讨论的思想.(2)以充要条件形式考查不等 式性质如全国卷、天津卷、浙江卷等.(3)利用性质求范围、 最值,2012年高考中湖北卷、陕西卷涉及了不等式的性质. 预测2014年高考仍以比较大小为考查重点,注重与对数函数、 指数函数、三角函数的巧妙结合、或者以充要条件的形式出 现考查不等式性质的推理.

典例透析
1 例 (2011· 高考浙江卷 )若 a,b 为实数,则 “0<ab<1”是“a< b 1 或 b> ”的 ( ) a A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】

∵0<ab<1,∴a, b 同号,且 ab<1. 1 1 当 a>0,b>0 时, a< ;当 a<0, b<0 时, b> . b a 1 1 ∴ “0<ab<1”是“a< 或 b> ”的充分条件. b a 1 而取 a=- 1,b=1,显然有 a< ,但不能推出 0<ab<1, b 1 1 故 “0<ab<1”是“a< 或 b> ”的充分而不必要条件. b a

【答案】

A

【名师点评】 本题主要考查不等式基本性质的成立条件与推 理.充分、必要、充要条件的判定,这是对不等式性质 4 的直 接考查,题目较简单,只要对性质 4 理解透彻,此题应该解对, 同时本题还蕴含了分类讨论的思想.

知能演练轻松闯关

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