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高二数学必修五 数列知识点总结及解题技巧(含答案)---强烈 推荐


数学数列部分知识点梳理
一数列的概念
1)数列的前 n 项和与通项的公式① S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ;

?S (n ? 1) an ? ? 1 ?Sn ? Sn?1 (n ? 2)

2) 数列的分类: ①递增数列:对于任何 n ? N ? ,均有 a n ?1 ? a n .②递减数列:对于任何

n ? N ? , 均有 a n?1 ? an .③摆动数列:例如: ? 1,1,?1,1,?1, ?. ④常数数列:例如:6,6,6,6,??.⑤有界数 列:存在正数 M 使 an ? M , n ? N ? .⑥无界数列:对于任何正数 M ,总有项 an 使得 an ? M . 一、等差数列 1)通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d , a1 为首项, d 为公差。前 n 项和公式 S n ?

n ( a1 ? a n ) 或 2

1 n( n ? 1)d . 2 2)等差中项: 2 A ? a ? b 。 S n ? na1 ?

3)等差数列的判定方法:⑴定义法: an?1 ? an ? d ( n ? N ? , d 是常数) ? ?an ? 是等差 数列;⑵中项法: 2an?1 ? an ? an?2 ( n ? N ? ) ? ?an ? 是等差数列. 4)等差数列的性质: ⑴数列 ?an ? 是等差数列,则数列 ?an ? p?、 ?pan ?( p 是常数)都是等差数列;

⑵ 在 等 差 数 列 ?an ? 中 , 等 距 离 取 出 若 干 项 也 构 成 一 个 等 差 数 列 , 即 ⑶ an ? am ? (n ? m)d ; an ? an ? b ( a , b 是常数 ) ; Sn ? an2 ? bn ( a , b 是常数,

an , an?k , an?2k , an?3k ,?为等差数列,公差为 kd .
a ? 0)
⑷若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;

? Sn ? ? 是等差数列; ?n ? S a ⑹当项数为 2n(n ? N ? ) ,则 S偶 ? S奇 ? nd, 偶 ? n ?1 ; S奇 an
⑸若等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 ? 当项数为 2n ? 1(n ? N ? ) ,则 S奇 ? S偶 ? an , (7)设 (8)设 则有 (9) ; 是等差数列的前 项和,则 ; ,公差为 ,前 项和为 ; ,则 是等差数列,则 , (

S偶 n ? 1 . ? S奇 n
的等差数列; ,

是常数)是公差为 ,

(10)其他衍生等差数列:若已知等差数列 ①.

为等差数列,公差为

②. )为等差数列,公差 ;

(即

③. 二、等比数列

(即

)为等差数列,公差为

.

1)通项公式:an ? a1q n?1 ,a1 为首项,q 为公比 。 前 n 项和公式: ①当 q ? 1 时,Sn ? na1

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ②当 q ? 1 时, S n ? . ? 1? q 1? q
2)等比中项: G 2 ? a ? b 。 3)等比数列的判定方法:⑴定义法:
2


数列;⑵中项法: an?1 ? an ? an?2 ( n ? N ? )且 an ? 0 ? ?an ? 是等比数列.

a n ?1 ? q ( n ? N ? , q ? 0 是常数) ? ?an ? 是等比 an

4)等比数列的性质: ⑴数列 ?an ? 是等比数列,则数列 ?pan ?、 ?pan ?( q ? 0 是常数)都是等比数列;
m ? (2) n (3)若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;

a ? a ? qn?m (n, m ? N )

(4)若等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、 S3k ? S 2 k 、 S 4 k ? S3k 是等比 数列. (5)设 (6)设 , 是等比数列,则 也是等比数列。 则 也是等比数列(即等比数

是等比数列,

是等差数列,且

列中等距离分离出的子数列仍为等比数列) ; (7)设 (8)设 则有 ; ,公比为 ; (即 ; )为 ,前 项和为 ,则 是正项等比数列,则 , 是等差数列; , ,

(9)其他衍生等比数列:若已知等比数列 ①. ②. 等比数列,公比为

为等比数列,公比为

三、解题技巧: A、数列求和的常用方法:

1、拆项分组法:即把每一项拆成几项,重新组合分成几组,转化为特殊数列求和。 2、错项相减法:适用于差比数列(如果 ?an ? 等差, ?bn ? 等比,那么 ?anbn ? 叫做差比数列) 即把每一项都乘以 ?bn ? 的公比 q ,向后错一项,再对应同次项相减,转化为等比数列求和。 3、裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和。适 用 于 数 列 ?

? ? 1 1 ? ? ? ? ( 其 中 ?an ? 等 差 )。 可 裂 项 为 : ? 和 ? ? ? ? an ? an?1 ? ? an ? an ?1 ?

?

1 1 1 1 1 1 ? ( ? ), ? ( an?1 ? an ) an ? an ?1 d an an ?1 an ? an?1 d
B、等差数列前 n 项和的最值问题: 1、若等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,则前 n 项和 Sn 有最大值。 (ⅰ)若已知通项 an ,则 Sn 最大 ? ?

? an ? 0 ; ?an ?1 ? 0
q 的非零自然数时 Sn 最大; 2p

(ⅱ)若已知 Sn ? pn2 ? qn ,则当 n 取最靠近 ?

2、若等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,则前 n 项和 Sn 有最小值 (ⅰ)若已知通项 an ,则 Sn 最小 ? ?

? an ? 0 ; ?an ?1 ? 0
q 的非零自然数时 Sn 最小; 2p

(ⅱ)若已知 Sn ? pn2 ? qn ,则当 n 取最靠近 ? C、根据递推公式求通项: 1、构造法:

1°递推关系形如“ an?1 ? pan ? q ” ,利用待定系数法求解 2°递推关系形如“,两边同除 p
n
n ?1

【例题】已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式. 或待定系数法求解 【例题】 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式.

3°递推已知数列 ?an ? 中,关系形如“ an?2 ? p ? an?1 ? q ? an ” ,利用待定系数法求解 4°递推关系形如" an ? pan?1 ? qan an? ,两边同除以 an an ?1 ( 1 p,q ? 0) 【例题】数列 ?a n ?中, a1 ? 2, an ?1 ?

【例题】已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2, an?2 ? 3an?1 ? 2an ,求数列 ?an ? 的通项公式. 【例题】已知数列 ?an ? 中, an ? an?1 ? 2an an? an ? 的通项公式. ( 1 n ? 2),a1 ? 2 ,求数列 ?

2a n (n ? N ? ) ,求数列 ?a n ?的通项公式. 4 ? an

2、迭代法: a、⑴已知关系式 an?1 ? an ? f (n) ,可利用迭加法或迭代法;

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? (an?2 ? an?3 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 【例题】已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式 a a a a a b、已知关系式 an?1 ? an ? f (n) ,可利用迭乘法. an ? n ? n ?1 ? n ?2 ? ? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ?2 an ?3 a2 a1 a n ?1 【例题】已知数列 ?an ? 满足: n ? (n ? 2), a1 ? 2 ,求求数列 ?an ? 的通项公式; an?1 n ? 1 3、给出关于 Sn 和 am 的关系
bn ? Sn ? 3n , 求数列 ?bn ?的通项公式.
五、典型例题: A、求值类的计算题(多关于等差等比数列) 1)根据基本量求解(方程的思想) 【例题】已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, a4 ? 9, a9 ? ?6, Sn ? 63 ,求 n ; 2)根据数列的性质求解(整体思想) 【例题】已知 Sn 为等比数列 ?an ? 前 n 项和, Sn ? 54 , S2 n ? 60 ,则 S 3n ? B、求数列通项公式(参考前面根据递推公式求通项部分) C、证明数列是等差或等比数列 1)证明数列等差 【例题】已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ? .

【 例 题 】 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 已 知 a1 ? a, an?1 ? Sn ? 3n (n ? N ? ) , 设

Sn ( n ? N ? ) .求证:数列 ?bn ?是等差数 n

列. 2)证明数列等比 【例题】数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}中,若 an+Sn=n.设 cn=an-1,求证:数列{cn} 是等比数列; D、求数列的前 n 项和 【例题 1】求数列 {2n ? 2n ? 3} 的前 n 项和 Sn .(拆项求和法) 【例题 2】求和:S=1+ 【例题 3】设 f ( x ) ?

1 1 1 ? ??? (裂项相消法) 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n

x2 1 1 ,求:⑴ f ( 1 4 ) ? f ( 3 ) ? f ( 2 ) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ; 1 ? x2
倒序相加 (

1 1 1 ⑵ f ( 2010 ) ? f ( 2009 ) ? ?? f ( 1 ) ? f (2010 ). 3 ) ? f ( 2 ) ? f (2) ? ? ? f (2009

法 ) 【例题 4】若数列 ?a n ?的通项 an ? (2n ? 1) ? 3n ,求此数列的前 n 项和 Sn .(错位相减法) 【例题 5】已知数列{an}的前 n 项和 Sn=12n-n2,求数列{|an|}的前 n 项和 Tn. E、数列单调性最值问题 【例题】数列 ?an ? 中, an ? 2n ? 49 ,当数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 取得最小值时, n ?

练习 1 数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an ? an?1 ? 1 ? 0 ,(n∈N),则此数列的通项 an 等于 ( ) A n2 ? 1 B
n ?1

C

1? n

D

3? n

2 个数 a, b, c ,既是等差数列,又是等比数列,则 a, b, c 间的关系为 ( A b?a ? c ?b B
b2 ? a c

)

C

a?b?c

D

a?b?c?0

3 差数列 {an } 的前 m 项和为 30,前 2 m 项和为 100,则它的前 3m 项和是( A 130 B 170 C 210 D ). D ) D 3 51 260
1 4 差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? , a2 ? a5 ? 4, an ? 33 ,则 n 为( 3 A 48 B 49 C 50
1 a ?a ?a ?a 5 知等比数列 {an } 的公比 q ? ? ,则 1 3 5 7 等于( 3 a2 ? a4 ? a6 ? a8

)

A ?

1 3

B ?3

C

1 3

6 各项都为正数的等比数列 ?an ? 中,若 a5 a6 ? 9, 则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ? ( ). A 12 B 10 C 8 D

2 ? l o3g 5

7 和 81 之间插入两个正数,使前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,则 这两个数的和等于( ). A 80 B 70 C 18 D 16 8 两各等差数列 {an } 、 {bn } 前 n 项和分别为 An 、 Bn ,满足
a11 的值为( b11 An 7n ? 1 ? (n ? N ? ) , Bn 4n ? 27



) B
3 2

A

7 4

C

4 3

D

78 71

9 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S6 ? 36, Sn ? 324, Sn?6 ? 144(n ? 6) ,则 n 等于 ( ). A 15 B 16 C 17 1 1 1 1 10 列 1 ,3 ,5 ,7 ,? ,前 n 项和为( ) 2 4 8 16 1 1 1 n2 ? n ? 1 n 2 ? n ?1 ? A B 2 2 2 D 18

C

n2 ? n ?

1 ?1 2n

D n2 ? n ?

1 1 ? 2n 2

二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分) 11 等比数列 ?an ? 中, a6 ? 6, a9 ? 9 ,那么 a3 ? _________. 12 差数列 ?an ? 共有 2n ? 1 项,其中奇数项之和为 319,偶数项之和为 290,则中 间项为_______. 13 差数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 13, S3 ? S11 , n 为________时, Sn 最大. 14 列 ?an ? 的前 n 项的和 Sn ? 2n2 ? n ? 1 ,则 an ? 三、解答题 15(本小题满分 8 分) 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? 27 , a2 ? a4 ? 30 试求: (I) a1 和公比 q ; (II)前 6 项的和 S 6 . 16(本小题满分 8 分) 求和 1 ? 2 x ? 3x 2 ? ? ? nx n?1 17(本小题满分 9 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 48n (1)求数列的通项公式; (2)求 Sn 的最大或最小值. 18(本小题满分 9 分) 某城市 1995 年底人口总数为 500 万,人均住房面积为 6 平方米,如果该市每年 人口的平均增长率为 1% .而每年平均新建住房面积为 30 万平方米.那么到 2005 年年底,该市的人均住房面积数约为多少?(精确到 0.01 平方米)

参考答案
一、选择题 题号 1 答案 D 二、填空题: 11、4 12、29 13、7

2 D

3 C

4 C

5 B

6 B

7 B

8 C

9 D

10 A

?2 n ? 1 ? 14、 an ? ? ?4n ? 3 n ? 2 ?

三、解答题 15、(本小题满分 8 分) 解: (I)在等比数列 ?an ? 中,由已知可得:
2 ? ?a1 ? a1 q ? a1 q ? 27 ? 3 ? ?a1 q ? a1 q ? 30

?a ? 1 ? a ? ?1 解得: ? 1 或? 1 ?q ? 3 ? q ? ?3
(II)?S n ?

a1 (1 ? q n ) 1? q

?a ? 1 1 ? (1 ? 36 ) 1 ? 36 ? ? 364 时, S 6 ? ?当 ? 1 1 ? 3 ? 2 q ? 3 ?
? a ? ?1 (?1) ? [1 ? (?3) 6 ] 36 ? 1 ? ? 182 当? 1 时, S 6 ? 1? 3 4 ? q ? ?3
16、(本小题满分 8 分) 解:当 x=1 时, Sn =1+2+3+…+n=
n(1 ? n) 2 2 n-1 当 x≠1 时, Sn =1+2x+3x +?+nx ①

x Sn = x+2x2+?+(n-1) xn-1+nxn ② ①-②: (1-x) Sn = 1 ? x ? x2 ? x3 ? ? ? x n?1 ? nx n =
1 ? xn ? nx n 1? x

Sn =

1 ? (n ? 1) x n ? nx n?1 (1 ? x)2

17、解(1) a1 ? S1 ? 12 ? 48 ?1 ? ?47

当n ? 2时

an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? 48n ? [(n ?1)2 ? 48(n ?1)]
? 2n ? 49

a1 也适合上式

? an ? 2n ? 49

(n ? N ? )

(2) a1 ? ?49, d ? 2 ,所以 Sn 有最小值

? an ? 2n ? 49 ? 0 1 1 由? 得 23 ? n ? 24 2 2 ?an?1 ? 2(n ? 1) ? 49 ? 0
又 n ? N?
? n ? 24

即 Sn 最小

S24 ? 24 ? (?47) ?

24 ? 23 ? 2 ? ?576 2

或:由 Sn ? n2 ? 48n ? (n ? 24)2 ? 576

?当n ? 24时, Sn取得最小值-576.
18、解:依题意 1995 年共有住房面积为 6 ? 500 ? 3000 (万平方米) 从 1995 年开始,各年住房面积是以首项 a1 ? 3000, 公差d ? 30 的等差数列 所以到 2005 年底,该市共有住房面积为 3000 ? 10 ? 30 ? 3300 (万平方米) 又从 1995 年开始,人口数组成首项 b1 ? 500, 公比q ? 1.01 的等比数列 所以到 2005 年底该市人口数为
500 ?1.0110 ? 552.31 (万人)

故 2005 年底人均住房面积为

3300 ? 5.97 (平方米) 552.31


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