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2006年全国高中数学联赛吉林赛区预赛


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2 ( D 7年 第 7 期 

3 5  

2 0 0 6 年全国高中数学联赛吉林赛区预赛 




选 择题 ( 每 小题 6分 , 共3 6 分)  
(  

5 . 若 函

数 f (  ) =   一6 b x+3 6在 ( 0 , 1 )  

1 . 如果集合 
A={ Y   I   Y= 一   +1 ,  ER} ,   B={ Y   I   Y=一   +1 ,  ER} ,   则  n   等于 (   ( C ) { 0 , 1 }   ) .   ( D ) ( 一∞ , 1 ]   ( A) ( 0 , 1 ) 或( 1 , 1 )   ( B ) { ( 0 , 1 ) , ( 1 , 1 ) }   2 . 对 于 一 个 有 n项 的 数 列 P =( P   , P   ,  


内有 极 小 值 , 则 实 数 b 的 取 值 范 围 是 
) .   ( A) ( 0 , 1 )   ( c ) ( 0 , +∞)   ( B ) ( 一∞, 1 )   ( D ) ( o ,   )  

6 . 在 6个产 品 中有 4个 正 品 、 2个 次 品 .  

, P   ) , P 的“ 蔡查 罗和” ( 蔡 查罗是 一数学 
, 其 中,  

现每次取 出 1 个 作 检查 ( 检 查 完后 不再 放  回) , 直 到 2个 次 品都 找 到 为 止 . 则 经 过 4次   检查 恰 好 将 2个 次 品 全 部 找 到 的概 率 是 
(   ) .  

家) 定义 为 

S ^ =P 1 +P 2 +… +P ^ ( 1 ≤k ≤n ) .  

( A )   ( B ) 吾  ( c ) {  ( D )  
二、 填空 题 ( 每小 题 9 分, 共 5 4分 )  

若数 列 ( P   , P   , …, p   嘶) 的蔡查罗和为  2   0 0 7 , 那么 , 数列 ( 1 , P 1 , P 2 , …, p 2   0 0 6 ) 的蔡查 
罗 和为 (   ) .  
( A) 2   0 0 7( B ) 2   0 0 8( C ) 2   0 0 6( D) 1   0 0 4  

7 . 若 s i n 2 (   +   ) 一 s i n 2 (   一  ) = 一 { ,   且   ∈ ( 号 , 荨 ) , 则 t a n   的 值 为 ——.  
8 ? 已知 函数 厂 (  )   , 设  ,  

3 . 如 图 1 ,  

正方 体 A B C D一  
1   1  

C 1   D1 , 过 顶  A l  

点  , 作 直线 z ,  
使 Z与 直 线 A C  
和B C   所 成 的角  均为 6 0   0 . 则 这  样 的 直 线 l有  (   ) 条.  

) ,   ,  南 ( 0  
、   彳的大t J , J l  ̄ , 序 为— — .  

) . 那  

9 . 椭 圆x +   =l ( 口>b>o ) 的 右 顶 点 

A  
图1  

为  , 上 顶 点 为  , 左 焦 点 为 F. 若  A B F=   9 o。 , 则 该 椭 圆 的离心 率 为— — .  
1 0 . 如 图 2 。 在 

( A) 1  

( B ) 2  

( c ) 3  

( D ) 多于 3  

4 . 已知 函数 Y=s i n   +a c o s   的图像 

杨辉 三 角 中, 斜 线  上 方 的 数 组 成 数 
列: 1 , 3 , 6 , 1 0 , …,   1  

关 于 直 线   = 等 对 称 . 贝 l J 函 数 ) , = 口 血   + c 0 s  
的图像关于直线(   ) 对称 .  

记 这个 数 列前 n项  和为 S   . 则当 n — 
3  

1   l   5  
。 。 。   。 ’  

( A )   = 号  
,  

( B )   = 等  
( D )   =7 c  

+∞时 ,  

的极 

1 l 兀  

L 乙  

限值等于 
/ 

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中 等 数 学 

1 1 . 若 关 于  的 方 程 、 /1 一   :l o g z (  —   a ) 有正数解 , 则实 数 a的取值 范 围为— — .  

角均 为 6 0 。 的 直 线 有 3条 . 故 过点 A  满 足 条 件 的直  

线 z 也有 3条 .  
4 . C.  

1 2 . 已知 P 为 △ A B C 内一 点 , 且满 足 
3 P A +4 P B +5 P C =0 . 习  么 , △ P A B、  

令- ,  ) =s i n   +a c o s  , g ( 戈 ) =a s i n   +c o s  .  

△P B C 、 △ P C A的 面积之 比为— — .  

由 题 设 有  ) = / (  一   ) .   又  ) = g ( 号 一   ) ,  
一  

三、 解答 题 ( 每小 题 1 5分 , 共6 0 分)  
厂—  = = = 亍三三  

1 3 . 求证 : 1 < , \ / 2 、 / 3 √4 …√n<3 , 其 中,   n为任 意正 整数 .  
1 4 . 如图 3 , 已知 

) = g ( 号 一 了 1 0 7 r +   ) ,  

故 g ( 号一   ) = g ( 号一  +   ) .  
;   = 

抛 物 线 C:   =2 p y   ( P> 0 ) , 0 是坐 标 原 

所以, g (  ) 的一个对称 轴为 

|  
0 

B  

=  

( I   号 + 号 一 誓 了 ) 』  一 = 一  ‘ 詈 .  


点,  ( 0 , b ) ( b >0 )   为 Y轴上一动点 , 过 
作 直 线 交 抛 物 线 
C 于 点 A、 B,设 

又g (  ) 的周期为 2 7 r , 故其 另一个 对称轴为 


詈   =  .  

图 3  

5. D.  

I s  ∞ =mt a n   A O B. 求 m 的最 小值 .   1 5 . 设{ a   } 为一 个实 数数 列 ,  
a 1 =t , a   + 1 =4 a   ( 1一a   ) .  

由题意知 /   ( O ) <o , f   ( 1 ) >0 , 即 


6b <0, 3— 6b > 0   0< 6 <  

.  

6. C.  

求有多少个不同的实数 t 使得 a 2 晰= 0 .  
1 6 . 骰 子是 一个 质 量 均 匀 的立 方 体 , 6个 

所 求概率为 
2   4   3   1   4   2   3   1  

百   了 
4   3   2 

了  百  了 
1   1  

了 

面上分别刻有 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . 现在桌面上有 3   枚骰子分别为木制、 骨制、 塑料制 的, 重复下  面操作 , 直至桌面上没有骰子 : 将桌面上的全 
部骰 子掷 出 , 然后 去掉 那些 奇数 点 的骰子 . 求 

了 

了  了 ‘  

二 、 7.一 2一  .  

由 s i n 2 (   +  ) 一 s i n 2 (   一 琶 ) = 一   1  
e o s ( 2   一 詈 ) 一 c o s ( 2   + 詈 ) = 一   1   2   s i n   2   豳詈= 一  
s i n   2  = 一   .  

完成 以上操作 的次数多于三次的概率 .  

参 考 答 案 




1 . D.  

由 A=( 一∞, 1 ] , B=( 一∞, +∞) , 得  An   B:( 一。, 1 ] .  
2 . A.  

由   ∈ ( { , 等 ) , 得 2   - c (   , 萼 ) .  
所 以, c 0 8   2  :一 4 3  
. 

令  =1 +P 1 +P 2 +… +P I 一 1 =1 +  一 1 , 贝 Ⅱ  
2   0 0 7   2   0 0 6  

∑s :2   0 0 7 + ∑S k  
生_ - L 一— —— —— ——   _i I _ 一 

故l a n   :曼  

:   2 s i n 2 x:

一 4s i n 2  

2   0 0 r 7—  
:  

2   0 0 r 7  
= 一

2 ( 1 一c o s   2 x ) =一2 一   .  

±  
2   0 0 7

:2   0 0 7
— —   . ‘  

— —   3. C.  

8 .   > Y>j .  

0 l o 岛 b—b   l o   0  

显然 , A D   ∥B C   , 过点  与直 线 A C 、 A D   所 夹 

y  ]  

厂 

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2 O O 7 年第 7 期 

3 7  





(  =  2 ( =  2 一 :   蒸  
l g Ⅱ’ l g   6   一 l g Ⅱ‘ l g   6 ’  

由0 <6 <口<l  6 d <   <口 6   所以 ,   >y.  

<1 .  

l 4 . 设 ‰: Y=   +b (  ≠O ) . ‰ 与 抛物线 c联 
立得 
f   Y:   +6 ,  

同理 , Y>= .  
9.   .  

【   : 2 p y .  

于是 ,   一2 p   一2 p b= 0 .   贝 Ⅱ  1 +  2 :2 p k ,  1  2 =一2 p b .  

由  A B F=9 0。 , 根据射影定理 有 
n c: 6   0 2一 c 2 .  

故 Y 1   Y 2 =(  1 +6 ) (  2 +6 )  
=  




(   )  +( 一 C) 一1 = 0 .  

1  2 +硒 (  t +  2 ) +6   ( 2 p k ) +6   =6   .  

J }   ( 一2 p b ) +

故e =  C=二 
1 O. 6.  

( 负值舍去 ) .  

当A B 上 Y轴时 , 上 式仍成立 .  
1  

由s  ∞ =   l   O A   l ? l   0 曰l   s i n   LA O B  

易知 S   =   +   +… +   +  =   +  .   故  n 3
1  l   D A   1 . I   OB I
=   =  

c o s   L AO B? t a n   LA O B 

现而 

= 6 .  
= mt a n   AOB ,  

1 1 . ( 一 2 , 0 ] .  
原方 程即为  一。:2  ̄ /   一 f 2
.  

得m = 丁 1   J   O A   I ? I   O B I c  ̄ s   L A O B = {  ? O B  


由图像易知 a E( 一2 , 0 ] .  
1 2 . 5: 3 : 4.  

丢 (  + y I y 2 ) =   1 ( 一 2 p b + 6   )  
1( 6 一p )   一   1   p   ≥


分别 在 P A、 P B、 P c上取 A   、 B   、 c , , 使 P A  =  
3 P A, P B   =4 P B,   即 P 为 △  =5   , 则 P A +P B+   =0 ,   C   的重 心 .  

=  

丢 p   .  

当6 : P 时, ‰ :一 告p   .  
1 5 . 当t >1 时, Ⅱ 2 < 0 .  
,  

故 s △   ,  =s △   :s △  
叉 5   =   , s   :丽 S z x e  ̄ c

由数 学归 纳法可知 , 对任意 n 12 > , 都有 % <0 .  
故 Ⅱ 2   0 0 6 ≠0 .  

s伽

=  

,  

当t < 0时, 类 似地 , 对 任意 n ∈N, 都有 % < 0 .  
:5 : 3 : 4 .   因此 , 只需考虑 0 ≤t ≤1的情形 .  

则 s  

: s  

: s 伽

三 、 1 3 . 易 知√2 √ 3 、 / ,  
列, 则1 < √2 √3  ̄ /   .  

是单 调 递增 数  

当0 ≤f ≤1 时, 设f : s i  ( 0 ≤   ≤ 要) , 则  
Ⅱ 2 =4   s i n 2   0 ? c o 8 2   0 =s i  2  .  

只 需 证√2  ̄ / 3 、 / /  
当 n:2时 , 命题成 立 .  
当 n ≥3时 ,  

< 3 即 可 .  

用数学归 纳法得 O , n:s i n  ̄ 2  ‘ 0 .  
由Ⅱ 2   0 0 6 = 0 , 可得 s i n   2 2 晰 0=0 .   从而 , 0=   ( J } ∈z ) , 且0 ≤J } ≤   .  

 ̄ /( n 一1  

<n 一 1 ,  

又 正 弦 函 数 在 【 0 , 号 ] 上 单 调 递 增 , 从 而 , 对 不  
<  一 1 ,  

√(   一 2  
<v / _   = 

i <  

同 的   ∈ [ 0 , 号 ] , n   的 值 不 同 .  
故满足条件 的 t 的个数 为  +1 .  
1 6 . 先考虑 至多三次 完成操 作的概率 , 其中:  

√(   一 3 ) √(   一 2 )  
=  <   一2 ,  

i  

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中 等 数 学 

禽 
第 一 试 


( 9 9 )  
D A B, 且A B=A E, A D=A C. 则 下 列结论 :   ①B C=D E, ②A C上 B D, ③△ A B E 为等 
边 三角形 , ④  A C D=   A B D,  



选 择题 ( 每小 题 7分 , 共4 2分 )  

1 . 如图 1 , 反 比例函数 Y 。 =   (   。 ≠o ) 与 


其中, 正 确 的是 (  

) .  
( C ) ③④ ( D ) ② ③ 

( A ) ①② ( B ) ①④

次 函数 Y 2= k 2   + b( k 2 ≠O ) 交 于 点  +6  

3 . 将 一 列 数  , 2 ,   , 2   ,  

, …,  

M( 1 , 一 4 ) 、 N( n , 1 ) . 则 不 等 式  >   的解 集为 (   ) .  
0 3 )   >1  

2  ̄ / ,   按下面的. 方法进行排列:  
2  
4   3  

2  
2  

2  
2  

( A ) 一4 <   <0  

( C ) 一 4<  < 0或  >1  

 ̄ / ,  
;  
…  

2  
;  
…  

… 
!  
…  

… 

… 
:  

… 
2   v /  

( D ) 以上都不对 
J   l  



 



 

若3 √ 2 的位置记为 ( 2 , 3 ) , 2 √ 7 的位置记 
为( 3 , 2 ) , 那么 , 这 列 数 中最 大 的有 理 数 / t的  "
D 

位 置记 为 (  
图2  

) .  
( B ) ( 3 , 2 0 )   ( D ) ( 1 7 , 2 )  

( A ) ( 2 0 , 3 )  
图 1  

( C ) ( 2 , 1 7 )  

2 . 如图 2 , A C、 B D 交 于 点 E, A C 平 分 
( 1 ) 第 一 次 有 3枚 骰 子 出 现 奇 数 点 的 概 翠 为 

4 . 已知△ A B C的三边 为 a 、 b 、 c , 且 
时二次或三次完成操作 )  

f   1 )   ( 此 时 仅 一 次 即 完 成 操 作 ) ;  
( 2 ) 第一次有 2 枚 骰子出现奇数点 的概率为 ( 此  时二次或三次完成操作 )  

( 丢 )   [ ( { ) 3 +  ( 丢 )   1 ×   1 +  
× 

(  )   (  )   + (  )   (  ) 。 ] .  
 丁   ’  

( 丢 )  1   1   1 + (   )   ] ;  
( 3 ) 第一次有 1 枚骰子 出现 奇数点 的概 率为 ( 此  时二 次或三 次完成 操作)  

综上, 至多三次完成操作 的概率 为 
2 6   9 ×2 4   2 7 ×2 2   2 " /   3 4 3  



故完成 以上操作 多于三次的概率为 
. 

a ×   1   I   1 )   [ (   ) 2 +   (  ) 2 ×   1 +  
(  )   ( { )   ] ;  
( 4 ) 第一次有 3 枚 骰 子 出现 偶 数 点 的 概 率 为 ( 此 

3 4 3   1 6 9   5 1 2—5 1 2’  

( 郭
老师给 出 .  

民 提供 )  

说明: 选 择题 与填空题 的解 答 由本 编辑 部宋 强 


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