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高中数学人教B版必修2阶段检测卷:第2章平面解析几何初步(含答案解析)


阶段检测试题二
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.点 A(3,-5)关于原点的对称点为( A.(-5,-3) 解析 答案 B.(-3,-5) ) D.(3,5)

C.(-3,5)

点 A(a,b)关于原点的对称点为(-a,-b). C )

2.点 P(m,3)与圆(x-2)2+(y-1)2=2 的位置关系为( A.点在圆外 C.点在圆上 答案 A B.点在圆内 D.与 m 的值有关

3.过点 P(4,-1)且与直线 3x-4y+6=0 垂直的直线方程为 ( ) A.4x-3y-19=0 C.3x-4y-16=0 解析 B.4x+3y-13=0 D.3x+4y-8=0

3 直线 3x-4y+6=0 的斜率为4,

4 4 ∴所求直线的斜率为-3,∴y+1=-3(x-4). ∴4x+3y-13=0. 答案 B

4. 空间直角坐标系中, 点 A(-3,4,0)和 B(x, -1,6)的距离为 86, 则 x 的值为( A.2 C.2 或-8 ) B.-8 D.8 或-2

解析 答案

由距离公式得(x+3)2+(-5)2+62=86,解得 x=2 或-8. C )

5.圆 x2+y2-4x=0 过点 P(1, 3)的切线方程为( A.x+ 3y-2=0 C.x- 3y+4=0 解析 B.x+ 3y-4=0 D.x- 3y+2=0

3 先由半径与切线的垂直关系求得切线斜率为 3 ,则过(1,

3)的切线方程为 x- 3y+2=0. 答案 D

6.对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=2 的位置关系一 定是( ) B.相切 D.相交且直线过圆心

A.相离 C.相交但直线不过圆心 解析

利用圆心到直线的距离与半径的大小比较求解,

∵x2+y2=2 的圆心(0,0)到直线 y=kx+1 的距离 d= |0-0+1| 1 ≤1. 2 = 1+k 1+k2

又∵r= 2,∴0<d<r. ∴直线与圆相交但直线不过圆心. 答案 C

7.光线从点 A(-3,5)射到 x 轴上,经反射以后经过点 B(2,10), 则光线从 A 到 B 的路程为( )

A.5 2 B.2 5 C.5 10 D.10 5 解析 点 A(-3,5)关于 x 轴的对称点为 A′(-3,-5),则光线

从 A 到 B 的路程即 A′B 的长, |A′B|= ?-3-2?2+?-5-10?2=5 10.

答案

C

8.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 及 x 轴都相切,则该圆的标准方程为( 7? ? A.(x-3)2+?y-3?2=1
? ?

)

B.(x-2)2+(y-1)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 3? ? D.?x-2?2+(y-1)2=1
? ?

解析

由于圆心在第一象限,且与 x 轴相切,∴设圆心(a,1).

|4a-3| ∵直线 4x-3y=0 与圆相切,∴ 5 =1. ∵a>0,∴a=2. ∴圆心为(2,1),∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1. 答案 B

9. 若圆(x-3)2+(y+5)2=r2 上有且仅有两个点到直线 4x-3y-2 =0 的距离为 1,则半径 r 的取值范围为( A.(4,6) B.[4,6) C.(4,6] D.[4,6] 解析 d= 圆心(3,-5)到直线 4x-3y-2=0 的距离为 )

|12+15-2| =5. 5

∵圆上有且仅有两个点到直线的距离为 1, ∴d-1<r<d+1,∴4<r<6. 答案 A

10.已知点 M(1,0)和 N(-1,0),直线 2x+y=b 与线段 MN 相交, 则 b 的取值范围为( A.[-2,2] ) B.[-1,1]

? 1 1? C.?-2,2? ? ?

D.[0,2]

解析

直线可化成 y=-2x+b.当直线过点 M 时,可得 b=2;当

直线过点 N 时,可得 b=-2.所以要使直线与线段 MN 相交,b 的取 值范围为[-2,2]. 答案 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 11 . 与直线 2x + 3y - 6 = 0 关于点 (1 ,- 1) 对称的直线方程为 ________. 解析 ∵所求直线平行于直线 2x+3y-6=0, ∴设所求直线方程

为 2x+3y+c=0, 由 |2-3+c| |2-3-6| = , 22+32 22+32

∴c=8,或 c=-6(舍去). ∴所求直线方程为 2x+3y+8=0. 答案 2x+3y+8=0

12 . 经 过 点 (4,1 ) 且 在 两 坐 标 轴 上 的 截 距 相 等 的 直 线 方 程 为 ________. 解析 1 当直线过原点时,直线方程为 y=4x,即 x-4y=0.

x y 当直线不经过原点时,设直线方程为a+a=1, 4+1 ∴ a =1,∴a=5,∴直线方程为 x+y-5=0. 答案 x-4y=0,或 x+y-5=0

13.直线 l:y=k(x+3)与圆 O:x2+y2=4 交于 A,B 两点,|AB| =2 2,则实数 k=________.

解析 即

由已知可求出圆心 O 到直线 l 的距离 d= 2,

|3k| 14 2= 2,解得 k=± 7 . 1+k 14 ±7

答案

14.已知 x,y 满足 x2+y2=4,d= ?x+3?2+?y-4?2,则 d 的最 大值为________. 解析 d 表示圆 x2+y2=4 上一点到(-3,4)的距离,

∴dmax= ?-3?2+42+2=7. 答案 7

三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分,解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤 ) 15.(12 分)设直线 l1:y=2x 与直线 l2:x+y=3 交于 P 点. (1)当直线 l 过 P 点,且与直线 l0:2x+y=0 平行时,求直线 l 的 方程; (2)当直线 l 过 P 点,且原点 O 到直线 l 的距离为 1 时,求直线 l 的方程. 解 直线 l1 与 l2 的交点 P 为(1,2).

(1)设 l:2x+y+c=0,∵直线 l 过点 P, ∴2×1+2+c=0,∴c=-4. ∴直线 l 的方程为 2x+y-4=0. (2)设直线 l:y-2=k(x-1),即 kx-y-k+2=0, ∴ |-k+2| 3 =1,∴k=4,∴直线 l:3x-4y+5=0. 2 k +1

当直线 l 的斜率不存在时,直线 l:x=1,经检验满足原点到直 线 l 的距离为 1.

综上所述,直线 l 的方程为 3x-4y+5=0,或 x=1. 16.(12 分)过点(1, 2)的直线 l 将圆(x-2)2+y2=4 分成两段弧, 当劣弧所对的圆心角最小时,求直线 l 的斜率. 解 设直线 l 的斜率为 k,

∵点(1, 2)在圆(x-2)2+y2=4 内, ∴当直线 l 被圆(x-2)2+y2=4 截得的弦长最短时,它的劣弧所 对的圆心角最小,此时直线 l 与过点(1, 2)和圆心(2,0)的直线垂直, ∴k=- 1-2 2 =2. 2-0

17.(12 分)已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 与直线 x+2y-3=0 相 交于 P,Q 两点,O 为原点,若 OP⊥OQ,求实数 m 的值. 解 设 P,Q 两点坐标为(x1,y1)和(x2,y2),

由 OP⊥OQ 可得 x1x2+y1y2=0,
?x2+y2+x-6y+m=0, ? 由? ? ?x+2y-3=0,

可得 5y2-20y+12+m=0.① 所以 y1y2= 12+m 5 ,y1+y2=4.

又 x1x2=(3-2y1)(3-2y2) =9-6(y1+y2)+4y1y2 4 =9-24+5(12+m), 12+m 4 所以 x1x2+y1y2=9-24+5(12+m)+ 5 =0, 解得 m=3. 将 m=3 代入方程①,可得 Δ=202-4×5×15=100>0, 可知 m=3 满足题意,即 3 为所求 m 的值.

18.(14 分)

如图,已知圆 O:x2+y2=1 和定点 A(2,1),由圆 O 外一点 P(a, b)向圆 O 引切线 PQ,切点为 Q,且有|PQ|=|PA|. (1)求 a、b 间关系; (2)求|PQ|的最小值; (3)以 P 为圆心作圆,使它与圆 O 有公共点,试在其中求出半径 最小的圆的方程. 解 (1)连接 OQ、OP,则△OQP 为直角三角形,

又|PQ|=|PA|, 所以|OP|2=|OQ|2+|PQ|2=1+|PA|2. 所以 a2+b2=1 +(a-2)2+(b-1)2,故 2a+b-3=0. (2)方法一:由(1)知,P 在直线 l:2x+y-3=0 上,

所以|PQ|min=|PA|min,|PA|min 为 A 到直线 l 的距离. 所以|PQ|min= |2×2+1-3| 2 5 = 5 . 22+12

方法二:由|PQ|2=|OP|2-1=a2+b2-1=a2+9-12a+4a2-1= 5a2-12a+8=5(a-1.2)2+0.8, 2 5 得|PQ|min= 5 . (3)以 P 为圆心的圆与圆 O 有公共点,半径最小时为与圆 O 相切 的情形,而这些半径的最小值为圆 O 到直线 l 的距离减去圆 O 的半 径,圆心 P 为过原点且与 l 垂直的直线 l′与 l 的交点 P0,所以 r= 3 3 5 2-1= 5 -1, 2 +1
2

?6 3? 又 l′:x-2y=0,联立 l:2x+y-3=0 得 P0?5,5?. ? ?

所以所求圆的方程为 6? ? 3? ?3 5 ?2 ? ?x- ?2+?y- ?2=? ? 5? ? 5? ? 5 -1? . ?


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