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2014年石家庄高三数学质检二理科试题及参考答案


2014 年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测(二) 高三数学(理科答案) 一、选择题:
1-5.CDCBD
6-10. DACBD 11-12BA

二、填空题:
13. ____-160_________ 14. 15. 16. 3 9 3 5235 . .

三、解答题: (解答题按步骤给分,本答

案只给出一或两种答案,学生除标 准答案的其他解法,参照标准酌情设定,且只给整数分)
17.

解:由已知得 CD ? 15 ,

?ACD ? 120? , ?ADC ? 30? ,∴ ?CAD ? 30? ,

在 △ACD中 ,由正弦定理得

15 AD ,…………2 分 ? sin 30? sin120?

∴ AD ? 15 3 ;……………………………………………4 分
??BDC ? 75? , ?BCD ? 45? ,∴ ?CBD ? 60? ,

在 △BCD中,由正弦定理得,

15 BD ,……………6 分 ? sin 60? sin 45?

∴ BD ? 5 6 ;……………………………………8 分 在 △ABD中, ?ADB ? 45? ,由余弦定理得

AB ? AD 2 ? BD 2 ? 2 AD ? BD cos ?ADB ……………10 分 ? (15 3) 2 ? (5 6) 2 ? 2 ?15 3 ? 5 6 cos ?450
? 5 15

故两小岛间的距离为 5 15 海里. …………………………………12 分
18. 解 :( Ⅰ ) 由 已 知 , 100 位 顾 客 中 购 物 款 不 低 于 100 元 的 顾 客 有 n ? 4 0 ? 1 0 ? 0 n ? 20 ;………………………………………………2 分

6, 0%

m ? 100 ? ? 20 ? 30 ? 20 ? 10 ? ? 20 .……………………………………3 分
该商场每日应准备纪念品的数量大约为

5000 ?

60 ? 3000 件.……………4 分 100

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 1 人购物获得纪念品的频率即为概率

p?

60 3 ? ……………………5 分 100 5
? ? 3? 5?
1 3

故 4 人购物获得纪念品的人数 ? 服从二项分布 ? ? B ? 4, ?

16 ?3? ? 2? , P ?? ? 0 ? ? C ? ? ? ? ? 625 ?5? ? 5?
0 4

0

4

96 ?3? ? 2? P ?? ? 1? ? C ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 625
1 4

216 2 ?3? ? 2? , P ? ? ? 2 ? ? C4 ? ? ? ? ? 625 ?5? ? 5? 81 ? 3? ? 2? P ?? ? 4 ? ? C ? ? ? ? ? 625 ?5? ? 5?
4 4 4 0

2

2

216 3?3? ? 2? P ? ? ? 3 ? ? C4 ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 625

3

1

? 的分布列为
?
P

0
16 625

1
96 625

2
216 625

3
216 625

4
81 625

……………………11 分(此部分可按 ?

的取值,细化为 1 分,1 分的给分)

? 数学期望为 E? ? 0 ?
或由 E? ? 4 ?

16 96 216 216 81 12 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 625 625 625 625 625 5

3 12 ? .…………………………………………12 分 5 5

19.解: (Ⅰ)不妨设 AB = AC = AP =1,又 ?BAC ? 120 ? ,∴在△ABC 中,
BC 2 ? 12 ? 12 ? 2 ? 1? 1cos120 ? ? 3 ,∴ BC ? 3 ,

则 BN =
所以

3 1 ,…………………………………1 分 BC = 3 3

AB BN ,又 ?ABC ? ?NBA ,∴ △NBA ∽△ABC , ? BC AB 且 △NBA 也为等腰三角形.……………………………………………3 分

(法一)取 AB 中点 Q,连接 MQ、NQ,∴ NQ ? AB , MQ ∥ PA
∵ PA ? 面 ABC ,∴ PA ? AB ,∴ MQ ? AB ,…………5



所以 AB⊥平面 MNQ, 又 MN ? 平面 MNQ ∴AB⊥MN…………………………………6 分
Q

(法二) ?BAN ? 30? ,则 ?NAC ? 120? ? 30? ? 90? ,以 A 为坐标原点, AN 的方向为 x 轴正方向,建立如图所
示的空间直角坐标系

可得 A(0,0,0) , B(

3 1 3 1 1 ,? ,0) , M ( ,? , ) , 2 2 4 4 2
z

N(

3 ,0,0) ,…………………………………4 分 3
3 1 3 1 1 ,? ,0) , MN ? ( , ,? ) 2 2 12 4 2

∴ AB ? (

y

则 AB ? MN ? 0 ,所以 MN ? AB .…………6 分
(ⅡⅠ)同(Ⅰ)法二建立空间直角坐标系,可知

P(0,0,1) , C (0,1,0) ,面 PAN 的法向量可取为 AC ? (0,1,0) ,
…………………………………8 分 设面 ANM 的法向量为 m ? ( x, y, z ) , AM ? (

x

???? ?

???? 3 1 1 3 , ? , ) , AN ? ( , 0, 0) , 4 4 2 3

? 3 1 1 ???? ? ? ?m ? ???? ? 4 x? 4 y? 2 z ?0 AM ? 0 则? 即? 可取 m ? (0, 2,1) ,………………10 分 ?m ? AN ? 0 ? 3 x ? 0 ? ? 3 ?? ???? m ? AC 2 5 ∴ cos m, AC = ?? ???? ? , 5 m ? AC
故二面角 M - AN - P 的余弦值为

2 5 .…………………12 分 5

20.解: (Ⅰ)设动圆圆心坐标为 C ( x, y ) ,根据题意得

x 2 + ( y - 2) 2 =
2

y 2 + 4 ,……………………2 分

化简得 x = 4 y . …………………………………4 分 (Ⅱ)解法一:设直线 PQ 的方程为 y = kx + b , 由? í

ì ? x2 = 4 y 消去 y 得 x 2 - 4kx - 4b = 0 ? ? ? y = kx + b ì ? x1 + x2 = 4k ,且 D = 16k 2 + 16b ……………6 分 ? x x = 4 b ? ? 1 2
1 1 x1 ,其切线方程为 y - y1 = x1 ( x - x1 ) 2 2

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 ? í

以点 P 为切点的切线的斜率为 y1?= 即y=

1 1 x1 x - x12 2 4 1 1 x2 x - x2 2 2 4

同理过点 Q 的切线的方程为 y =

设两条切线的交点为 A( xA , y A ) 在直线 x - y - 2 = 0 上,

ì x + x2 ? ? xA = 1 = 2k ? ? 2 ? Q x1 ? x2 ,解得 í ,即 A(2k , - b) ? x1 x2 ? yA = =-b ? ? 4 ? ?
则: 2k + b - 2 = 0 ,即 b = 2 - 2k …………………………………8 分 代入 D = 16k + 16b = 16k + 32 - 32k = 16(k - 1) + 16 > 0
2 2 2

\ | PQ |=

1 + k 2 | x1 - x2 |= 4 1 + k 2 k 2 + b

A(2k , - b) 到直线 PQ 的距离为 d =

| 2k 2 + 2b | k2 + 1

………………………10 分

\ SD APQ =
2

1 | PQ | ? d 2
3 2

3

4 | k2 + b |? k2
2 3 2

b = 4(k 2 + b) 2

= 4(k - 2k + 2) = 4[(k - 1) + 1]

\ 当 k = 1时, SD APQ 最小,其最小值为 4 ,此时点 A 的坐标为 (2, 0) . …………12 分
解法二:设 A( x0 , y0 ) 在直线 x - y - 2 = 0 上,点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 在抛物线 x = 4 y 上, 则以点 P 为切点的切线的斜率为 y1?= 即y=
2

1 1 x1 ,其切线方程为 y - y1 = x1 ( x - x1 ) 2 2

1 x1 x - y1 2 1 x2 x - y2 ………………………………6 分 2

同理以点 Q 为切点的方程为 y =

ì 1 ? ? y0 = x1 x0 - y1 ? ? 2 设两条切线的均过点 A( x0 , y0 ) ,则 í , ? 1 ? y0 = x1 x0 - y1 ? ? 2 ? ?

\ 点 P, Q 的坐标均满足方程
y0 = 1 1 xx0 - y ,即直线 PQ 的方程为: y = x0 x - y0 ……………8 分 2 2
2

代入抛物线方程 x = 4 y 消去 y 可得:

x 2 - 2 x0 x + 4 y0 = 0

\ | PQ |=

1+

1 2 x0 | x1 - x2 |= 4

1+

1 2 x0 4 x0 2 - 16 y0 4

1 2 x0 - 2 y0 | 2 A( x0 , y0 ) 到直线 PQ 的距离为 d = …………………………10 分 1 2 x0 + 1 4 |
\ SD APQ = 1 | PQ | ? d 2 1 | x0 2 - 4 y0 | ? x0 2 2 4 y0 = 1 2 ( x0 - 4 y0 ) 2 2
3

=

1 2 1 ( x0 - 4 x0 + 8) 2 = [( x0 - 2) 2 + 4] 2 2 2

3

3

\ 当 x0 = 2 时, SD APQ 最小,其最小值为 4 ,此时点 A 的坐标为 (2, 0) .…………12 分
21. 解: (1) f '( x) ? e ? a .
x

①当 a ? 1 时, f '( x) ? e ? a ? 0 对 ?x ? 0 恒成立,即 f ( x) 在 (0, ??) 为单调递增函数;
x

又 f (0) ? 0 ,即 f ( x) ? f (0) ? 0 对 ?x ? 0 恒成立.…………………………1 分 ②当 a ? 1 时,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? ln a ? 0 . 当 x ? (0, ln a) 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; 当 x ? (ln a, ??) 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. 若 f ( x) ? 0 对任意 x ? 0 恒成立, 则只需 f ( x) min ? f (ln a) ? eln a ? a ln a ? 1 ? a ? a ln a ? 1 ? 0 ………………………… 3分 又 g (a) ? a ? a ln a ? 1(a ? 1) , 即 g ( a ) 在区间 (1, ??) 上单调递减; 又注意到 g (1) ? 0 。 g '(a) ? 1 ? ln a ? 1 ? ? ln a ? 0 , 故 g (a) ? 0 在区间 (1, ??) 上恒成立.即 a ? 1 时,满足 a ? a ln a ?1 ? 0 的 a 不存在. 综上: a ? 1 …………………………………5 分 (2)当 a ? 1 时, f ( x) ? e ? x ? 1 , f '( x) ? e ? 1 ,易得 f ( x)min ? f (0) ? 0 ,
x x

即 e x ? x ? 1 对任意 x ? R 恒成立。………………………………7 分
?? 3i ? 1 ? 3n 3i ? 1 ? 3i ? 1 ? ? 3n ?e 取x?? ,即 ? 1 ? (i ? 1, 2,?, n) ,有 1 ? ? ?e 3n ? 3n 3n ?

3i ?1

n

? 3i ?1 ? ? ?

n

?e

?

3i ?1 3



………………………………………9 分
2 5 3 n ?1 ? ? ? 2 ? ? 5 ? ? ? 3n ? 1 ? 3 3 3 ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? e ? e ? ? ? e 相加即得: ?1 ? . ? ? ? ? ? 3 n 3 n 3 n ? ? ? ? ? ? 2 5 3 n ?1 ? ? ? ? 2? ? 5? ? 3n ? 1 ? ? 3n ? 2 ? ? 3n ? 5 ? ?1? 3 3 3 即 ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? . ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? e ? e ??? e 3n ? ? 3n ? ? 3n ? ? 3n ? ? 3n ? ? ? 3n ? n n n n n n n n n

故 ? 3n ? 2 ? ? ? 3n ? 5? ? ? ? 1n ? e ? e ? ? ? e
n n

?

2 3

?

5 3

?

3n ?1 3

1 1 3 n e e (3n) n ? (3n)n ? e (3n) n 1 e ? 1 1? e
? 2 3

1?



n?2
n



n? N
1 n



, .





1n ?

? 4n ? ? ? 7n ?

e3 ? ( n n3 e ?1

2

)

(

3

)
第一题记分.

…………………………12 分 请考生在 22~24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的 22. 解 :( 1 ) 因 为 AB 为 圆 O 一 条 直 径 , 所 以 2分 B F? F ,……………………… H 又 DH ^ BD ,

故 B 、 D 、 F 、 H 四点在以 BH 为直径的圆上 所以, B 、 D 、 F 、 H 四点共圆.……………………………4 分 (2)因为 AH 与圆 B 相切于点 F ,由切割线定理得

AF 2 ? AC ? AD ,即 2 2

?

?

2

? 2 ? AD ,

AD=4 ,………………………………6 分 1 所以 BD = ? AD ? AC ? ? 1,BF ? BD ? 1 2 又 ?AFB ? ?ADH , DH AD 则 , 得 DH ? 2 ………………………………8 分 ? BF AF 连接 BH ,由(1)可知 BH 为 D BDF 的外接圆直径 3 BH ? BD 2 ? DH 2 ? 3 ,故 D BDF 的外接圆半径为 ……………10 分 2 2 23.解:(1)由 ? ? 2sin ? ? 2cos ? ,可得 ? ? 2 ? sin ? ? 2 ? cos ?
所以曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 y ? 2 x ,…………………………2 分
2 2

标准方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

曲线 C 的极坐标方程化为参数方程为 ? …………………………5 分

? ? x ? ?1 ? 2 cos ? ? ? y ? 1 ? 2 sin ?

??为参数 ?

? 2 x ? ?2 ? t ? p ? 2 (2)当 a = 时,直线 l 的方程为 : ? , 4 ?y ? 2 t ? ? 2 化成普通方程为 y ? x ? 2 …………………………………7 分
由? 所

? x2 ? y 2 ? 2 y ? 2x ?y ? x ? 2
以 直 线

,解得 ? 与

? x ? 0 ? x ? ?2 或? …………………………………9 分 ?y ? 2 ?y ? 0
曲 线

l

C



















? k ? Z ? ; ? 2, ? ? ??? ? , ? k ? Z ? .………………………………………10 分
24.解: (1)当 a = 1时,不等式 f ( x) ? 2 可化为 | x + 1| + | 2 x - 1| 2

? ? ? ? 2, ? 2k ? ? 2 ? ?



1 2 2 时,不等式为 3x ? 2 ,解得 x ? ,故 x ? ; 2 3 3 1 ②当 ?1 ? x ? 时,不等式为 2 - x 2 ,解得 x ? 0 ,故 ?1 ? x ? 0 ; 2 2 ③当 x ? ?1 时,不等式为 - 3x 2 ,解得 x ? ? ,故 x ? ?1 ; 3
①当 x ? ……………4 分 综上原不等式的解集为 ? x x ? 0, 或x ?

? ?

2? ? ………………………………………5 分 3?

(2)因为 f ( x) ? 2 x 的解集包含 不等式可化为 | x + a | 1 ,………………………………………7 分 解得 ?a ?1 ? x ? ?a ? 1 ,

1 ? ??a ? 1 ? 由已知得 ? 2 ,……………………………………9 分 ? ??a ? 1 ? 1
解得 ?

3 ? 3 ? ? a ? 0 所以 a 的取值范围是 ? ? , 0 ? .…………………………………10 分 2 ? 2 ?


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