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2013届高三理科数学复习攻略专题训练5


一、选择题 1.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为 6 和 4 的矩形,则它的体积为( 8 A. 3 B.4 3 3 2 8 C. 3 D.4 3或 3 9 3 解析:选 D.分侧面展开图矩形长、宽分别为 6 和 4 或 4 和 6 两种情况. 2.若函数 f(x)= ax2+4ax+3的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是( 3 3 A.(0, ] B.(0, ) 4 4 3

3 C.[0, ] D.[0, ) 4 4

)

)

解析:选 C.∵函数 f(x)= ax2+4ax+3的定义域为 R, ∴ax2+4ax+3≥0 对 x∈R 恒成立,当 a=0 时有 3≥0 对 x∈R 恒成立,符合题意;当 a≠0 3 时,要使 ax2+4ax+3≥0 对 x∈R 恒成立,必须 a>0 且 Δ=16a2-12a≤0,解得 ≥a>0.综上 4 3 a∈[0, ],故选 C. 4 3. (2011 年高考湖北卷)若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ex, g(x) 则 =( ) 1 x -x - x A.e -e x B. (e +e ) 2 1 -x x 1 x -x C. (e -e ) D. (e -e ) 2 2 解析:选 D.∵f(x)为偶函数,g(x)为奇函数, ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x). - ∴f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=e x. - ex-e x 又∵f(x)+g(x)=ex,∴g(x)= . 2 2 2 2 4.已知圆面 C:(x-a) +y ≤a -1 的面积为 S,平面区域 D:2x+y≤4 与圆面 C 的公共区 1 域的面积大于 S,则实数 a 的取值范围是( ) 2 A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(-∞,-1)∪(1,2) D.(-∞,-1)∪(1,2] 解析:选 C.依题意并结合图形分析可知,圆面 C:(x-a)2+y2≤a2-1 的圆心(a,0)应在不等 ? 2 ?a -1>0 式 2x+y≤4 表示的平面区域内,即有? ,由此解得 a<-1,或 1<a<2.因此,实数 a ?2a+0<4 ? 的取值范围是(-∞,-1)∪(1,2),故选 C. 5.已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[-1,1]时 f(x)=x2,那么函数 y=f(x)的图象与函数 y =|lg x|的图象的交点共有( ) A.10 个 B.9 个 C.8 个 D.1 个 解析:选 A.如图,作出图象可知 y=f(x)与 y=|lg x|的图象共有 10 个交点.

二、填空题 6.(2011 年高考江西卷)对于 x∈R,不等式|x+10|-|x-2|≥8 的解集为________. 解析:当 x≥2 时,不等式化为 x+10-x+2≥8,即 12≥8,成立.

当 x≤-10 时,不等式化为-x-10+x-2≥8,即-12≥8,不成立. 当-10<x<2 时,不等式化为 x+10+x-2≥8,即 x≥0, 所以 0≤x<2. 综上,得原不等式的解集为{x|x≥0}. 答案:[0,+∞) 7.若关于 x 的不等式 m(x-1)>x2-x 的解集为{x|1<x<2},则实数 m 的值为__________. 解析:∵关于 x 的不等式 m(x-1)>x2-x 的解集为{x|1<x<2},方程 m(x-1)=x2-x 即 x2-(m ?1+m=3 ? +1)x+m=0 的两根为 1,2,∴? ,解得 m=2. ? ?m=1×2 答案:2 8.(2011 年高考浙江卷)设 x,y 为实数,若 4x2+y2+xy=1,则 2x+y 的最大值是________. 解析:设 2x+y=t,∴y=t-2x,代入 4x2+y2+xy=1,整理得 6x2-3tx+t2-1=0.关于 x 的 方程有根, 2 10 2 10 2 10 因此 Δ=(-3t)2-4×6×(t2-1)≥0,解得- ≤t≤ .则 2x+y 的最大值是 . 5 5 5 2 10 答案: 5 三、解答题 9.(2011 年高考江西卷)已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0),b1-a1=1,b2- a2=2,b3-a3=3. (1)若 a=1,求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}唯一,求 a 的值. 解:(1)设{an}的公比为 q,则 b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2, 由 b1,b2,b3 成等比数列得(2+q)2=2(3+q2), 即 q2-4q+2=0,解得 q1=2+ 2,q2=2- 2. - - 所以{an}的通项公式为 an=(2+ 2)n 1 或 an=(2- 2)n 1. 2 2 (2)设{an}的公比为 q,则由(2+aq) =(1+a)(3+aq ),得 aq2-4aq+3a-1=0(*). 由 a>0 得 Δ=4a2+4a>0, 故方程(*)有两个不同的实根. 1 由{an}唯一,知方程(*)必有一根为 0,代入(*)得 a= . 3 3 2 10.设函数 f(x)=x +3bx +3cx 有两个极值点 x1、x2,且 x1∈[-1,0],x2∈[1,2]. (1)求 b、c 满足的约束条件; 1 (2)证明:-10≤f(x2)≤- . 2 2 解:(1)f′(x)=3x +6bx+3c. 依题意知,方程 f′(x)=0 有两个根 x1、x2,且 x1∈[-1,0],x2∈[1,2].等价于 f′(-1)≥0, f′(0)≤0,f′(1)≤0,f′(2)≥0.

?c≥2b-1 ?c≤0 由此得 b、c 满足的约束条件为? c≤-2b-1 ?c≥-4b-4 ?
(2)证明:由题设知 f′(x2)=3x2+6bx2+3c=0, 2 1 2 1 故 bx2=- x2- c, 2 2 1 3c 3 于是 f(x2)=x2+3bx2+3cx2=- x3+ x2. 2 2 2 2 由于 x2∈[1,2],而由(1)知 c≤0,

.

1 3 故-4+3c≤f(x2)≤- + c. 2 2 1 又由(1)知 c∈[-2,0],所以-10≤f(x2)≤- . 2 11.已知点 M、N 分别在直线 y=mx 和 y=-mx(m>0)上运动,点 P 是线段 MN 的中点,且 |MN|=2,动点 P 的轨迹是曲线 C. (1)求曲线 C 的方程,并讨论 C 所表示的曲线类型; 2 2 6 ? (2)当 m= 时,过点 A?- 的直线 l 与曲线 C 恰有一个公共点,求直线 l 的斜率. 2 ? 3 ,0? 解:(1)设 P(x,y),M(x1,mx1),N(x2,-mx2),

?x1+x2=2x, ? 依题意得?mx1-mx2=2y, ??x -x ?2+?mx +mx ?2=22, ? 1 2 1 2
x2 y2 + =1. 1 m2 2 m 当 m>1 时,方程表示焦点在 y 轴上的椭圆; 当 0<m<1 时,方程表示焦点在 x 轴上的椭圆; 当 m=1 时,方程表示圆. 2 x2 y2 (2)当 m= 时,方程为 + =1, 2 2 1 2 2 6? 设直线 l 的方程为 y=k?x+ , 3 ? ? 消去 x1,x2,整理得

? 2 + 1 =1, ? 2 联立方程组? ?y=k?x+2 3 6?, ? ? ?
16 6 2 32k2 消去 y 得(1+4k )x + k x+ -2=0. 3 3 根据已知可得 Δ=0, 2 ?16 6k2?2-4(1+4k2)?32k -2?=0, 故有 ? 3 ? ? 3 ? 3 3 ∴k2= .∴直线 l 的斜率为 k=± . 4 2
2 2

x2

y2

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