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2016届高三四校一联文科数学试题答案


2016 届高三四校第一次联考文科数学试题参考答案
一、选择题 CABBC BADCB AC 二、填空题 13. 2ex ? y ? e ? 0 三、解答题 17. 解: (1)∵A+B+C=180°,∴4sin 1+cosA 7 2 ∴4· -(2cos A-1)= , 2 2 1 2 ∴4cos A-4cosA+1=0,解得 cosA= , 2 ∵0°<A&l

t;180°,∴A=60°. (2)∵a =b +c -2bccosA, ∴7=(b+c) -3bc,解得 bc=6. 1 1 3 3 3 ∴S△ABC= bcsinA= ×6× = 2 2 2 2
2 2 2 2 2

14. 12

15. 20

16.

?
4

B+C
2

7 7 2A -cos2A= .∴4cos -cos2A= , 2 2 2 ………………4 分

………………6 分

………………10 分 ………………12 分

18. 1)证明:?四边形ABCD是菱形 ? AC ? BD 又? SD ? 平面ABCD ? SD ? AC ,? SD ? BD ? D ? AC ? 平面SBD 又? PQ ? 面SBD? AC ? PQ (2) 解:设 AC与BD交于点O,取BO中点即为Q ………………3 分

………………6 分

在?SOB中,PQ为边SO上的中位线
? PQ // SO
又? SO ? 面SAC

? PQ // 面SAC
连结 PO ,则 PO // SD , 且PO ?

1 SD ? 1 2

? PO ? 面ABCD
又? S四边形AQCD ?

………………8 分

3 3 3 S 菱形ABCD ? 4 2

………………10 分

高三四校一联文科数学答案 第 1 页 共 4 页

?V四棱锥P ? AQCD ?

1 3 PO ? S四边形AQCD ? 3 2

………………12 分

19. 解: (1)依题意得 x ? 3, y ? 26.4

? b ? 2.5, a ? 18.9 ?回归直线方程为: y ? 2.5 x ? 18.9 ………………4 分
? y 6 ? 33.9 ………………6 分
(2) 受培时间一年以上 收入不低于平均值 收入低于平均值 ………………8 分 60 10 70 受培时间不足一年 20 10 30 80 20 100
?

?

?

?

? k 2 ? 4.762 ? 3.841………………10 分
由表得,有 95 % 的把握认为两者有关系. ………………12 分 (0, - b) 20.(1)解: (1)设椭圆的短轴端点为 (若为上端点则倾斜角为钝角) ,则过右焦点与短轴端点的 0 ? (?b) ? ? tan ? 1 直线的斜率 k ? 4 2 ?1

? b ? 2, 又? c ? 2,,? a ? 2
x2 y 2 ? C的方程: ? ?1 4 2
………………4 分

(2)设点 A, B 的坐标分别为 (t ,2),( x0 , y0 ) ,其中 x0 ? 0

??? ? ??? ? ? OA ? OB, ?OA? OB ? 0 ,即就是 tx0 ? 2 y0 ? 0 ,………………6 分
解得 t ? ?

y0 . x0

2 2 又 x0 ? 2 y0 ?4

? A B ? ( x0 ? t )2 ? ( y0 ? 2)2 ? ( x0 ?
2 x0 8 ? 2 ? 4(0 ? x0 ? 4) 2 x0

2 y0 2 x2 8 ) ? ( y0 ? 2) 2 ? 0 ? 2 ? 4(0 ? x0 ? 4) ……10 分 x0 2 x0

?

2 ? 4 时等号成立,所以 AB 长度的最小值为 2 2 ………………12 分 且当 x0

21. 解:(1). f ?( x) ?

a ?1 a x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? 1)( x ? a ) ?1? 2 ? ? , x ? 0 ………………2 分 x x x2 x2
高三四校一联文科数学答案 第 2 页 共 4 页

当 a ? 0 时,在 x ? (0, ??) 上 f ?( x) ? 0, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增;………………4 分 ① 当 a ? 0 时,在 x ? (0, -a ) 上 f ?( x) ? 0 ;在 x ? (?a, ??) 上 f ?( x) ? 0 ;所以 f ( x) 在 (0,-a) 上单调递减, 在 (?a, ??) 上单调递增. 综上所述,当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ;当 a < 0 时, f ( x) 的单调递减区间为 (0,-a) , 单调递增区间为 (?a, ??) .………………6 分 (2) 若在 ?1, e? 上存在 x 0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 成立,则 f ( x) 在 ?1, e? 上的最小值小于 0.………………8 分 ①当 ? a ? 1 ,即 a ? ?1 时,由 (1) 可知 f ( x) 在 ?1, e? 上单调递增, f ( x) 在 ?1, e? 上的最小值为 f (1) ,由

f (1) ? 1? a ? 0,可得 a ? 1 ………………9 分
②当 ?a ? e ,即 a ? ?e 时,由 (1) 可知 f ( x) 在 ?1, e? 上单调递减, f ( x) 在 ?1, e? 上的最小值为 f (e) ,由

f ( e) ? (a ? 1) ? e ?

a e(e ? 1) ………………10 分 ? 0,可得 a ? ? e e ?1

③当 1 ? ? a ? e , 即 ? e ? a ? ?1 时, 由(1)可知 f ( x) 在 (1, ?a) 上单调递减, 在 (?a, e) 上单调递增,f ( x) 在 ?1, e? 上的最小值为 f (?a) ? (a ? 1)ln(?a) ? a ? 1 , 因为 0 ? ln(?a) ? 1 ,所以 (a ? 1) ? (a ? 1)ln(?a) ? 0 ,即 (a ? 1)ln(?a) ? a ? 1 ? 2 , 即 f (?a) ? 2 ,不满足题意,舍去. ………………11 分 综上所述,实数 a 的取值范围为 (??, ? 22. 求证:(Ⅰ) CE ? DE ; (Ⅱ)

e(e ? 1) ) ? (1, ??) .………………12 分 e ?1

证明: (1) PE 是切线,? ?A ? ?BEP

CA PE ? . CE PB

? PC 平分 ?APE,? ?A ? ?CPA ? ?BEP ? ?DPE
? ?ECD ? ?A ? ?CPA, ?EDC ? ?BEP ? ?DPE
? ?ECD ? ?EDC, EC ? ED ………………5 分
(2)? ?PDB ? ?EDC, ?EDC ? ?ECD, ?PDB ? ?PCE,

? ?BPD ? ?EPC,? ?PBD 相似于 ?PEC ,?
同理, ?PDE 相似于 ?PCA ,?
2

PE PC ? PB PD

PC CA CA PE ? ? ? ………………10 分 PD DE CE PB
2

x y 23.(1) l : x ? y ? 1 ? 0, C: ? ? 1 ……………………………………5 分 4 3
(2)设点 p 的坐标是 (2 cos? , 3 sin ? )
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则d ?

7 sin(? ? ? ) ? 1 2

………………7 分

d max ?

14 ? 2 ………………10 分 2

24. 解:(1)由 ? 5 ? f ( x) ? 2 ? 5 , ? 3 ? f ( x) ? 7 , ? 7 ? 2 x ? 1 ? 7 , 解集为: x ?3 ? x ? 4? ………………5 分 (2)由 g(x) ?

?

1 1 ? 的定义域为 R 知; f(x)? f(x - 1) ? m 2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ? m

对任意实数 x,有 2x ? 1 ? 2x ? 1 ? m ? 0 恒成立 因为 2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ? ? 2 x ? 1? ? ? 2 x ? 1? ? 2 ,所以 m ? ?2 ………………10 分

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