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高三文科数学起点考试试卷


高三文科数学起点考试试卷

数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.若 M ? {x | x ? ?1} ,则下列选项正确的是 A、0 ? M 2. sin ??? 的值为
?



) D、{0} ? M

B、{0}∈M ( )

C、φ ∈M

A、

? ?

B、 ?

? ?

C、

? ?

D、 ?

? ?

3.由0,1,2,…,9这十个数组成无重复数字的四位数中,个位数字与百位数字之 差的绝对值等于8的个数为( ) A、180 B、196 C、210 D、224 4.已知某人每次投篮投中的概率为 p,各次投篮结果互不影响,直至进行第 n 次投篮, 才有 r(1≤r≤n)次投中的概率为( ) A、 C r p r (? ? p) n ?r n B、 C r ?? p r (? ? p) n ?r n ?? C、 p r (? ? p) n ?r D、 C r ?? p r ?? (? ? p) n ?r n ??

5.若把一个函数 y ? f (x) 的图象按 a ? (? 函数 y ? f (x) 的解析式为( A、 y ? cos( x ? C、 y ? cos( x ? )

?
3

,?1) 平移后得到函数 y ? cos x 的图象,则

? ?
3

) ?1 ) ?1

B、 y ? cos( x ? D、 y ? cos( x ?

? ?
3 3

) ?1 ) ?1

3

6.以下是立体几何中关于线、面的四个命题 (1)垂直于同一平面的两个平面平行 (2)若异面直线 a、b 不垂直,则过 a 的任何一个平面与 b 均不垂直 (3)垂直于同一平面的两条直线一定平行 (4)垂直于同一直线的两个平面一定平行 其中正确的命题有( )个 A、1 B、2 C、3 D、4

7 . 设 ? ? (? ? x) ? ? (? ? ?x) ? ? (? ? ?x) ? ? ? ? ? ? (? ? nx) ? ? a ? ? a? x ? a ? x ? , 则

a ? ? a? ? (
A、 n
?

) B、 n ? n
?

C、 n ? ?n ? ?

?

D、 n ? n ? ? )

?

8.数列 {x n } 满足 x ? ? ? , x ? ?

? ? ? ? ,且 ? ? (n ? ?) ,则 x n 等于( ? x n ?? x n ?? x n
C、

A、 ( )

? ?

n ??

B、 ( )

? ?

n

n ?? ?

D、

? n ??

?) 9.在抽查产品的尺寸过程中,将其尺寸分成若干组,[?.?, 是其中的一组,抽查出的个
体在该组上的频率为 0 .2 ,该组上的直方图的高为 h ,则 h 为( A、 0 .1 B、 0.05 C、 0.08 D、 0 .2 10.如右图所示,在单位正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 的面对角线 )
D1 C1

A1 B 上存在一点 P 使得 AP ? D1 P 最短,则 AP ? D1 P 的最小值
为( A、2 )

A1

B1

2? 6 B、 2

D

C、 2 ?

2

D、 2 ?

P

C

2

A

B

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡相应的位置上。

2? ? 11.若二项式 ? x ? ? 的展开式的第五项是常数项,则此常数项为 x? ?
12.已知实数 x、y 满足 ?

n

??x ? y ? ? x ? y?? ,则 ? 的最大值是 x ? ?y ? ? ? ? ?

13.某校有老师 200 人,男生学 1200 人,女学生 1000 人。现用分层抽样的方法 从所有师生中抽取一个容量为 n 的样本;已知从女学生中抽取的人数为 80 人, 则 n= 14.若直线 l 过定点 M(?,?) 且和抛物线 y ? ?x ? 有且仅有一个公共点,则直线 l 的方程 是 15.底面边长为 a 正四棱锥 S—ABCD 内接于球 O,过球心 O 的一个截面如图,则球 O 的表面积为 ;A、B 的球 面距离为
S

A

O

C

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 已知Δ ABC 中, 5(b ? c ? a ) ? 6bc , 求
2 2 2

sin 2 A ? 2 sin 2 A 的值。 1 ? cos A

17.(本小题满分 12 分) 等差数列{ an }的前 n 项和记为 Sn.已知 a10 ? 30, a20 ? 50. (Ⅰ)求通项 an ; (Ⅱ)若 Sn=242,求 n.

18.(本小题满分 12 分) 有一块边长为 6m 的正方形钢板, 将其四个角各截去一个边长为 x 的小正方形, 然后焊接 成一个无盖的蓄水池。 (Ⅰ)写出以 x 为自变量的容积 V 的函数解析式 V(x),并求函数 V(x)的定义域; (Ⅱ)指出函数 V(x)的单调区间; (Ⅲ)蓄水池的底边为多少时,蓄水池的容积最大?最大容积是多少?

19.(本小题满分 12 分) 如图,在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=

1 AB,点 E、M 分别为 A1B、C1C 的中 2

点,过点 A1,B,M 三点的平面 A1BMN 交 C1D1 于点 N. (Ⅰ)求证:EM∥平面 A1B1C1D1; (Ⅱ)求二面角 B—A1N—B1 的正切值.

20.(本小题满分 13 分)

已知函数 f ( x) ? x ? b 的图像与函数 g ( x) ? x 2 ? 3x ? 2 的图象相切,记

F ( x) ? f ( x) g ( x).
(Ⅰ)求实数 b 的值及函数 F(x)的极值; (Ⅱ)若关于 x 的方程 F(x)=k 恰有三个不等的实数根,求实数 k 的取值范围.

21.(本小题满分 14 分) 已知抛物线、椭圆、双曲线都经过点 M(1,2),它们在 x 轴上有共同焦点,椭圆和双曲线 的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点。 (Ⅰ)求这三条曲线方程; (Ⅱ)若定点 P(3,0),A 为抛物线上任意一点,是否存在垂直于 x 轴的直线 l 被以 AP 为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由。

武汉市部分重点中学 2008——2009 学年度新高三起点考试

数学答案(文科)
一、选择题 DBCBD CCDCD 二、填空题 11.1120 12.2 三、解答题 16.解:在Δ ABC 中,∵ 5(b 2 ? c 2 ? a 2 ) ? 6bc , ∴ cos A ? 13.192 14. x ? ?或y ? ?x ? ? 15. ??a 、
?

? a? ?

4 b2 ? c2 ? a2 3 ? ,∴ sin A ? ……(5 分) 5 2bc 5 2 sin A cos A ? 2 sin 2 A 2 sin A(cos A ? sin A) cos A 原式 ? ? sin A cos A ? sin A 1? cos A 4 3 24 ? 2 sin A cos A ? 2 ? ? ? ……(12 分) 5 5 25

17.解: (Ⅰ)由 an ? a1 ? (n ? 1)d , a10 ? 30, a20 ? 50, 得方程组

?a1 ? 9d ? 30, ……4 分 解得 a1 ? 12, d ? 2. 所以 an ? 2n ? 10. ……7 分 ? a1 ? 19d ? 50. ?
(Ⅱ)由 S n ? na1 ?

n(n ? 1) d , S n ? 242 得方程 2

12 n ?

n(n ? 1) ? 2 ? 242 . ……10 分 解得 n ? 11 n ? ?22(舍去). ………12 分 或 2
2

18.解: (Ⅰ)设蓄水池的底面边长为 a,则 a=6-2x, 则蓄水池的容积为: V ( x) ? x(6 ? 2 x) . 由?

?x ? 0 得函数 V(x)的定义域为 x∈(0,3). ?6 ? 2 x ? 0
2 3 2 2

………4 分
2

(Ⅱ)由 V ( x) ? x(6 ? 2x) ? 4x ? 24x ? 36x 得 V ' ( x) ? 12x ? 48x ? 36 . 令 V ' ( x) ? 12x ? 48x ? 36 ? 0 ,解得 x<1 或 x>3; 令 V ' ( x) ? 12x ? 48x ? 36 ? 0 ,解得 1<x<3. 故函数 V(x)的单调增区间是(0,1) ,单调减区间为(1,3). ………8 分
2

(Ⅲ)令 V ' ( x) ? 12x ? 48x ? 36 ? 0 ,得 x=1 或 x=3(舍). 并求得 V(1)=16. 由 V(x)的单调性知,16 为 V(x)的最大值.
2

故蓄水池的底边为 4m 时,蓄水池的容积最大,其最大容积是 16m .

3

………12 分

19.解:Ⅰ)证明:取 A1B1 的中点 F,连 EF,C1F

∵E 为 A1B 中点

∴EF∥

1 BB1 2

又∵M 为 CC1 中点 ∴EF∥ C1M∴四边形 EFC1M 为平行四边形 ∴EM∥FC1 而 EM ? 平面 A1B1C1D1 . FC1 ? 平面 A1B1C1D1 . ∴EM∥平面 A1B1C1D1………………6 分 (Ⅱ)由⑴EM∥平面 A1B1C1D1 EM ? 平面 A1BMN 平面 A1BMN∩平面 A1B1C1D1=A1N ∴A1N// EM// FC1 ∴N 为 C1D1 中点 过 B1 作 B1H⊥A1N 于 H,连 BH, 根据三垂线定理 BH⊥A1N ∠BHB1 即为二面角 B—A1N—B1 的平面角……8 分 设 AA1=a, 则 AB=2a, ∵A1B1C1D1 为正方形 ∴A1H= 5a ∴B1H= 又∵△A1B1H∽△NA1D1

2a ? 2a 5a

?

4a 5

,在 Rt△BB1H 中,tan∠BHB1=

BB1 a 5 ? ? 4a B1 H 4 5

5 ……12 分 (空间向量按步骤给分) 4 20.解: (Ⅰ)依题意,令 f ' ( x) ? g ' ( x), ,得 1 ? 2 x ? 3, 故x ? ?1 ?函数f ( x )的图像与函数g ( x )的图象的切点为 ??,?) (
即二面角 B—A1N—B1 的正切值为

将切点坐标代入函数 ( x ) ? x ? b可得b ? ? f (或 : 依题意方程f ( x )) ? g ( x ),即x ? ? ? x ? ? ? b ? ?有唯一实数解 故? ? ? ? ? ?(? ? b) ? ?, 即b ? ?)   ? F( x ) ? ( x ? ?)(x ? ? ? x ? ?) ? x ? ? ? x ? ? ?x ? ? ? 故F' ( x ) ? ?x ? ? ?x ? ? ? ? ?( x ? ?)(x ? ) ? ? 令F' ( x ) ? ?, 解得x ? ??或x ? ? ? ? ? ? ? ? ??分 ?
列表如下:

x
F ' ( x)
F (x)

5 ( ?? ,? ) 3
+ ↗

?

5 3 4 27

5 ( ? ,?1) 3
- ↘

-1 0 极小值 0

(?1,??)
+ ↗

0 极大值

从上表可知 F ( x)在x ? ? 处取得极大值

4 , 在x ? ?1 处取得极小值. ………7 分 27 (Ⅱ)由(1)可知函数 y ? F ( x)大致图象如下图所示作函数 y ? k 的图象,当 .

5 3

关于 x 的方程 F ( x) ? k恰有三个 y ? F (x) 的图象与函数 y ? k 的图象有三个交点时, 4 不等的实数根 .结合图形可知 : k ? (0, ) ………13 分 27

21.解: (Ⅰ)设抛物线的方程为 y ? ? ?px ∵M(1,2)在抛物线上,∴ ? ? ? ?p ? ? 即 p=2 ∴抛物线方程为 y ? ? ?x ,焦点为(1,0) ∵椭圆、双曲线与共焦点,且对称轴为坐标轴,分别设其方程为 ………3 分

x? y? x? y? ? ? ? ?(a ?>? , ? ? ) ? ?(m ?<? ) ? ? a a ?? m ?? m
∵椭圆、双曲线都经过点 M(1,2)

? ?? ?a ? ? a ? ?? ? ? ?a ? ? ? ? ? ? (舍去)或a ? ? ? ? ? ? ? ? ∴? 解得 ? ?m ? ? ? ? ? ? (舍去)或m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?m? ?? m? ?
∴椭圆与双曲线的方程分别为

x? ?? ? ?

?

y? ??? ?

? ?、

x? ?? ? ?

?

y? ? ? ??

??

………7 分 (Ⅱ)设 A(x ? , y ? ) 为抛物线上任意一点,则 又 P(3,0), AP 为直径的圆的半径 r ? 以
? (x ? ? ?) ? ? y ? (x ? ? ?) ? ? ?x ? | AP | ? ? ? ? ?

圆心 B 为 AP 中点, ( ∴B

x ? ? ? y? x ?? , ), ?n| 设直线 l: x=n, 则圆心 B 到 l 的距离 d= | ? ? ? ?

则弦长 u=2 r ? ? d ? = ?

(x ? ? ?) ? ? ?x ? x ?? ?| ? ? n |? ? ?

(x ? ? ?) ? ? ?x ? (x ? ? ?) ? =? ? ? n(x ? ? ?) ? n ? ? (n ? ?)x ? ? ?n ? n ? ? ?
当 n=2时,u 为定值 ? ? ,∴满足题意的直线 l 存在,其方程为 x=2 ………14 分


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