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2、1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 简单组合体的结构特征


1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 简单组合体的结构特征

如图,给出下列实物图.

问题 1:上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同? 提示:它们不是由平面多边形围成的. 问题 2:上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否以某平面图形旋转而成? 提示:可以. 问题 3:如何形成上述几何体的曲面? 提示:可将半圆、直角梯形、直角三

角形绕一边为轴旋转而成.

旋转体

结构特征 以矩形的一边所在直线为旋转轴, 其 余三边旋转形成的面所围成的旋转 体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴;

图形

表示

我们用表示圆柱 轴的字母表示圆 柱,左图可表示 为圆柱 OO′

圆柱

垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做 圆柱的底面; 平行于轴的边旋转而成 的曲面叫做圆柱的侧面; 无论旋转到 什么位置, 不垂直于轴的边都叫做圆 柱侧面的母线 以直角三角形的一条直角边所在直

我们用表示圆锥 轴的字母表示圆 锥,左图可表示 为圆锥 SO

圆锥

线为旋转轴, 其余两边旋转形成的面 所围成的旋转体叫做圆锥

-1-

我们用表示圆台 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥, 底面与截面之间的部分叫做圆台 轴的字母表示圆 台,左图可表示 为圆台 OO′ 以半圆的直径所在直线为旋转轴, 半 圆面旋转一周所形成的旋转体叫做 球 球体,简称球.半圆的圆心叫做球的 球心,半圆的半径叫做球的半径,半 圆的直径叫做球的直径 球常用球心字母 进行表示,左图 可表示为球 O

中国首个空间实验室“天宫一号”于 2011 年 9 月 29 日 16 分成功发射升空,并与当年 11 月 与“神舟八号”实现无人空间对接,下图为天宫一号目标飞行器的结构示意图.

其主体结构如图所示:

问题 1:该几何体由几个几何体组合而成? 提示:4 个. 问题 2:图中标注的①②③④部分分别为什么几何体? 提示:①为圆台,②为圆柱,③为圆台,④为圆柱.

1.简单组合体的概念 由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. 2.简单组合体的构成形式
-2-

有两种基本形式:一种是由简单几何体拼接而成的;另一种是由简单几何体截去或挖去一部 分而成的.

1.由圆柱的形成过程及母线的定义可知,圆柱有无数条母线,它们都与轴平行,它们之间 也互相平行. 2.圆锥的顶点与底面圆周上任一点的连线都是圆锥的母线. 3.圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中线所在的直线为轴,各边旋转半周形成的曲面 所围成的几何体. 4.体育中用到的足球、篮球、乒乓球,它们都是中空的,所以它们不是数学中提到的球, 但是铅球是数学提到的球,数学中提到的球是实心的旋转体.

[例 1] 一直角梯形 ABCD 如右图所示,分别以 AB,BC,CD,DA 为轴 转,试说明所得几何体的大致形状. [思路点拨] 注意所旋转的图形特点,结合其选定的轴易于解决问题.



[精解详析] 可以结合实物——“一个直角梯形硬纸板”旋转而得出结论.以 AB 为轴旋转 可得到一个圆台;以 BC 为轴旋转可得到一个圆柱和圆锥的组合体;以 CD 为轴旋转可得到一个 圆台,下底挖去一个小圆锥,上底增加一个较大的圆锥;以 AD 为轴旋转可得一个圆柱,上面挖 去一个圆锥,如下图所示.

[一点通] 借助实物模型来分析立体几何中相关问题是一种十分重要的方法,对我们空间想 象能力的培养和形成都有较大的帮助.同时,对一个平面图形进行旋转时,所选取的轴不同所得 旋转体也不同,对所得几何体要借助圆柱、圆锥、圆台的结构特征进行分析.

1.下列叙述中正确的个数是(

)

①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台;
-3-

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面; ④用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. A.0 C.2 B .1 D.3

解析:①中应以直角三角形的直角边为轴,②中应以直角梯形中的直角腰为轴,④中应用平 行于底面的平面去截,③正确. 答案:B 2.观察知识点二中的“天宫一号”主体结构图,该几何体可由什么图形旋转而成?画出图 形并指明旋转轴. 解:几何体可由如下图旋转而成,以 AA′为旋转轴.

[例 2] (10 分)观察下列几何体的结构特点,完成以下问题:

(1)图①所示几何体是由哪些简单几何体构成的?试画出几何图形, 可旋转该图形 180° 后得到 几何体①; (2)图②所示几何体结构特点是什么?试画出几何图形,可旋转该图形 360° 得到几何体②; (3)图③所示几何体是由哪些简单几何体构成的?并说明该几何体的面数、棱数、顶点数. [思路点拨] 只有正确判断几何体的组合特点,才能准确把握其结构特征. [精解详析] (1)图①是由圆锥和圆台组合而成. 可旋转如下图形 180° 得到几何体① (1 分)

-4-

(3 分) (2)图②是由一个圆台,从上而下挖去一个圆锥,且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心. (5 分) 可旋转如下图形 360° 得到几何体②

(7 分) (3)图③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成,且四棱锥的底面与四棱柱底面相同. (9 分) 共有 9 个面,9 个顶点,16 条棱. (10 分)

[一点通] (1)明确组合体的结构特征,主要弄清它是由哪些简单几何体组成的,必要时也可 以指出棱数、面数和顶点数,如图(3)所示的组合体有 9 个面,9 个顶点,16 条棱. (2)会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步,因此我们应注意观察周围的物体,然后将 它们“分拆”成几个简单的几何体,进而培养我们的空间想象能力和识图能力.

3.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体是由( A.一个圆台、两个圆锥构成 B.两个圆台、一个圆锥构成 C.两个圆柱、一个圆锥构成 D.一个圆柱、两个圆锥构成 解析:应由两个圆锥、一个圆柱构成. 答案:D 4.下列组合体是由哪些几何体组成的?

)

-5-

解:(1)由两个几何体组合而成,分别为球、圆柱. (2)由三个几何体组合而成,分别为圆柱、圆台、圆柱. (3)由三个几何体组合而成,分别为圆锥、圆柱、圆台.

1.对于圆柱、圆锥、圆台、球中要注意轴截面的画法与应用,这些轴截面集中反应了旋转 体的各主要元素. 2.组合体的结构特征有两种组成:(1)是由简单几何体拼接而成;(2)是由简单几何体截去一 部分构成.要仔细观察组合体的组成,柱、锥、台、球是最基本的几何体.

1.右图是由哪个平面图形旋转得到的(

)

解析:图中几何体由圆锥、圆台组合而成,可由 A 中图形绕图中虚线旋转 360° 得到. 答案:A 2.以钝角三角形的较小边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得到的几何体是( A.两个圆锥拼接而成的组合体 B.一个圆台 C.一个圆锥 D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥 解析:如图以 AB 为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥. 答案:D 3.下列命题: ①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;
-6-

)

②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线; ③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线; ④圆柱的任意两条母线相互平行. 其中正确的是( A.①② C.①③ ) B.②③ D.②④

解析:①所取的两点与圆柱的轴 OO′的连线所构成的四边形不一定是矩形,若不是矩形, 则与圆柱母线定义不符. ③所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点,不符合圆台母线的定义. ②④符合圆锥、圆柱母线的定义及性质. 答案:D 4.如图所示的几何体, 关于其结构特征, 下列说法不 正确的是( . A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体 B.该几何体有 12 条棱、6 个顶点 C.该几何体有 8 个面,并且各面均为三角形 D.该几何体有 9 个面,其中一个面是四边形,其余均为三角形 解析:该几何体用平面 ABCD 可分割成两个四棱锥,因此它是这两个四棱锥的组合体,因而 四边形 ABCD 是它的一个截面而不是一个面. 答案:D 5.下列 7 种几何体: )

(1)柱体有________; (2)锥体有________; (3)球有________; (4)棱柱有________; (5)圆柱有________; (6)棱锥有________;
-7-

(7)圆锥有________. 解析:由柱、锥、台及球的结构特点易于分析,柱体有 a、d、e、f;锥体有 b、g;球有 c; 棱柱有 d、e、f;圆柱有 a;棱锥为 g;圆锥为 b. 答案:(1)a、d、e、f (2)b、g (4)d、e、f (5)a (6)g (7)b (3)c

6.已知 ABCD 为等腰梯形,两底边为 AB、CD,且 AB>CD,绕 AB 所在直线旋转一周,所 形成的几何体是由________和________构成的组合体. 解析:本题可先画一个等腰梯形 ABCD,然后以较长底边 AB 旋转,不难得到几何体应为两 个圆锥和一个圆柱所构成的几何体. 答案:两个圆锥 圆柱 7.指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的.

解:分割原图,使它的每一部分都是简单几何体. 图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体. 图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体. 8.如图(1)所示为一几何体的展开图.

(1)沿图(1)中虚线将它们折叠起来,是哪一种几何体?试用文字描述并画出示意图; (2)图(2)可由 3 个图(1)的折叠体组合而成, 请在图(2)中棱长为 6 cm 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中指出这几个几何体的名称. 解:(1)有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥,且垂直于底面的侧棱长等于底面正 方形的边长,如图甲所示.

-8-

(2)如图乙所示, 由四棱锥 A1-CDD1C1,四棱锥 A1-ABCD, 四棱锥 A1-BCC1B1 组合而成.

-9-


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