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第51 讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式(1)


第 51讲
两角和与差及二倍角 的三角函数公式(一)

考纲导视
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、 正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、 余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、 正切公式,了解它们的内在联系. 4.熟练应用公式进行化简、求值、证明.


要点梳理
一. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

(简记为:S? ? ? )


cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? (简记为:C? ? ?

tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? T 1 tan ? ? tan ? (简记为: ? ??



二.二倍角的正弦、余弦和正切公式: Sin2a = 2 sin ? ? cos ? (简记为: S 2? )

2 2 cos2a= cos ? ? sin ? = 2 cos2 ? ? 1= 1 ? 2 sin 2 ?(简记为:C2? )

2 tan ? tan2a= 1 ? tan 2 ?

(简记为:T2?



三.二倍角余弦公式的变式:

1 ? cos 2? 1.降幂公式: cos ? ? 2
2

1 ? cos 2? sin ? ? 2
2

2 1 ? cos 2 ? ? 2cos ? 2.升幂公式:

1 ? cos 2? ? 2sin 2 ?

四.辅助角公式:

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? (其中 ? 角所在的象限由a, b的符号确定, ? 角的值由
b 确定) tan ? ? a

【例1】

5 ? 已知sin ? ? , ? ? ( , ? ) 13 2

,(1)求 sin(? ?

?

), cos(? ? ), tan(? ? ) 4 6 3

?

?

的值;(2)求 sin 2? , cos 2? , tan 2? 的值。
【解析】

5 ? 12 tan ? ? ? 5 sin ? ? , ? ? ( , ? ) cos ? ? ? , 12 13 2 13 ? ? ? (1) sin(? ? ) ? sin ? cos ? cos ? sin 4 4 4 5 2 12 2 7 2 ? ? ? ? ?? 13 2 13 2 26

co s(? ? ) ? co s ? cos ? sin ? sin 6 6 6 ?? 12 3 5 1 5 ? 12 3 ? ? ? ? 13 2 13 2 26
?
tan ? ? tan

?

?

?

?

3 tan(? ? ) ? 3 1 ? tan ? tan ? 3 5 ? ? 3 169 3 ? 240 ? 12 ? 69 5 3 1? 12

(2)

sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? ?

60 119 sin 2? 60 , cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? , tan 2? ? ?? 169 169 cos 2? 119

【例2】已知 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 且0 ? ? ? ? ? ? ? ?
sin(

?
2

?? )?

2 ?? 1 ? ,cos ? a ? ? ? ,求cos( ? ? ? ) 的值。 3 2? 9 ?

2

2

【解析】

? ? ?? ? ? ? ?? 拆角:? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2? ?2 2 ? ?


?

2

? ? ? ?,0 ? ? ?

?

2

?

?

4

?? ?

?
2

? ?,?

?
4

?

?
2

?? ?

?
2

?? ?? 4 5 5 ? ? ?? ? ?? ? sin ? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? ? ? , cos ? ? ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? ? ? 2? 2? 9 ? ? ?2 ? ?2 ? 3

? cos

? ??
2

? ? ?? ? ? ? cos[? ? ? ? ? ? ? ? ?] 2? ?2 ? ?

? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? 7 5 ? cos ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? 2? 2? ?2 ? ?2 ? ? ? 27

? cos ?? ? ? ? ? 2 cos

2

? ??
2

239 ?1 ? ? 729

【例3】计算:tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 tan 40 .
【解析】

tan ? ? tan ? 将公式变形 tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? ? tan ?

tan? ? tan? ? tan( ? ? ? )(1 ? tan? tan? )
tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 tan 40
? tan600 (1--tan200 tan400 ) ? 3 tan 20 tan 40

=

3

(09茂名市模拟)已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx(x∈R) 【例4】

3π (Ⅰ)求f( )的值; 8 (Ⅱ)求f(x)的单调递增区间.

【解析】

1 ? cos 2 x 1 f ( x) ? ? sin 2 x 2 2

2 2 2 1 ? ( sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 2 2 2 2 ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 2 4 2

3? 2 1 1 )? sin ? ? ? 8 2 2 2 ? ? ? (II)令2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z 2 4 2 3? ? ? 2k? ? ? 2 x ? 2k? ? , k ? Z 4 4 3? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 时,f(x)单调递增. 即 k? ? 8 8 3? 3? ∴f(x)单调递增区间为[ k? ? , k? ? ] (k ? Z ) 8 8 (I) f (

π? ? 1 ? 2 cos ? 2 x ? ? 4? ? f ( x ) ? 【例5】 (07重庆文)已知函数 π? ? sin ? x ? ? 2? ? (Ⅰ)求 f ( x) 的定义域; 3 (Ⅱ)若角a在第一象限且 cos ? ? ,求 f (? )

5

【解析】

π 即 x ? kπ ? ( k ? Z ) 2

f ( x)

π? ? (Ⅰ) 由 sin ? x ? ? ? 0 2? ?



π x ? ? ? kπ, 2

π ? ? 的定义域为 ? x ? R | x ? kπ ? ,k ? Z ? 2 ? ?

4 ?3? 2 (Ⅱ)由已知条件得 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? 5 ?5?
1? f (? ) ? π? ? 2 cos ? 2? ? ? 4? ? π? ? sin ? ? ? ? 2? ?

2

π π? ? 1 ? 2 ? cos 2? cos ? sin 2? sin ? 4 4? ? ? cos ? 1 ? cos 2? ? sin 2? 2cos 2 ? ? 2sin ? cos ? ? ? cos ? cos ? 14 ? 2(cos ? ? sin ? ) ? 5

本节完


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