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三角函数模型的简单应用


三角函数模型的简单应用 例1.如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? b. (1)求这一天的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式. 解:(1)观察图象可知,这段时间的 最大温差是20? C。 (2)从图中可以看出,从6时到14时的 图象是函数y=Asin(ωx+φ) +b的半个周 期的图象,所以 A ? 1

(30 ? 10) ? 10, b ? 1 (30 ? 10) ? 20, 1 2? ? ? ? 14 ? 6 2 ? 2 ?? ? ? 2 8 因为点(6,10)是五点法作图中的第四点,故 3? 3? , 解得? ? 2 4 8 y ? 10sin( ? x ? 3? ) ? 20,x ? [6,14] 故,所求函数解析式为 8 4 ?6 ?? ? ? 例2.画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期。 解:函数图象如下: y y ?| sin x | 1 ??? ? ?? ? ??? ? ?? ? ?? ? ? ? -1 ? ? ? ?? ? ?? ?? ? ?? x 观察图象可知,函数y=|sinx|的的周期是π。 例3.如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ ,δ 为此时太 阳直射纬度, ? 为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是 θ =90?-| ? - δ |.当地夏半年δ 取正值,冬半年δ 取负值. ? ?? ? ? ? 太阳光 如果在北京地区(纬度数约为北纬40? )的一幢高为H的楼房 北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮 挡,两楼的距离不应小于多少? 解:如图,A、B、C分别太阳 直射北回归线、赤道、南回归 线时,楼顶在地面上的投影点, 要使新楼一层正午的太阳全年 H 不被前面的楼房遮挡,应取太 阳直射南回归线的情况考虑, 此时的太阳直射纬度为-23? 26',依题意两楼的间距应不小于MC. 根据太阳高度角的定义,有∠C=90? -|40? -(-23? 26')|=26? 34' 所以, H H MC ? ? ? 2.000 H ? ' tan C tan 26 34 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高 两倍的间距。 例4.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮, 一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进 航道,靠近船坞;卸货后,在落潮时返回海洋,下面是某港口 在某季节每天的时间与水深的关系表: 时刻 水深(米) 时刻 水深(米) 时刻 水深(米) 0:00 3:00 6:00 5.0 7.5 5.0 9:00 12:00 15:00 2.5 5.0 7.5 18:00 21:00 24:00 5.0 2.5 5.0 (1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系, 并给出整点时的水深的近似数值。(精确到0.001) (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例 规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能 进入港口?在港口能呆多久? (3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始 卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必 须停止卸货,将船驶向较深的水域? 解: (1)以时间为横坐标,水深为纵坐标, 在直角坐标系中画出散点图,根据图象, 可以考虑用函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? h 来

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