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江苏省扬州中学2012-2013学年高二上学期期中考试数学试卷


江苏省扬州中学 2012—2013 学年度第一学期期中考试

高 二 数 学 试 卷
(注:本试卷满分 160 分,考试时间 120 分钟,请将答案写在答题纸上) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分)
a b 1. 命题“若 a ? b ,则 2 ? 2 ”的否命题为

2012 年 11 月

. .

2.若“ x 2 ? 1 ”是“ x ? a ”的必要不充分条件,则 a 的最大值为 3.已知直线 l 的斜率为 ? 3 ,则其倾斜角为 4.椭圆 3x2 ? 4 y 2 ? 12 的焦距为 . . . .

5.经过点 (?2,3) 且与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 平行的直线方程是 6.当 a ? b ? c ? 0 时,直线 ax ? by ? c ? 0 必过定点

7 . 已 知 点 (1, 2) 和 (1,1) 在 直 线 3x ? y ? m ? 0 的 两 侧 , 则 实 数 m 的 取 值 范 若 围 是 . . .

8.以点 (2, ?1) 为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程为 9. 直线 x ? 2 y ? 0 被圆 ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 25 截得的弦长为等于

10 . 已 知 F1 , F2 为 椭 圆 为 .
2 2

x2 ? y 2 ? 1 的 左 右 焦 点 , 弦 AB 过 F1 , 则 ?F2 AB 的 周 长 4

x2 y 2 11.已知圆 ( x ? 2) ? y ? 1经过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点和一个焦点,则此 a b
椭圆的离心率 e ?
2



12 .抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上的点 M (4, y) 到焦点 F 的距离为 5 , O 为坐标原点,则

?OFM 的面积为
13.若实数 x, y 满足 ?



?x ? y ?1 ? 0 y ,则 的取值范围是 x ?x ? 0



x2 y 2 14.过椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一点 B , a b
且点 B 在 x 轴上的射影为右焦点 F ,若 是 .

1 1 ? k ? ,则椭圆的离心率 e 的取值范围 3 2

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分 15. (本题满分 14 分)已知命题 p : a ? 5a ? 0 ;命题 q : 关于 x 的方程 x ? ax ? 4 ? 0 在实 数集内没有解;若 p 和 q 都是真命题,求 a 的取值范围.
2 2

16. (本题满分 14 分)已知三点 P(5, 2) 、 F1 (-6,0) 、 F2 (6,0). (Ⅰ)求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (Ⅱ)设点 P、 F1 、 F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P? 、 F1' 、 F2' ,求以 F1' 、 F2' 为焦点 且过点 P? 的双曲线的标准方程. 17. (本题满分 15 分)已知点 A?3,2? ,直线 l1 : x ? 2 y ? 3 ? 0 .求: (1)过点 A 与 l1 垂直的直线方程; (2)求过点 A 的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积的最小值及此时的直线方 程. 18. (本题满分 15 分)投资生产 A 产品时,每生产 100t 需要奖金 200 万元,需场地 200m2, 可获利润 300 万元;投资生产 B 产品时,每生产 100m 需要资金 300 万元,需场地 100m2, 可获利润 200 万元,现某单位可使用资金 1400 万元,场地 900 m2,问:应作怎样的组合投 资,可使获利最大? 19. (本题满分 16 分)如图,圆弧 BCD 的圆心 P 在 y 轴上,直线 AB 切圆弧于点 B,若 A(-3,0) , C(0, 2+1) ,D(1,0). (1)求曲线 ABCD 的方程; (2)求曲线 ABCD 和 x 轴围成的图形面积.

20. (本题满分 16 分)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,过点 P(1,1) 8 4

作直线 l 与椭圆交于 M , N 两点. ⑴若点 P 平分线段 MN ,试求直线 l 的方程; ⑵设与满足⑴中条件的直线 l 平行的直线与椭圆交于 A, B 两点, AP 与椭圆交于点 C ,

BP 与椭圆交于点 D ,求证: CD ∥ AB
命题、校对、审核:章轶群、樊蓉

高二数学期中试卷答题纸
?????题?????? 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1. 2. 3. 成绩

2012.11

4. 7. 10. 13.

5. 8. 11. 14.

6. 9. 12.

三、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分) 15.解:



16.解:

17.解:

18.解:

请将 19、20 题做在反面

高二数学期中试卷答案
a b 1. 若 a ? b , 则2 ? 2

2.-1

3.

2 ? 3 25 2

4 .2

5. 2 x ? y ? 1 ? 0

6. (1,1)

7.

(?2, ?1)

8. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

9. 4 5

10. 811.

1 3

12.2

13. (1, ??)

14. ( , )

1 2 2 3

2 15. 解:? a ? 5a ? 0 ,? a ? 5 或 a ? 0 .故命题 p 为真命题时, a ? 5 或 a ? 0 .又命题 q: 2 2 方程 x ? ax ? 4 ? 0 在实数集内没解,?? ? a ? 16 ? 0 , ??4 ? a ? 4 .故命题 q 为真命题 时 ?4 ? a ? 4 .

?{a | a ? 5或a ? 0} ?{a | -4<a ? 4} = {a | -4<a ? 0} . a 的取值范围是 -4<a ? 0 。

16.解: (1)由题意,可设所求椭圆的标准方程为 2a=|PF1|+|PF2|= ∴a=3 + = .

(a>b>0),其半焦距 c=6.

,b2=a2-c2=45-36=9.

∴所求椭圆的标准方程为

.

(2)点 P(5,2) 、F1(-6,0) 、F2(6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为 P′(2,5)、F1′(0,-6) 、 F2′(0,6). 设所求双曲线的标准方程为

(a1>0,b1>0). 由题意知,半焦距 c1=6, 2a1=||P′F1′|-|P′F2′||=| ∴a1= |= .

,b12=c12-a12=36-20=16.

∴所求双曲线的标准方程为

.

1 17.解: (1)直线 l1 的斜率为 ? , 所以所求直线的斜率为 2. 2

所以所求直线方程为: y ? 2 ? 2?x ? 3? ,即 2 x ? y ? 4 ? 0 .
? ? (2)设过 A 点的直线方程为: y ? 2 ? k ?x ? 3?,则与 x 轴正半轴交点的坐标为 ? 3 ? ,0 ?, 与 y 轴正 ? 2 k ?

半轴交点的坐标为 ?0,2 ? 3k ? .
? 2 ?3 ? ? 0, 根据题意有 ? k 解得 k ? 0 . ?2 ? 3k ? 0 ?

此时,所求三角形的面积为:

1 2 1 ? 4? 3 ? ? 2 ? 3k ? ? ?12 ? 9k ? ? . 2 k 2 ? k?

又 ? 9k ?

4 ? 4? ? 2 ?? 9k ?? ? ? ? ? 12 . k ? k?
1 ? 2 ? 4? k?

所以三角形面积的最小值为: ? ?12 ? 9k ? ? =12. 此时 ?
4 2 ? ?9k即k ? ? .此时直线的方程为: 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 . k 3

18.解:设生产 A 产品 x 百吨,生产 B 产品 y 百米,利润为 S 百万元,则约束条件为

?2 x ? 3 y ? 14, ?2 x ? y ? 9, ? 目标函数为 S ? 3x ? 2 y ? ? x ? 0, ? ? y ? 0.
作出可行域(如图) , 将 目 标 函 数 S ? 3x ? 2 y 变 形 为

3 S 3 S y ? ? x ? ,这是斜率为 ? ,随 S 变化的一族直线, 是 2 2 2 2 S 直线在 y 轴上的截距,当 最大时 S 最大,但直线要与可行域相交。 2
由如图知,使 3x ? 2 y 取得最大值的 ( x, y ) 是两直线 2 x ? y ? 9 与 2 x ? 3 y ? 14 的交点

(3.25,2.5) ,此时 S ? 3 ? 3.25 ? 2 ? 2.5 ? 14.75 ,
答:生产 A 产品 325t,生产 B 产品 250m 时,获利最大,且最大利润为 1475 万元。 19. (1)设圆的方程为:x2 +(y-b)2=r2,将 C、D 的坐标代入,得 ( 2+1-b)2=1+ b2,解得 b=1,r2=2, 所以圆的方程为 x2 +(y-1)2=2. 又设 lAB:y=k(x+3) ,则 1 或 k=- (舍去) , 7 ∴lAB:x- y +3=0. lPB:x +y- 1=0,所以得点 B(- 1,2). 所以曲线 ABCD 的方程为: x- y +3=0(-3≤x≤- 1)及 x2 +(y-1)2=2(-1<x≤ 2且 0≤y≤ 2+1). (2)∵kPB= kPD =- 1,∴B、P、D 三点共线,即BCD为半圆, 1 ∴曲线 ABCD 和 x 轴围成的图形面积= × 4× 2+π= 4+π. 2 解:⑴ M ( xM , yM ), N ( x N , y N ) ,则有 xM ? x N ? 2, y M ? y N ? 2 |3k?1| = 2,k2-6k-1=0,k=1 k2+1



2 xM y2 ? M ?1 8 4



2 xN y2 ? N ?1 8 4



①-②得

2 2 2 xM ? xN y 2 ? yN ? M ? 0, 8 4



( x M ? x N )(x M ? x N ) ( y M ? y N )( y M ? y N ) y ? yN 1 ? ? 0 ,得 M ?? 8 4 xM ? x N 2
1 ( x ? 1) ,即 x ? 2 y ? 3 ? 0 2

故直线 l 的方程为 y ? 1 ? ?

⑵设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ) ,且 AP ? ?1 PC , BP ? ?2 PD 则有 1 ? x1 ? ?1 ( x3 ? 1),1 ? y1 ? ?1 ( y3 ? 1) ,即 x3 ? 将点 A, C 的坐标分别代入椭圆方程:

1 ? ?`1 ? x1

?1

, y3 ?

1 ? ?1 ? y1

?1

x12 y12 ? ?1 8 4
2 ②× ?1 ? ①得



(1 ? ?1 ? x1 ) 2 (1 ? ?1 ? y1 ) 2 ? ?1 2 2 8?1 4?1



(1 ? ?1 )(1 ? ?1 ? 2 x1 ) (1 ? ?1 )(1 ? ?1 ? 2 y1 ) 2 ? ? ?1 ?1 8 4 1 ? ?1 ? 2 x1 1 ? ?1 ? 2 y1 ? ? ?1 ? 1 8 4
④ ③

易知 ?1 ? 0 ,故约去 1 ? ?1 得

同理有

1 ? ?2 ? 2 x 2 1 ? ?2 ? 2 y 2 ? ? ?2 ? 1 8 4

由④-③得

?2 ? ?1 ? 2( x1 ? x 2 )
8

?

?2 ? ?1 ? 2( y1 ? y 2 )
4

? ?2 ? ?1

由已知 AB 斜率为 ?

2( x1 ? x2 ) 2( y1 ? y 2 ) 1 ? 0, ? ,有 2 8 4
5 ? ?2 ? ?1 ,即 (?2 ? ?1 ) ? 0 ,即 ?1 ? ?2 ,所以 CD ∥ AB 8



?2 ? ?1
8

?

?2 ? ?1
4

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