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权威教学高中数学竞赛辅导课件(八)——三角函数(一)2


竞赛辅导─三角函数( 竞赛辅导─三角函数(一) 三角函数的性质及应用 三角函数的性质及应用
引入 反三角函数 思考1 思考 知识要点 思考2 思考

课外思考 P

竞赛辅导─三角函数( 竞赛辅导─三角函数(一)
三角函数与反三角函数, 三角函数与反三角函数,是五种基本初等函数中 的 两种 , 在 现代 科学 的 很多

领域 中 有 着广 泛的 应 同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一. 用.同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一. 第一讲─三角函数的性质及应用 第一讲─ 三角函数的性质大体包括:定义域、值域、 三角函数的性质大体包括:定义域、值域、奇偶 周期性、 单调性、 最值等 这里以单调性为最难. 这里以单调性为最难. 性、 周期性、 单调性、 最值等. 它 们在平面几何、立体几何、解析几何、 们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中 均有广泛的应用

第一讲─ 第一讲─三角函数的性质及应用 三角函数的性质的基本知识见 教程》 《 三角函数的性质的基本知识见 教程》P183 ,自学 课本例 1、例 2、例 5、例 6.
你知道反三角函数吗? 你知道反三角函数吗? 注意:三角函数在其定义域上是没有反函数的. 注意:三角函数在其定义域上是没有反函数的. 不是一一映射,同一个三角函数值会对应许多角) (∵不是一一映射,同一个三角函数值会对应许多角)
但是人们需要解决已知三角函数值 但是人们需要解决已知三角函数值求未知角的问题 已知三角函数 为了更好解决此类问题而定义了反三角函数: 为了更好解决此类问题而定义了反三角函数: ? π π? 如:⑴反正弦函数 y = arcsin x ( x ∈ [ ?1,1]) ,值域为 ? ? , ? ? 2 2? π π? ? 的反函数. 它是函数 y = sin x ( x ∈ ? ? , ? ) 的反函数. ? 2 2? 这里的“ 是一个角的符号. 这里的“ arc sin a ”是一个角的符号.

? π π? ⑴反正弦函数 y = arcsin x ( x ∈ [ ?1,1]) ,值域为 ? ? , ? ? 2 2? ? π π? 的反函数. 它是函数 y = sin x ( x ∈ ? ? , ? ) 的反函数. ? 2 2? 这里的“ arc sin a ”是一个角的符号. 这里的“ 是一个角的符号.

? π π? 这个角“ arc sin a ”落在 ?? , ? 上,且 sin(arc sin a) = a 这个角“ ? 2 2?

? π π? 反过来,如果角 反过来,如果角 x ∈ ? ? , ? ,且 sin x = a ,则 arc sin a = x ? 2 2? ? π π? 即 arc sin(sin x ) = x ( x ∈ ? ? , ? ) ? 2 2?

类似地,还可定义:⑵反余弦函数 ⑶反正切函数 类似地,还可定义: 正切函数

你认为应怎样定义? 你认为应怎样定义?
反余弦 反正切

⑵反余弦函数 y = arc cos x ( x ∈ [ ?1,1]) ,值域为 [ 0, π ] 的反函数. 它是函数 y = cos x ( x ∈ [ 0, π ]) 的反函数.

因为这个区间是最简单的,且每一个余弦值都对应一个 因为这个区间是最简单的 且每一个余弦值都对应一个 角在这个区间,且是余弦函数的一个单调区间 且是余弦函数的一个单调区间. 角在这个区间 且是余弦函数的一个单调区间

这里的“ 是一个角的符号. 这里的“ arc cos a ”也是一个角的符号.

这个角“ 这个角“ arc cos a ”落在 [ 0, π ] 上,且 cos(arc cos a ) = a 反过来,如果角 反过来,如果角 x ∈ [ 0, π ] ,且 cos x = a ,则 arc cos a = x 即 arc cos(cos x ) = x ( x ∈ [ 0, π ])

你认为又应怎样定义反正切呢 你认为又应怎样定义反正切呢? 反正切

⑶反正切函数 y = arc tan x ( x ∈ R ) ,值域为 ( ? 反正切

π π

它是函数 y = tan x ( x ∈ ( ?

, )) 的反函数. 的反函数. 2 2 这里的“ 是一个角的符号. 这里的“ arc tan a ”也是一个角的符号.

π π

, ) 2 2

这个角“ 这个角“ arc tan a ”落在 ( ? 反过来,如果角 反过来,如果角 x ∈ ( ?

π π

, ) 上,且 tan(arc tan a ) = a 2 2

π π

, ) ,且 tan x = a ,则 arc tan a = x 2 2

, )) 2 2 ⑷反余切函数 y = arc cot x ( x ∈ R ) ,值域为 (0, π )

即 arc tan(tan x ) = x ( x ∈ ( ?

π π

的反函数. 它是函数 y = cot x ( x ∈ (0, π )) 的反函数.

思考 1.
1 2 1)函数 的值域是( ⑴(教程 P204 例 1)函数 y = arc cos( ? x ) 的值域是(D ) 2 ? π π? ? π π? ?π ? ?π ? (A) ? ? , ? (B) ? ? , ? (C) ? , π ? (D) ? , π ? ? 2 6? ? 2 3? ?6 ? ?3 ?

1 2)设 ⑵(教程 P204 例 2)设 f ( x ) = x ? π x , α = arc sin , 3 5 1 5 β = arc tan , γ = arc cos( ? ) , δ = arccot( ? ) ,则(B ) 4 3 4 (A) f (α ) > f (β ) > f (δ ) > f (γ ) (B) f (α) > f (δ ) > f (β) > f (γ ) (C) f (δ ) > f (α ) > f (β ) > f (γ ) (D) f (δ ) > f (α) > f (γ ) > f (β)
2

练习1 练习

练习 1. 1)已知 等于( ⑴(教程 P209 训练 1)已知 θ ( , ) ,则 arc cos(sinθ ) 等于( ) C 2 2 3π π π (A) ? θ (B) π ? θ (C) θ ? (D) ?θ 2 2 2 1 的值域为( ⑵(教程 P210 训练 2)设 f ( x) = arc tan x + arc sin x 的值域为( ) 2 3π 3π ? 3π π ? ? π π? (A) (?π , π ) (B) ?? , ? (C) (? , ) (D) ?? , ? 4 4 ? 4 4? ? 2 2? ⑶(教程 P211 训练 9)

π 3π

D

若 arc sin(sin α + sin β ) + arc sin(sin α ? sin β ) = 的值是______. 则 sin 2 α + sin 2 β 的值是______.

π
2

,

1 2

大小. 思考 2:设 x ∈ [ 0, π ] ,试比较 cos(sin x ) 与 sin(cos x ) 大小.
分析:分析比较对象的结构, 分析:分析比较对象的结构,没有现成的结论可资利 可以考虑“特值探究” 中间传递” 结构变形” “中间传递 “ “结构变形 用,可以考虑“特值探究” 中间传递” 结构变形”等 “ 方法尝试解决该问题. 方法尝试解决该问题. π 取特殊值 x = 0, , π ,易得 cos(sin x ) > sin(cos x ) 2 尝试证明: 尝试证明: cos(sin x ) > sin(cos x )

思考 3:求函数 y = 2sin(

π
3

? 2 x ) 的单调增区间. .

法一: 法一:利用复合函数的规律
利用导数 导数来 法二:利用导数来判断
思考3法一 思考 法一 练习2 练习

3:求函数 思考 3:求函数 y = 2sin( 解:∵ y = 2sin(

π
3

的单调增区间. ? 2 x ) 的单调增区间.

π
3

? 2 x)

3π (k ∈ Z ) 由 2kπ + ≤ ? 2 x ≤ 2kπ + 2 3 2 7π (k ∈ Z ) 即 2 kπ + ≤ ? 2 x ≤ 2 kπ + 6 6 7π π ≤ x ≤ - kπ ? ( k ∈ Z ) 得 ? kπ ? 12 12

π

π

π

7π π? ? , kπ ? ? ( k ∈ Z ) . ∴原函数的单调增区间为 ? kπ ? 12 12 ? ?

练习 2 类似教程 ⑴(类似教程 P189 训练 3)
3 ? sin x 函数 y = 的最小值是( 的最小值是( 1 + cos x 4 (A)1 (B)4 (A)1 (B)4 (C) 3

C)
4 (D) ? 3

⑵ 函 数 y = (sin x + 1)(cos x + 1) ( ?

π

6)函数 ⑶(教程 P189 训练 6)函数 f ( x ) = sin(2 x + ? ) 的图象的一 条对称轴为直线 x =

2+ 3 值是______. 值是______. 4

≤ x≤ ) 的最小 6 2

π

π
8

,且 ? ∈ (0, π ) ,则 ? =_____. 4

π


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