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35正弦定理和余弦定理导学案


正弦定理和余弦定理导学案
班级: 姓名: 学号: 一、教学目标: 1.掌握正弦定理、余弦定理. 2.能应用正弦定理、余弦定理解决三角形中有关问题. 二、知识要点 1、正弦定理:三角形各边和它的对角的正弦值之比相等, 即: = = = 2R ,其中 R 为 2、正弦定理常见的几个变形:① a ? ,b ? ,c ? ② sin A ? , sin B ? , sinC ?

③ a:b:c ? 3、余弦定理:三角形任何一边的平方等于其它两边的平方减去这两比和它们夹角 余弦的积的 2 倍,即: ①a ?
2

, cos A ? , cos B ? , cosC ? = =

②b ?
2

③c ?
2

4、三角形面积公式: S ? 三、基础训练 1.在 ?ABC 中,若 b ? 5 , B ?

?
4

, sin A ?

1 ,则 a ? 3

. . .

2.已知锐角三角形 ABC 的面积为 3 3 , BC ? 4 , CA ? 3 ,则 C ? 3.在 ?ABC 中, B ? 120 , AC ? 7 , AB ? 5 ,则 ?ABC 的面积为
o o

?

4.在 ? ABC 中,角 A, B, C 对边分别为 a, b, c ,已知 A ? 75 , B ? 45 , c ? 3 2 , 则a= ,b = .

5. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a, b, c 成等比数列,且 c ? 2a ,则 cos B ? 6.在 ?ABC 中, sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是
2 2 2
2 2 2 2



7. 在 ?ABC 中 a, b, c 分别为角 A, B, C 对边,若 (a ? b )sin( A ? B) ? (a ? b )sin( A ? B) 则 ?ABC 形状为 . 四、例题精讲 例 1.已知下列三角形中两边及其一边对角,先判断三角形是否有解?有解的作出解答. ① a ? 7, b ? 8, A ? 105 ;
o

② a ? 2 3, b ? 6, A ? 30 .
o

1

例 2.已知 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a, b, c 成等差数列,且

2cos 2B ? 8cos B ? 5 ? 0 ,求角 B 的大小并判断 ?ABC 的形状.

例 3.设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a ? 2 3, c ? 4 ,且 1 ? 求 ?ABC 的面积 S

tan A 2c ? , tan B b

例 4.设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 B ? 45 , b ? 10, cos C ?
o

2 5 . 5

(1)求 a 的长; (2)若 D 是 AB 中点,求中线 CD 的长.

2

正弦定理和余弦定理课后作业
1.已知 ?ABC 中, a ? 1 , b ? 2 , B ? 45 ,则角 A ? 2.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若
?



?

3b ? c cos A ? a cos C ,则 cos A ?
. .

?



3.在 ?ABC 中,若 c ? 4 , b ? 7 , BC 边上的中线 AD 的长为 3.5 ,则 a ? 4.在 ?ABC 中,若 A ? 60 ,边 AB 的长为 2, ?ABC 的面积为
?

3 ,则边 BC 的长为 2


5.在 ?ABC 中, b ? 2, c ? 3 ,且 sin A ? cos A ?

2 ,则 ?ABC 的面积为 2

6.已知 ?ABC 中,三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 ?ABC 的面积为 S ,且 2S ? (a ? b)2 ? c2 , 则 tan C 的值为 . 7.已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2,BC=6,CD=DA=4, 求四边形 ABCD 的面积

8.在 ?ABC 中,三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 A ? (1)求证: B ? C ?

?
4

, b sin(

?

?
2

? C ) ? c sin( ? B) ? a . 4 4

?

; (2)若 a ? 2 ,求 ?ABC 的面积

3

9.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边为 a, b, c . (1)若 sin ? A ?

? ?

??

1 ? ? 2cos A ,求角 A 的值; (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 6? 3

10.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a ? 2, c ? (1)求 sin C 和 b 的值; (2)求 cos(2 A ?

2, cos A ? ?

2 . 4

?
3

) 的值

11.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a ? b ? 5 , c ? 7 ,

A? B 7 ? cos 2C ? . 2 2 (1)求角 C 的大小; (2)求 ?ABC 的面积.
且 4sin
2

4


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