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2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则


?

2010 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则 一
一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1.已知数列{an}、{bn}满足an =2
EA



2n+3 5
A A

E A

1 ,bn = n log 2 (a1

a2a3 …an),n∈N*,则数列{bn}的通项公式
A A E


A A



n+4 答案:bn= 5 ,n∈N*
E

简解:由an=2
A EA A A A

2n+3 5
A EA

,得a1a2a3…an=2
A EA A A A

2(1+2+…+n)+3n 5
A E EA

n(n+4)

=2
A EA

5
A E

EA

,n∈N*.

1 n(n+4) n+4 所以bn=n× 5 = 5 ,n∈N*.
E E E

2.已知两点 M(0,2)、N(-3,6)到直线 l 的距离分别为 1 和 4,则满足条件的直线 l 的条数 是 . 答案:3 简解:易得 MN=5,以点 M 为圆心,半径 1 为的圆与以点 N 为圆心,半径为 4 的圆外切,故满 足条件的直线 l 有 3 条. 3.设函数 f(x)=ax2+x.已知 f(3)<f(4),且当 n≥8,n∈N*时,f(n)>f(n+1)恒成立,则实数 a 的 取值范围是 . 1 1 答案:(-7,-17)
A A A A E E

简解:(方法一) 因为当 n≥8 时,f(n)>f(n+1)恒成立,所以 a<0,此时 f(n)>f(n+1)恒 1 成立等价于f(8)>f(9),即 64a+8>81a+9,解得a<-17.
A A E

1 1 1 因为f(3)<f(4),所以 9a+3<16a+4,解得a>-7.即a∈(-7,-17).
A A A A A A E E E

(方法二)考察二次函数 f(x)=ax2+x 的对称轴和开口方向. 1 17 1 因为当n≥8 时,f(n)>f(n+1)恒成立,所以a<0,且-2a< 2 ,解得a<-17.
A A A A A A E E E

1 7 1 1 1 因为f(3)<f(4),所以-2a>2,解得a>-7.即a∈(-7,-17).
A A A A A A A A A A E E E E E

4.已知 ABCD-A1B1C1D1 是边长为 3 的正方体, 点 P、Q、R 分别是棱 AB、AD、AA1 上的 点,AP=AQ=AR=1,则四面体 C1PQR 的 体积为 . 4 答案:3
A E

C1 D1 A1

B1

R C P D A Q (第 4 题) B

简解:因为 C1C⊥面 ABCD,所以 C1C⊥BD. 又因为 AC⊥BD, 所以 BD⊥面 ACC1,所以 AC1⊥BD. 又 PQ∥BD,所以 AC1⊥PQ. 同理 AC1⊥QR.所以 AC1⊥面 PQR.

?

因为AP=AQ=AR=1,所以PQ=QR=RP= 2. 1 1 1 因为AC1=3 3,且VA-PQR =3·2·12·1=6,所以 1 3 4 VC1-PQR =3· 4 ·( 2)2·3 3-VA-PQR =3.
A EA A EA A A A A A A E E E A A A A EA A A EA A EA A A E E E

5.数列 {an } 满足 a1 = 2, an +1 = 答案:-6

1 + an , n ∈ N*.记 Tn=a1a2…an,则 T2010 等于 1 ? an



1 1 简解:易得:a1=2,a2=-3,a3=-2,a4=3,a1a2 a3a4=1.
A A A A E E

又 a5=2=a1,由归纳法易知 an+4=an,n∈N*. 所以 T2010=T2008×a2009×a2010=a1a2=-6. 6.骰子是一个立方体, 6 个面上分别刻有 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 点. 现有质地均匀的 骰子 10 只. 一次掷 4 只、 3 只骰子,分别得出各只骰子正面朝上的点数之和为 6 的 概率的比为 .

答案:1:6. 提示:掷 3 只骰子,掷出 6 点的情况为 1,1,4;1,2,3;2,2,2. 共 3+3!+1=10 种,
10 63 .
2

概率为

掷 4 只骰子,掷出 6 点的情况为 1,1,1,3;1,1,2,2. 共 4+ C4 =10 种,概率
10 64 . 10 10 63 : 64 =



所以概率的比为

1:6 .

7 7.在△ABC中,已知BC=5,AC=4,cos(A-B)=8,
A A E

则 cosC= 11 答案:16
A A E



A

简解:因 BC > AC ,故 ∠A > ∠B . 如图,作 AD, 使∠BAD=∠B,则∠DAC=∠A-∠B. 设 AD=BD=x,则 DC=5-x.在△ADC 中, 11 由余弦定理得x=3.再由余弦定理得cosC=16.
A A E

B

D (第 7 题)

C

8.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y =2x 的焦点为 F. 设 M 是抛物线上的动点,则 MO MF 的最大值为
A A E

2



2 3 答案: 3
A A EA A E

?

x2+y2 4x2+8x 4x-1 MO 简解:设点M(x,y),则( MF )2= = 2 1 2 4x +4x+1=1+4x2+4x+1. (x+2)
A A EA A A A A A E E E A A E

令 4x-1=t, MO 当t≤0 时,显然 MF ≤1.
A A E

MO 4 1 4 当t>0 时,则( MF )2=1+ 9≤1+3=3,且当t=3,即x=1 时,等号成立. t+6+ t
A A EA A A A A A E E E A AE

MO 2 3 所以 MF 的最大值为 3 ,此时点M的坐标为(1,± 2).
A A A A EA A A EA E E

二、解答题(本题满分 16 分) 如图,点 P 是半圆 C:x2+y2=1(y≥0)上位于 x 轴上方的任意一点,A、B 是直径的两个端点, 以 AB 为一边作正方形 ABCD,PC 交 AB 于 E,PD y 交 AB 于 F,求证:BE,EF,FA 成等比数列. P 证明:设 P(cosα,sinα),C(-1,-2),D(1,-2), E(x1,0),F(x2,0). 因为点P、E、C三点共线,所以
A

B

O E F

A x

sinα+2 2 = , cosα+1 x1+1
A A A E E

2(cosα+1) 所以x1= -1. sinα+2
A A E

………………5 分 C
A A A A E E

D

sinα+2 2 由点P、F、D三点共线,所以 = , cosα-1 x2-1 2(cosα-1) 所以x2= +1. sinα+2
A A E A A A A A

………………10 分

2(cosα+1) 2(cosα-1) 2sinα 所以BE=x1+1= ,EF=x2-x1= ,FA= . sinα+2 sinα+2 sinα+2
A E E E

所以BE·FA=
A

2(cosα+1) 2(cosα-1) 4sin2α × = =EF2. (sinα+2)2 sinα+2 sinα+2
A A A A A E E E

即 BE,EF,FA 成等比数列. 三、解答题(本题满分 20 分) 设实数 a , m 满足 a ≤ 1 , 0 < m ≤ 2 3 ,函数 f ( x ) =

………………16 分

amx ? mx 2 a + a (1 ? a ) m 2
2



x ∈ ( 0, a ) . 若存在 a , m , x ,使 f ( x ) ≥

3 ,求所有的实数 x 的值. 2

x ma 2 ma 2 ≤ 解答:因为 x ∈ (0, a ) 时, amx ? mx 2 = ?m(a ? )2 + , 2 4 4

?

当且仅当 x = 所以

a 时等号成立, 2 a2 m 3 amx ? mx am 4 ≤ ≤ = 2 2 2 2 2 a + a (1 ? a) m a + a(1 ? a) m 4(1 + (1 ? a) 2 m 2 )
2

……………5 分



am m 3 , ≤ ≤ 4 4 2

……………15 分

当且仅当 x = 故 x =1.

a 及 a = 1 与 m = 2 3 时等号成立. 2

……………20 分

四、解答题(本题满分 20 分) 数列{an}中,已知 a1∈(1,2),an+1=an3-3an2+3an,n∈N*,求证: 1 (a1-a2)( a3-1)+(a2-a3)( a4-1)+…+(an-an+1)( an+2-1)<4.
A A E

证明:(方法一) 由 an+1=an3-3an2+3an,得 an+1-1=(an-1)3. 令 bn=an-1,则 0<b1<1,bn+1=bn3<bn,0<bn<1. 所以 (ak-ak+1)( ak+2-1)=(bk-bk+1)×bk+2
A A E

………………5 分

1 =(bk-bk+1)×bk+13<4(bk-bk+1)×(bk3+bk2bk+1+bkbk+12+bk+13) 1 <4(bk4-bk+14).
A A E

………………15 分

所以 (a1-a2)(a3-1)+(a2-a3)(a4-1)+…+(an-an+1)(an+2-1) 1 1 1 <4(b14-b24)+4(b24-b34)+…+4(bn4-bn+14)
A A A A A A E E E

1 1 1 =4(b14-bn+14)<4b14<4.
A A A A A A E E E

………………20 分

(方法二) 由 an+1=an3-3an2+3an,得 an+1-1=(an-1)3. 令 bn=an-1,则 0<b1<1,bn+1=bn3,0<bn<1. ………………5 分 所以 (a1-a2)( a3-1)+(a2-a3)( a4-1)+…+(an-an+1)( an+2- 1) =(b1-b2) b3+(b2-b3) b4+…+(bn-bn+1) bn+2 =(b1-b2) b23+(b2-b3) b33+…+(bn-bn+1) bn+
1 3
1

<

∫ x dx = 4
3 0

1



………………20 分

?

2010 年全国高中数学联赛江苏赛区 复赛参考答案与评分标准
加 试
设 M 为线段 EF 上一点,

一、 (本题满分 40 分) 圆心为 I 的 ΔABC 的内切圆分别切边 AC、AB 于点 E、F.

证明: ΔMAB 与 ΔMAC 面积相等的充分必要条件是 MI ⊥ BC . A A

Q M F I E F

P M E

I

B (第 1 题)

C

B

D

C

证明:过点 M 作 MP ⊥ AC 、 MQ ⊥ AB ,垂足分别为 P、Q. 圆 I 切边 BC 于点 D, 则 ID ⊥ BC , IF ⊥ AB , IE ⊥ AC . 显然 AF=AE, 所以 ∠AFM = ∠AEM , 从而推知 RtΔQFM ? RtΔPEM , 得

MQ MF = . MP ME 1 MQ ? AB SΔMAB 2 MQ AB MF AB = = ? = ? 又 , 所以 S ΔMAC 1 MP ? AC MP AC ME AC 2 AB ME = ΔMAB 与 ΔMAC 面积相等的充要条件是 . ① AC MF AB ME = 由①可知,问题转化为证明: 的充分必要条件是 MI ⊥ BC . ………10 分 AC MF AB ME = 首先证明:若 MI ⊥ BC ,则 . AC MF 由 MI ⊥ BC 可知点 M 在直线 ID 上. 因为 B、D、I、F 四点共圆,所以 ∠MIF = ∠DBF = ∠B , ∠MIE = ∠ECD = ∠C .
又 IE=IF,则由正弦定理得

MF FI IE ME = = = , sin ∠MIF sin ∠IMF sin(π ? ∠IMF ) sin ∠MIE

?



ME sin C AB sin C AB ME = = = ,而 . 所以 . MF sin B AC sin B AC MF AB ME = ,则 MI ⊥ BC . AC MF
'

……………30 分

其次证明:若

设直线 ID 与 EF 交于点 M ,则由上述证明可知

AB M ' E = ,于是有 AC M ' F
……………40 分

AB M ' E = ' ,从而 M ≡ M ' . 故命题成立. AC M F

二、 (本题满分 40 分) 将凸 n 边形 A1 A2

An 的边与对角线染上红、蓝两色之一,使得没有三边均为蓝色的三角形.

对 k=1, 2,…,n,记 bk 是由顶点 Ak 引出的蓝色边的条数,求证:

b1 + b2 +

n2 + bn ≤ . 2 , bn } ,并且由点 A 向 A1 , A2 , , Ab 引出 b 条蓝色边,则

证明:不妨设 b = max{b1 , b2 ,

A1 , A2 ,

, Ab 之间无蓝色边, A1 , A2 ,

, Ab 以外的 n ? b 个点,每点至多引出 b 条蓝
2

2 ? ( n ? b) + b ? n = . 色边,因此蓝色边总数 ≤ (n ? b)b ≤ ? ? 2 4 ? ?

…………20 分

故 b1 + b2 +

n2 n2 + bn ≤ 2 × = . 命题得证. 4 2

……………40 分

三、 (本题满分 50 分) 设正整数的无穷数列 {an } ( n ∈ N )满足 a4 = 4 , an ? an ?1 an +1 = 1 ( n ≥ 2 ) ,
*

2

求 {an } 的通项公式. 解:由已知得

an a > n ?1 . an +1 an an ?1 ≥ 1 ,则 an > an +1 , an
…………10 分

若有某个 n ,使

?

从而 an ?1 ≥ an > an +1 > an + 2 >

,这显然不可能,因为 {an } (n ∈ N ) 是正整数的
*

无穷数列. 故数列 {an } 中的项是严格递增的. 从而由 a4 = 4 可知, a1 = 1 , a2 = 2 , a3 = 3 . 于是由 {an } 的递推公式及数学归纳法知 an = n (n ∈ N ) .
*
*

…………20 分 …………30 分 …………40 分

显然数列 {n} (n ∈ N ) 满足要求,故所求的正整数无穷数列为 {n} ( n ≥ 1) . …………50 分 四、 (本题满分 50 分) 设 p 是一个素数, p ≡ 3 (mod 4) . 设 x , y 是整数,满足 p | x ? xy +
2

在整数 u , v ,使得 x ? xy +
2

p +1 2 p +1 2 y = p(u 2 ? uv + v ). 4 4
2 2 2

p +1 2 y . 求证:存 4

证明:由条件可知 p | (2 x ? y ) + py ,则 p | (2 x ? y ) . 因 p 是素数,故有 p | 2 x ? y . 设 2x ? y = pk , 则 x ? xy +
2

…………20 分

p +1 2 1 y = ( py 2 + (2 x ? y ) 2 ) 4 4 1 = ((2 x ? pk )2 p + p 2 k 2 ) 4 p = ((2 x ? pk )2 + pk 2 ) …………30 分 4 p = ((2 x ? pk + k ? k )2 + pk 2 ) 4 k ( p ? 1) p = ((2u ? v) 2 + pv 2 ) (这里 u = x ? ,v = k ) 2 4 p = (4u 2 ? 4uv + ( p + 1)v 2 ) 4 p +1 2 = p(u 2 ? uv + v ). 4
…………50 分

命题得证.

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