当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2013届高考数学一轮复习课件:第二十四讲 平面向量的基本定理及坐标表示 人教A版湖北文科


第五模块 平面向量

必修 4:第二章

平面向量

第二十四讲

平面向量的基本定理及坐标表示

名师指导·练基础

名师讲解·练思维

名师纠错·补漏洞

名师技法·练智力

名师作业·练全能<

br />
名师指导· 练基础

回归课本
1.平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个 不共线 向量,那 么对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2, 使 a= λ1e1+λ2e2 . 其中, 不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底.

(2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量,叫做把向量 正交分解.

(3)平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系中, 分别取与 x 轴、 轴方向相同的 y 两个单位向量 e1,e2 作为基底.对于平面内的一个向量 a,有
(a1,a2 且只有一对实数 a1、a2,使 a=a1e1+a2e2.把有序数对______) (a 叫做向量 a 的坐标,记作 a= 1,a2) ,其中 a1

叫a在x

轴上的坐标, a2 叫 a 在 y 轴上的坐标.

→ → ②设OA=a1e1+a2e2, 向量OA的坐标(a1,a2) 就是终点 则
→ A 的坐标,即若OA=(a1,a2),则 A 点坐标为 (a1,a2) ,反 之亦成立(O 是坐标原点). 2.平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算

向 量 坐 标 a b a+b a-b

λa

(x1-x2, (x1+x2, ________ ________ (λx1,λy1) (x1,y1) (x2,y2) y +y ) _______ y1-y2) 1 2 ________ ________

(2)向量坐标的求法 → 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),即 一个向量的坐标等于该向量 终点 的坐标减去 始点 的坐标. (3)平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0,则 a 与 b 共线 ?a= λb ? x1y2-x2y1=0 .

思考感悟 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件能不能 x1 y1 写成 = ? x2 y2 提示 不能.因为 x2,y2 有可能为 0,故应表示成 x1y2 -x2y1=0.

考点陪练
1.下列各组向量中,可以作为基底的是( A.e1=(0,0),e2=(1,-2) B.e1=(-1,2),e2=(5,7) C.e1=(3,5),e2=(6,10)
?1 3? D.e1=(2,-3),e2=?2,-4? ? ?

)

解析 根据基底的定义知,非零且不共线的两个向量才可 以作为平面内的一组基底.A 中显然 e1∥e2;C 中 e2=2e1,所 以 e1∥e2;D 中 e1=4e2,所以 e1∥e2.

答案

B

2.已知 a=(-2,3),b=(1,5),则 3a+b 等于( A.(-5,14) C.(7,4)
解析

)

B.(5,14) D.(5,9)

3a+b=3(-2,3)+(1,5)=(-6,9)+(1,5)=(-5,14).

答案

A

3.设 a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)· c =( ) A.(-15,12) C.-3 B.0 D.-11

解析

a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6),

∴(a+2b)· c=-3.
答案 C

→ → → 4.已知向量OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(m+1, m-2).若点 A,B,C 能构成三角形,则实数 m 应满足的条 件是( ) 1 B.m≠ 2 D.m≠2

A.m≠-2 C.m≠1

解析

→ → 由题意AC=(m,m+1),BC=(m-1,m-1),因

→ → 为 A, C 能构成三角形, B, 所以AC≠λBC, 即有 m(m-1)≠(m -1)(m+1),得到 m≠1,故选 C.
答案 C

5. 已知向量 a=(1, 3), b=(-2,0), 则|a+b|=________.

解析 答案

∵a+b=(-1, 3),∴|a+b|= 1+3=2. 2

名师讲解· 练思维

类型一 解题准备

平面向量基本定理的应用 已知 e1,e2 是平面的一组基底,如果向量 a,

e1,e2 共面,那么有且只有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. 反之,如果有且只有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2,那么 a,e1,e2 共面.这是平面向量基本定理的一个主要考查点,也 是高考本部分知识考查的重点内容.

→ 1→ → 1→ 【典例 1】 如图,在△OAB 中,OC= OA,OD= OB, 4 2 → → AD 与 BC 交于点 M,设OA=a,OB=b,以{a,b}为基底表示 → OM.

[解]

→ 设OM=ma+nb(m,n∈R),

→ → → AM=OM-OA=(m-1)a+nb, → → → 1 1 AD=OD-OA= b-a=-a+ b, 2 2 m-1 n 因为 A,M,D 三点共线,所以 = , -1 1 2 即 m+2n=1.

→ → → 1 而CM=OM-OC=(m- )a+nb, 4 → → → 1 1 CB=OB-OC=b- a=- a+b, 4 4 1 m- 4 n 因为 C,M,B 三点共线,所以 = , 1 1 - 4 即 4m+n=1.

1 ? ?m+2n=1, ?m=7, ? 由? 解得? ?4m+n=1, ? ?n=3. 7 ? → 1 3 所以OM= a+ b. 7 7

[反思感悟]

(1)本题先利用平面向量基本定理设出未知

向量,然后利用共线向量的条件列出方程组,通过待定系数法 从而确定参数的值. (2)由平面向量基本定理知: 平面内的任一向量都可用两个 不共线的向量唯一表示, 根据向量的加法和减法法则及几何性 质即可解题.

类型二 解题准备

平面向量的坐标运算 向量的坐标运算, 使得向量的线性运算都可用

坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合 起来, 就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运 算.

【典例 2】 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且 → → → → → CM=3CA,CN=2CB,求 M,N 及MN的坐标.
[解] ∵A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),

→ → ∴CA=(1,8),CB=(6,3). → → → → ∴CM=3CA=(3,24),CN=2CB=(12,6).

→ 设 M(x,y),则CM=(x+3,y+4)=(3,24),
?x+3=3, ? ∴? ?y+4=24, ? ?x=0, ? ∴? ?y=20, ?

∴M(0,20).

→ 同理可求 N(9,2),因此MN=(9,-18). → ∴所求 M(0,20),N(9,2),MN=(9,-18).

→ → [反思感悟] 由 A,B,C 三点坐标易求得CA,CB坐标, 再根据向量坐标的定义就可以求出 M,N 的坐标. 向量的坐标是向量的另一种表示形式, 它只与起点、 终点、 相对位置有关, 三者中给出任意两个, 可求第三个. 在求解时, 应将向量坐标看作一“整体”,运用方程的思想求解.向量的 坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算,必须灵活应用.

类型三

平面向量共线的坐标表示 两平面向量共线的充要条件有两种形式:①

解题准备

若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件是 x1y2-x2y1 =0;②若 a∥b(a≠0),则 b=λa.

【典例 3】 平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2), c=(4,1),回答下列问题: (1)求 3a+b-2c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; (3)若(a+kc)∥(2b-a),求 k; (4)若(d-c)∥(a+b),且|d-c|=1,求 d.

[分析]

(1)直接用向量加减法的坐标运算公式.

(2)借助于向量相等的条件,建立关于 m,n 的方程组. (3)利用向量共线的充要条件,建立关于实数 k 的充要条 件. (4)利用(d-c)∥(a+b)及|d-c|=1 建立关于 x, 的方程组. y

[解]

(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)

=(9,6)+(-1,2)-(8,2) =(9-1-8,6+2-2)=(0,6). (2)∵a=mb+nc, ∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n), 5 ? ?-m+4n=3, ?m=9, ? ∴? 解得? ?2m+n=2, ? ?n=8. 9 ?

(3)∵(a+kc)∥(2b-a), 又 a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 16 ∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=- . 13 (4)设 d=(x,y), ∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4). 又(d-c)∥(a+b),且|d-c|=1,
?4?x-4?-2?y-1?=0, ? ∴? ??x-4?2+?y-1?2=1, ?

? ?x=4+ 5, 5 ? 解得? 2 5 ? ?y=1+ 5 , ?
?20+ ? ∴d=? 5 ?

? ?x=4- 5, 5 ? 或? 2 5 ? ?y=1- 5 . ?

?20- 5 5-2 5? 5 5+2 5? ? ? ? ,或 d=? . , , 5 ? 5 5 ? ? ? ?

[反思感悟]

向量的坐标表示实际上就是向量的代数表

示.在引入向量的坐标表示后,可以使向量的运算完全化为代 数运算. 这样就可以将“形”和“数”紧密结合在一起. 因此, 很多几何问题,特别是共线、共点等较难问题的证明,通过建 立坐标系,设出点的坐标就可转化为坐标运算来解决.如:要 证平行,只需相关向量共线,要证垂直,只需相关向量数量积 等于 0.

名师纠错· 补漏洞

错源一

遗漏零向量 若 a=(3,2-m)与 b=(m,-m)平行,求 m

【典例 1】 的值.

[错解] 因为 b=(m,-m)=m(1,-1), 令 c=(1,-1),b∥c, 又 a∥b,所以 a∥c, 即 3×(-1)-1×(2-m)=0,解得 m=5.

[剖析] 零向量与任一向量平行, m=0 时, 为零向量, 当 b 也与 a 平行.
[正解] 由 a∥b,得-3m-m(2-m)=0,

即 m2-5m=0,解得 m=5,或 m=0, 所以 m 的值为 0 或 5.

[评析]

零向量与任一向量都是平行(共线)向量,这是在

解题中常常容易被忽视的.

错源二

忽视平面向量基本定理的使用条件致误

→ → → → → 【典例 2】 已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE= e,设 t∈R,如果 3a=c,2b=d,e=t(a+b),那么 t 为何值时, C,D,E 三点在一条直线上?

[剖析]

本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解

决,但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时,容易 忽视平面向量基本定理的使用条件,出现漏解,漏掉了当 a,b 共线时,t 可为任意实数这个解.

→ → [正解] 由题设知,CD=d-c=2b-3a,CE=e-c=(t- 3)a+tb, D, 三点在一条直线上的充要条件是存在实数 k, C, E → → 使得CE=kCD,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+ 3k)a=(2k-t)b.

①若 a,b 共线,则 t 可为任意实数; ②若 a,b
?t-3+3k=0, ? 不共线,则有? ?t-2k=0, ?

6 解之得 t= . 5

综上,a,b 共线时,t 可为任意实数;a,b 不共线时,t 6 = . 5

[评析] 平面向量基本定理 如果 e1,e2 是一平面内的两个不共线向量,那么对该平面 内的任一向量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2, 特别地,当 a=0 时,λ1=λ2=0,本题在 a,b 不共线时,就是 根据这个定理得出的方程组.在平面向量的知识体系里,平面 向量基本定理是基石,共线向量定理是重要工具,在复习这部 分时要充分注意这两个定理在解决问题中的作用, 在使用平面 向量基本定理时要注意其使用是两个基向量不共线.

名师技法· 练智力

技法一

基向量法

【典例 1】 在如图中,对于平行四边形 ABCD,点 M 是 1 AB 的中点,点 N 在 BD 上,且 BN= BD.求证:M,N,C 三 3 点共线.

→ [解题切入点] 欲证 M,N,C 三点共线,只需证向量MN → ∥MC,也即只需选择一组基底来表示这两个向量,然后证存 → → 在实数 λ,使得MN=λMC成立.

→ → [证明] 令AB=e1,AD=e2, → → → 有BD=BA+AD=-e1+e2, → 1→ 1 1 BN= BD=- e1+ e2, 3 3 3 → 1 → → MB= e1,BC=AD=e2. 2

→ → → 1 ∴MC=MB+BC= e1+e2, 2
? → → → 1 1 1 1 1 1?1 MN=MB+BN= e1- e1+ e2= e1+ e2= ?2e1+e2?. 2 3 3 6 3 3? ?

→ 1→ ∴MN= MC.可得 M,N,C 三点共线. 3

[方法与技巧] 本题的关键是在几何图形中选一对不共线 → → 向量,进一步表示出我们需要的向量MN,MC,再证明向量共 线,从而得点共线,这是证明三点共线常用的方法.本方法常 称作基向量法.

技法二

方程的思想

【典例 2】 已知 A(1,-2),B(2,1),C(3,2),D(-2,3), → → → → → 以AB,AC为一组基底来表示AD+BD+CD.

[解]

→ → → → ∵AB=(1,3), =(2,4), =(-3,5), =(-4,2), AC AD BD

→ CD=(-5,1), → → → ∴AD+BD+CD=(-12,8). 由平面向量基本定理,一定存在实数 x,y,使得 → → → → → AD+BD+CD=xAB+yAC,

即(-12,8)=x(1,3)+y(2,4).
?x+2y=-12, ? ∴? ?3x+4y=8, ? ?x=32, ? 解得? ?y=-22. ?

→ → → → → ∴AD+BD+CD=32AB-22AC.

[方法与技巧] 重视平面向量基本定理的应用,同时体现 了方程的思想,用对应系数相等建立方程组.

技法三

函数的思想 已知 a=(-3,2),b=(2,1),求|a+tb|(t∈R)

【典例 3】

的最小值及相应的 t 值.

[解]

a+tb=(-3,2)+t(2,1)=(2t-3,t+2),

∴|a+tb|= ?2t-3?2+?t+2?2 = 5t2-8t+13 =
? 4?2 49 7 5 5?t-5? + ≥ , 5 5 ? ?

4 7 5 即当 t= 时,|a+tb|有最小值 . 5 5

[方法与技巧] 实质上是利用配方法求|a+tb|的最小值.


相关文章:
2013届高三数学一轮复习讲义 平面向量的基本定理及坐标表示(人教A版)(6466142)
2013届高三数学一轮复习讲义 平面向量的基本定理及坐标表示(人教A版)(6466142)_...(0,0),A(1,2),B(4,5),OP=t1OA+t2AB, ①求点 P 在第二象限的充...
2012年数学一轮复习精品试题第二十四讲_平面向量的基本定理及坐标表示
2012年数学一轮复习精品试题第二十四讲_平面向量的基本定理及坐标表示 2012年数学...2OA. 其中正确结论的个数是( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2-1 ...
[原创]2012年数学一轮复习精品试题第24讲_平面向量的基本定理及坐标表示
2012年数学一轮复习精品试题 适合2013高考的学生使用2012年数学一轮复习精品试题...第二十四讲 班级___ 平面向量的基本定理及坐标表示 考号___ 日期___ 姓名...
[原创]2012年数学一轮复习精品试题第24讲 平面向量的基本定理及坐标表示
[原创]2012年数学一轮复习精品试题第24讲 平面向量...第二十四讲 平面向量的基本定理及坐标表示 班级__...1.已知 a=(4,2),b=(x,3),且 a∥b,则 x...
2012年数学一轮复习精品试题第24讲 平面向量的基本定理及坐标表示
第二十四讲 平面向量的基本定理及坐标表示 班级__...设点 A(2,0) ,B(4,2),若点 P 在直线 AB ...2013届高考数学一轮复习... 60页 免费 2013年数学...
第二十四讲 平面向量的基本定理及坐标表示
2012届高考数学一轮专题... 5页 10财富值 [原创...第二十四讲 平面向量的基本定理及坐标表示 三、解答...已知 O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及 O P ?...
2012届高考数学第一轮专题复习测试卷第二十四讲 平面向量的基本定理及坐标表示
3页 1下载券 高考数学复习全套课件(理... 48页 ...第二十四讲 平面向量的基本定理及坐标表示 ) 一、...已知 a=(4,2),b=(x,3),且 a∥b,则 x ...
高考一轮复习:平面向量基本定理及其坐标表示
高考一轮复习:平面向量基本定理及其坐标表示_数学_高中教育_教育专区。第2讲 ...双基自测 1. (人教 A 版教材习题改编)已知 a1+a2+…+an=0, 且 an=(3,...
高三数学23 平面向量基本定理及坐标表示 学案
宿豫区实验高级中学 同学们做题时:看仔细,想清楚,写明白 2012 届 高三一轮复习 高三数学【考纲要求】 内容 平面向量 §23 平面向量基本定理及坐标表示要求 A B...
更多相关标签: