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2012年普通高等学校招生全国统一考试数学{四川卷}


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数 学(理工类)

制作处理:库尔勒第四中学赵梦晨

参考公式: 如果事件互斥,那么 积公式
P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) S = 4p R
2

球的表面

如果事件相互独立,那么 示球的半径

r />P ( A ?B ) P ( A)?P ( B )

其中 R 表

球的体积公式
V = 4 3 pR
3

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么 在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 示球的半径
Pn (k ) = Cn p (1 - p )
k k n- k

其中 R 表

(k = 0,1, 2, …, n)

第一部分

(选择题 共 60 分)

注意事项: 1、 选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题 目标号的位置上。 2、本部分共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 一、选择题:每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1、 (1 ? x) 的展开式中 x 的系数是(
7
2

) C 、 28

A 、 42 D、 21

B 、 35

2、复数 (1 ? i)
2i

2

?(

) B 、 ?1 C、 i

A、1 D、 ?i 3、函数

?x ?9 ,x ?3 ? 在 x ? 3 处的极限是( f ( x) ? ? x ? 3 ?ln( x ? 2), x ? 3 ?
2

) C、等于 3

A、不存在 D、等于 0

B、等于 6

4、如图,正方形 ABCD 的边长为 1 ,延长 BA 至 E ,使 AE ? 1 ,连接
D
EC 、 ED 则 sin ?CED ? (

C

) B、
10 10

A、 D、

3 10 10 5 15
x

E

C、

5

A 10

B

5、函数 y ? a

?

1 a

( a ? 0, a ? 1) 的图象可能是(



6、下列命题正确的是(



A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个 平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面

的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
? ? ? a 7、设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中,使 ? ? |a| ? b ? 成立的充 |b|

分条件是( A、 ? ?b a
? ? ? ? a // b 且 | a |?| b | ? ?

) B、 // b a
? ?

C、 ? 2b a

?

?

D、

8、已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过 点 M (2, y ) 。若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? (
0


4

A、 D、 2

2 2
5

B、

2 3

C、

9、 某公司生产甲、 乙两种桶装产品。已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克; 生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克,
B

原料 1 千克。每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润

是 400 元。公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A 、
B

原料都不超过 12 千克。通过合理安排生产计划,从每天生产 )

的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( A、1800 元 D、3100 元 10、如图,半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面
B

B、2400 元

C、2800 元

A

?

内,过点 O 作平面 ? 的垂线交半球面于点 A ,
P α C
?

D O

过圆 O 的直径 CD 作平面 ? 成 45 角的平面与半球

面相交,所得交线上到平面 ? 的距离最大的点为 B ,该交线上的

一点 P 满足 ?BOP ? 60 ,则 A 、 P 两点间的球面距离为(
?

) D、

A、R arccos
?R
3

2 4

B、? R
4

C、R arccos

3 3

11、方程 ay ? b

2

x ? c 中的 a, b, c ? {?3, ?2, 0,1, 2, 3} ,且 a, b, c 互不相同,在
2

所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( A、60 条 D、80 条 12 、 设 函 数
f ( x ) ? 2 x ? cos x

) C、71 条

B、62 条

, {a } 是 公 差 为
n
2 3

?
8

的等差数列,

f ( a1 ) ? f ( a2 ) ? ? ? ? ? f ( a5 ) ? 5?

,则 [ f (a )]

? a1a3 ?



) C、 1?
8
2

A、 0 D、
13 16

B、
?
2

1 16

?

2

第二部分 注意事项:

(非选择题 共 90 分)

(1)必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答 题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑 色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 (2)本部分共 10 个小题,共 90 分。 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分。把答 案填在答题纸的相应位置上。 ) 13、设全集 U ? {a, b, c, d } ,集合 A ? {a, b} , B ? {b, c, d } ,则
(痧A) ? ( U
U

B ) ? ___________。

D1 A1 B1

C1 N

N 14、 如图, 在正方体 ABCD ? A B C D 中, 、 分别是 CD 、 M
1 1 1 1

CC1 的中点,则异面直线 A1M

与 DN 所成角的大小是
A

D M B

C

____________。 15、椭圆 交于点
A

x

2

?

y

2

? 1 的左焦点为 F

,直线 x ? m 与椭圆相
?FAB

4

3
B



,当

?FAB

的周长最大时,

的面积是

____________。 16、记 [ x] 为不超过实数 x 的最大整数,例如, [2] ? 2 , [1.5] ? 1 ,
[ ?0.3] ? ?1

。 a 为正整数, 设 数列 {x } 满足 x
n

1

? a , n ?1 ? [ x

xn ? [ 2

a xn

] ]( n ? N ) ,
?

现有下列命题: ①当 a ? 5 时,数列 {x } 的前 3 项依次为 5,3,2;
n

②对数列 {x } 都存在正整数 k ,当 n ? k 时总有 x
n

n

? xk ;

③当 n ? 1 时, x

n

?

a ?1;
k ?1

④对某个正整数 k ,若 x

? xk ,则 xn ? [ a ] 。

其中的真命题有____________。 (写出所有真命题的编号) 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分。解答应写出必要的 文字说明,证明过程或演算步骤。 )

17、(本小题满分 12 分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 (简称系统)A 和
B

,系统 A 和 B 在任意时刻发生故障的概率分别为

1 10

和p。
50

(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 49 , 求 p 的值; (Ⅱ)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随 机变量 ? ,求 ? 的概率分布列及数学期望 E? 。 18、(本小题满分 12 分) 函数
f ( x ) ? 6 cos
2

?x
2

?

3 cos ? x ? 3(? ? 0) 在一个周期内的图象如图

所示, A 为图象的最高点,B 、C 为图象与 x 轴的交点,且 ?ABC 为 正三角形。 (Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x) 的值域; (Ⅱ)若 f ( x
0

)?

8 3 5

,且 x

0

? (?

10 2 , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值。 3 3

19、(本小题满分 12 分) 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, APB ? 90 , ?
?

P C

?PAB ? 60

?

, AB ? BC ? CA ,平面 PAB ? 平面
A B

ABC 。

(Ⅰ)求直线 PC 与平面 ABC 所成角的大 小; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小。

20、(本小题满 分 12 分) 已知数列 {a } 的前 n 项和为 S ,且
n n

a2 an ? S 2 ? S n 对一切正整数 n 都成立。

(Ⅰ)求 a , a 的值;
1 2

(Ⅱ)设 a

1

? 0 ,数列 {lg

10a1 an

} 的前 n 项和为 Tn ,当 n 为何值时,Tn 最

大?并求出 T 的最大值。
n

21、(本小题满分 12 分) 如图, 动点 M 到两定点 A(?1, 0) 、B(2, 0) 构 成 ?MAB ,且 ?MBA ? 2?MAB ,设动点 M 的轨 迹为 C 。 (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? ?2 x ? m 与 y 轴交于点 P , 与轨迹 C 相交于点 Q、R ,且 | PQ |?| PR | ,求
| PR | | PQ |

y

M

A

O

B x

的取值范围。

22、(本小题满分 14 分) 已知 a 为正实数, n 为自然数,抛物线 y ? ? x
2

?

a

n

与 x 轴正半轴

2

相交于点 A ,设 f (n) 为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距。 (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f (n) ; (Ⅱ)求对所有 n 都有
f ( n) ? 1 f ( n) ? 1
n

?

n
3

3

n ?1
1

成立的 a 的最小值; 与
27 f (1) ? f ( n) ? 4 f (0) ? f (1)

(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比较 ?
k ?1

f ( k ) ? f (2k )

的大小,并

说明理由。


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