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3.5.1二维形式的柯西不等式


二维形式的柯西不等式

比较(a ? b )(c ? d ) 问题探究:
2 2 2 2

与(ac ? bd ) 的大小
2

(a, b, c, d ? R)

(二维形式的柯西不等式 ) 若 a, b, c, d 都 是



数<

br />
,



(a2 ?b2 )(c2 ?d2 )≥(ac ?bd)2 . 当且仅当 ad ? bc 时, 等号成立.

二维形式的柯西不等式的重要变形:
2 (1)( a ? b)( c ? d ) ? ( ac ? bd )( a, b, c, d ? R?)

( 2) a ? b ? c ? d ? ac ? bd (a, b, c, d ? R)
2 2 2 2

( 3) a ? b ? c ? d ? ac ? bd ( a, b, c, d ? R)
2 2 2 2

思考(1)(2)(3)等号成立的条件是什么?

已知在平面直角坐标系 xoy中有向量 ?? (a, b) , ? ? (c, d ),

?与?之间的夹角为 ?, 0 ? ? ? ? .尝试完成下面问题:

? ?? (1) ? ? ? ____

( 2)用坐标表示此不等式为 __________ __________ _______

ac ? bd ? a2 ? b2 c 2 ? d 2

柯西不等式的向量形式
设α,β是两个向量,则

| ? ? ? |?| ? | | ? |

当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.

y

P 1 ( x1 , y1 )

思考:此不等式能取等号吗?
此时O,P1,P2三点有 什么位置关系?

P 2 ( x2 , y2 )
O
x

2 2 2 2 x1 ? y1 ? x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

(二维形式的三角不等式 ) 设 x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ? R , 那么 ( x ? y ) ? ( x ? y ) ≥ (x1 ? x2 ) ?( y1 ? y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2

. 当

且仅当 x1 y2 ? x2 y1 时,等号成立.

? x1 - x3 ?2 ? ? y1 - y3 ?2 ? ? x2 - x3 ?2 ? ? y2 - y 3 ?2 ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

例1、已知a, b为实数,证明 (a ? b )(a ? b ) ? (a ? b )
4 4 2 2 3 3 2

1 1 ? ? 4 例2.设a,b∈R+,a+b=1,求证 a b

例3. 2.求函数y ? 5 x ? 1 ? 10 ? 2 x的最大值.

练习:

求函数 y ? 3 x ? 5 ? 4 6 ? x的 最 大 值 。
134 当x ? 时ymax ? 5 25

例4、已知 x ? 2 y ? 1,求 x ? y 的最小值
2 2

例5、已知 2 x ? 3 y ? 6, 求证: x ? 2 y ? 11
2 2

课堂练习:课本P36习题3.1


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