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柱体、锥体与台体的体积课后练习


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柱体、锥体与台体的体积课后练习
一、选择题 1.若正方体的全面积增为原来的 2 倍,那么它的体积增为原来的( )

A.2 倍 B.4 倍 C. 2 倍 D.2 2 倍 2.一个长、宽、高分别为 a、b、c 长方体的体积是 8cm2,它的全面积是 32 cm2

,且满 2 足 b =ac,那么这个长方体棱长的和是( ) A、28cm B.32 cm C.36 cm D.40 cm 3.正六棱台的两底面的边长分别为 a 和 2a,高为 a,则它的体积为( )
21 3 2 a
3

3 3 2

a

3

7 3

A. B. D. 4.若球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径为(
1

C. 7 3 a

3

a

3

2



A.1 B.3 C.2 D. 2 5.一个球的外切正方体的全面积的数值等于 6cm2,则此球的体积为(
4



? cm

3

6

? cm

3

1

? cm

3

6

? cm

3

A. 3

B. 8

C. 6
3 a
3

D. 6 ,那么侧棱与底面所成的角为( )

6.正六棱锥的底面边长为 a,体积为 2
? ?

?

5?

A. 6 B. 4 C. 3 D. 12 7.正四棱锥的底面面积为 Q,侧面积为 S,则它的体积为(
1 Q S
2



1

Q (S

2

?Q )
2

A、 3
1 S (S ?Q )
2

B. 2
1 Q (S
2

?Q )
2

C、 2 D、 6 8.棱台上、下底面面积之比为 1∶9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是 ( ) A.1∶7 B.2∶7 C.7∶19 D.3∶16 9.正方体、等边圆柱与球它们的体积相等,它们的表面积分别为 S1、S2、S3,下面关 系中成立的是( ) A.S3>S2>S1 B.S1>S3>S2 C.S1>S2>S3 D.S2>Sl>S3 10.沿棱长为 1 的正方体的交于一点的三条棱的中点作一个截面,截得一个三棱锥,那 么截得的三棱锥的体积与剩下部分的体积之比是( ) A.1∶5 B.1∶23 C.1∶11 D.1∶47 二、填空题 11.底面边长和侧棱长都是 a 的正三棱锥的体积是_______. 12.将 4×6 的矩形铁皮作为圆柱的侧面卷成一个圆柱,则圆柱的最大体积是_______. 13.半径为 1 的球的内接正方体的体积是________;外切正方体的体积是_______. 14.已知正三棱台上、下底面边长分别为 2、4,且侧棱与底面所成角是 45°,那么这 个正三棱台的体积等于_______. 三、解答题 15.三棱锥的五条棱长都是 5,另一条棱长是 6,求它的体积. 16.两底面边长分别是 15cm 和 10cm 的正三棱台,它的侧面积等于两底面积的和,求 它的体积.
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17.一个圆锥形容器和一个圆柱形容器,它们的轴截面尺寸如图所示,两容器内所盛液 体的体积正好相等,且液面高度 h 正好相同,求 h.

18.如图所示,已知正方体 ABCD—A1B1ClDl 的棱长为 a,E 为棱 AD 的中点,求点 A1 到平面 BED1 的距离.

参考答案 一、选择题 1.D
b ? a · ·c = 8 ? ? ab + bc + ca =16 ? 2 b = ac 2.B 解:由已知 ?
3

① ② ③

③代入①得 b =8,b=2,ac=4,代入②a+c=6. ∴长方体棱长的和为 4(a+b+c)=4×8=32(cm2) . 3.D 4.B 5.C 6.B 7.D 设正四棱锥的底面边长和高分别为 a,h,斜高为 h′,
h +(
2

a 2



2

1

h +

2

a 4

2

则 h′=
S
2 2

,S= 2 (4a)h′=2a
S
2

解得



a 4

2


2

Q

1

S -Q Q
1

2

2

h=
1

4a


1

4Q

4 =2
2


Q( S - Q )
2 2

1

S -Q Q

V= 3 h·Q= 3 ( 2

)Q= 6



8.C 9.B 10.D 由 E、F、G 分别为 BB1,B1C1,B1A1 的中点,可证明平面 EFG∥平面 BC1A1,因此
V B1- EFG V B1- BC 1 A1
V B1- EFG



EF



3

1
3

1

= BC 1
1

=( 2 ) = 8 .



1 1 V B1- BC 1 A1 V =8 = 8 · 3 B1 BC 1- A1 AD
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1

1

1
- A1 B1C 1 D1

1

V = 8 ( 3 · 2 ABCD

)= 48

V ABCD

- A1 B1C 1 D1



V B1- EFG V ABCD - V B1- EFG - A1 B1C 1 D 1

1

= 47 .

二、填空题.
2 a
3

36

11. 12
8 3

12. ?
14

13. 9 ;8 14. 3 15.三棱锥 A-BCD 中,AB=6,设 E 为 AB 的中点,连结 CE,DE,则 CE⊥AB,DE⊥AB. 在直角△AED 中,DE= AD - AE = 5 - 3 =4. 同理 CE=4,F 为 CD 中点,连接 EF,则 EF⊥CD,在 Rt△DFE 中,
2 2

2

2

DE -(

2

5 2



2

4 -(

2

5 2



2

39

EF=
5 39



= 2



∴S△CED=

4


1 1

VA-BCD=VA-ECD+VB-ECD= 3 AE·S△CED+ 3 BE·S△CED
1 1

5 39 4

5

= 3 (AE+BE)S△CDE= 3 ×6×

=2

39



16.设正三棱台的高为 h,
? 3 2 2 h +[ ? (15 -10 )] ? 6 ? =

h +

2

25 12 ,

则斜高 h′=

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( 3 ? 10 + 3 ? 15 ) h +
2

25 12
3

由已知
1

2
3
2

= 4 (152+102) ,解得 h= 2 3 .
3
2

3

因此 V= 3 · 2 3 ( 4 ·10 + 4 ·15 + 4 )= 2 (cm3) . 别解:设上、下底面面积分别是 S1,S2(S1<S2) ,侧面与底面成二面角为α ,由已知,S =S1+S2①. 又 S 侧 cosα =S2-S1②,
3
S 2- S 1

10

2

·15

2

475



? 15 -
2

3 4 3 4

? 10 ? 10

2

4 3 ? 15 +
2

2

5

②÷①,cosα = S 1+ S 2 = 4 然后再求棱台的高和体积.

= 13 .
1

17.设圆锥形容器的液面的半径为 R,则液体的体积为 3 π R2h,圆柱形容器内的液体体积
a

为π ( 2 )2h.
1
2

a
2

3

根据题意,有 3 π R h=π ( 2 ) h,解得 R= 2 . 再根据圆锥轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形,得
3 2 a a
h

a

3

= a ,所以 h= 2
1
S ? A1 D1 E

a


a
2

18.解:

= 2 A1D1·AA1= 2 .
AE + AB
2

D1B= 3 a,D1E=BE=

2

2



1 2

a )+ a
5

2

2

5




= 2
a )-(
2

a


2

BE -(

D1 B 2



2

3 2

a)

2

等腰△EBD1 的高为
1
S ? BED 1


6 a
2

2

= 2

a



2

= 2 ( 3a ) 2 (

a

)= 4

. =
V B - A1 D1 E

设 A1 到平面 BED1 的距离为 h,而
1

V A1- BED 1



即3
1

S ? BED 1

1

·h= 3
a
2

S ? A1 D1 E 1

·AB.
a
2

6

1

∴3 · 4

·h= 3 · 2 ·a,解得 h= 3

6a



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