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东莞市2014届高三理科数学小综合专题——函数与导数


2014 届高三理科数学小综合专题练习-------函数与导数
东莞一中陈青老师提供 一、选择题 1.下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是 ( A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x|
1 ? 2

) C.f(x)=x+1 ) C.z<y<x ) D.y<z<x D.f(x)=-x

2.已知 x=ln

π ,y=log52,z=e A.x<y<z

,则 (

B.z<x<y

1 3.已知函数 f(x)= ,则 y=f(x)的图像大致为 ( ln(x+1)-x

4.某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示.从目前记录的结 果看,前 m 年的年平均产量最高,m 的值为 ( A.5 B.7 C.9 ) D.11

5.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立 的是 ( )

A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2) 二、填空题

?2e x ?1 , x ? 2, 6.设 f ( x) ? ? 则不等式 f ( x) ? 2 的解集为 ?log 3 ( x ? 1), x ? 2,
7.已知定义在 R 上的函数 f(x),满足 f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3 时, f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2012)= 8.已知 y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1)=__________. ax+1,-1≤x<0, ? ? 9.设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=?bx+2 其中 a,b∈R. ,0≤x≤1, ? ? x+1 1? ?3? 若 f? ?2?=f?2?,则 a+3b 的值为_____ ___.

10.有下列几个命题,其中正确的序号有___________________.

①方程 x ? (a ? 3) x ? a ? 0 有一个正实根,一个负实根,则 a ? 0 ;
2

② 函数 y ?

x 2 ? 1 ? 1 ? x 2 是偶函数,但不是奇函数;

③函数 f ( x) 的值域是 [?2, 2] ,则函数 f ( x ? 1) 的值域为 [?3,1] ; ④ 设函数 y ? f (2 x ? 1) 的定义域为 ?0,1? ,则函数 y ? f ( x) 的定义域是 ? ? ⑤“ a ? 三、解答题 11.已知函数 合B. (1)判断 函数 f ? x ? 的奇偶性; (2) a ? 2 是 A ? B ? ? 的什么条件(充分非必要条件 、必要非充分条 件、充要条件、既非充分也 非必要条件)? 并证明你的结论.

? 1 ? ,0 ? ; ? 2 ?

1 1 ”是“ f ( x) ? x ? a 是奇函数”的充要条件. 2 2 ?1

? 2 ? 函数 g ?x ? ? f ( x) ? lg ? ? 1? 的定义域为集合 A , x ? 1 ? ?

1 ? a 2 ? 2ax ? x 2 的定义域为集

12.已知函数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) . 若函数 f ( x) 的图象过原点, 且在原点处
3 2

的切线斜率是 ?3 ,求 a, b 的值.

13.已知函数 f ( x) ?

cx ? 1 ( c 为常数). x ?1

(1)若 1 为函数 f ( x) 的零点, 求 c 的值; (2)在(1)的条件下且 a ? b ? 0 , 求 f (4 ) ? f (4 ) 的值;
a b

(3)若函数 f ( x) 在[0,2]上的最大值为 3, 求 c 的值.

14.已知函数 f ( x) ? 2a ln x ? x (常数 a ? 0) .
2 2

(1)求证:无论 a 为何正数,函数 f ( x) 的图象恒过点 A(1, ?1) ; (2) 当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程;(3)讨论函数 f ( x) 在区间 (1, e ) 上零点的个数
2

( e 为自然对数的底数) .

15.两县城 A 和 B 相距 20km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧

上选择一点 C 建造垃圾处理厂,

其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关, 对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度 之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查 表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的 影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比,比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 和城 B 的总影响度为 0.065. (1)将 y 表示成 x 的函数; (2)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的中点时,对城 A

的总影响度最小?若存在,求出该点到城 A 的距离;若不存在,说明理由.

2014 届高三理科数学小综合专题练习-------函数与导数 参考答案
一、选择题 CDBCD 二、填空题 6. (1, 2) ? (10 , ??) 三、解答题 11.解: (1) A={x| 7.338 8.-1 9.-10 10.①⑤

2 x ?1 ?1 ? 0 ? ? 0 ? ( x ? 1)( x ? 1) ? 0 , ∴ -1<x<1 x ?1 x ?1 1? x ∴A=(-1,1) ,故 f(x)的定义域关于原点对称. 又 f(x)= lg , x ?1 1? x 1 ? x ?1 1? x 则 f(-x)=lg = lg ( ,∴f( x)是奇函数. ) = ? lg ?x ?1 x ?1 x ?1
2 ? 1 ? 0} x ?1
2 2

(2)B={x|x +2ax-1+a ≤0},得-1-a≤x≤1-a,即 B=[-1-a, 1-a] 由 A=(-1,1) , B=[-1-a,1-a], 则 a=-3,a 小于 2. 有 A? B ? ?

当 a ?2 时, -1-a?-3,1-a?-1,

反之,若 A ? B ? ? ,可取-a-1=2,

所以,a ?2 是 A ? B ? ? 的充分非必要条件

12.解:由题意得 f ?( x) ? 3x ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2) , 又 ?
2

?

f ( 0) ? b ? 0

? f ?(0) ? ?a(a ? 2) ? ?3



解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1

13.解: (1)

?1 为 f ( x) 的一个零点.?

f (1) ? 0 即 c ? 1 .

(2) 由(1)知: f ( x) ?

4 a ? 1 4b ? 1 2 ? 4 a ?b ? 2 x ?1 a b ? b ? a ? 0. , 所以 f (4 ) ? f (4 ) ? a 4 ? 1 4 ? 1 (4 ? 1) ? (4 b ? 1) x ?1

(3)先证 f ( x) 的单调性.设 0 ? x1 ? x2 ? 2 ,则

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ?

cx2 ? 1 cx1 ? 1 ( x 2 ? x1 ) ? (c ? 1) ? ? . x 2 ? 1 x1 ? 1 ( x 2 ? 1) ? ( x1 ? 1)

因为 0 ? x1 ? x2 ? 2 ,所以当 c ? ?1 时, f ( x2 ) ? f ( x1 ) , 即函数 f ( x) 在[0,2]上是单调递增, 所以 f ( x) max ? f (2) ? 3 ,即

2c ? 1 ? 3 ,解得 c ? 5 . 2 ?1

当 c ? ?1 时, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,即函数 f ( x) 在[0,2]上是常函数, 所以 f ( x) ? ?1 ,不合题意. 当 c ? ?1 时, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,即函数 f ( x) 在[0,2]上是单调递减,

所以 f ( x) max ? f (0) ? 3 ,即 ? 1 ? 3 ,显然不成立. 综上所述, c ? 5 .

14.解:(1)∵ f (1) ? 2a ln1 ? 1 ? 0 ? 1 ? ?1 ∴无论 a 为何正数,函数 f ( x) 的图象恒过点 A(1, ?1) .
2 2 (2) 当 a ? 1 时, f ( x) ? 2 ln x ? x ,? f ?( x) ?

2 ? 2x . x

? f ?(1) ? 0 .

又? f (1) ? ?1 ,∴曲线 y ? f ( x) 在点 x ? 1 处的切线方程为 y ? 1 ? 0 .

(3) f ( x) ? 2a ln x ? x ,
2 2

所以 f ?( x) ?

2a 2 2a 2 ? 2 x 2 ?2( x ? a)( x ? a) ? 2x ? ? x x x

因为 x ? 0 , a ? 0 ,于是当 0 ? x ? a 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? a 时, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x) 在 ? 0, a ? 上是增函数,在 ? a , ?? ? 上是减函数. 所以, f ( x) max ? f (a) ? a (2ln a ? 1).
2

讨论函数 f ( x) 的零点情况如下. ①当 a (2ln a ? 1) ? 0 ,即 0 ? a ?
2

e 时,函数 f ( x) 无零点,在 (1, e 2 ) 上也无零点;

2 ②当 a (2ln a ? 1) ? 0 ,即 a ? e 时,函数 f ( x) 在 (0, ??) 内有唯一零点 a ,

而 1? a ?

e ? e2 ,∴ f ( x) 在 (1, e 2 ) 内有一个零点;③当 a 2 (2ln a ? 1) ? 0 ,即 a ? e 时,
2

由于 f (1) ? ?1 ? 0 , f (a) ? a (2ln a ? 1) ? 0 ,

f (e2 ) ? 2a 2 ln e2 ? e4 ? 4a 2 ? e4 ? (2a ? e2 )(2a ? e2 ) ,
当 2a ? e ? 0 时, 即 e?a?
2

e2 e2 1 ? e ? a ? ? e 2 , f (e 2 ) ? 0 , 时, 由单调性可知, 函数 f ( x) 2 2
2 2

在 (1, a ) 内有唯一零点 x1 、在 (a, e ) 内有唯一零点 x2 满足, f ( x) 在 (1, e ) 内有两个零点;

e2 1 ? e 时, f (e2 ) ? 0 ,而且 f ( e ) ? 2a 2 ? ? e ? a 2 ? e ? 0 , 当 2a ? e ? 0 时,即 a ? 2 2
2

f (1) ? ?1 ? 0 由单调性可知,无论 a ? e2 还是 a ? e2 , f ( x) 在 (1, e ) 内有唯一的一个零点,在
[ e , e 2 ) 内没有零点,从而 f ( x) 在 (1, e 2 ) 内只有一个零点;
综上所述,有:当 0 ? a ?

e 时,函数 f ( x) 无零点;当 a ? e 或 a ?

e2 时,函数 f ( x) 有一个零 2

e2 点;当 e ? a ? 时,函数 f ( x) 有两个零点. 2
15.解法一:(1)如图,由题意知 AC⊥BC, BC ? 400 ? x , y ?
2 2

4 k ? (0 ? x ? 20) 2 x 400 ? x 2
x A

C

其中当 x ? 10 2 时,y=0.065,所以 k=9 所以 y 表示成 x 的函数为 y ? (2) y ?

4 9 ? (0 ? x ? 20) 2 x 400 ? x 2

B

4 9 , ? 2 x 400 ? x 2

y' ? ?

8 9 ? (?2 x) 18 x 4 ? 8(400 ? x 2 ) 2 4 2 2 2 ? ? , 令 y ' ? 0 得 18 x ? 8(400 ? x ) , 所 以 x ? 160 , 即 3 2 2 3 2 2 x (400 ? x ) x (400 ? x )

x ? 4 10 , 当 0 ? x ? 4 10 时 , 18 x 4 ? 8(400 ? x 2 )2 , 即 y ' ? 0 所 以 函 数 为 单 调 减 函 数 , 当 4 6 ? x ? 20 时, 18 x 4 ? 8(400 ? x 2 )2 ,即 y ' ? 0 所以函数为单调增函数.所以当 x ? 4 10 时, 即当 C

4 9 ? (0 ? x ? 20) 有最小值. 2 x 400 ? x 2 4 9 2 2 解法二: (1)同上.(2)设 m ? x , n ? 400 ? x ,则 m ? n ? 400 , y ? ? ,所以 m n 4 9 4 9 m?n 1 4n 9m 1 1 4n 9m 当且仅当 ? y? ? ?( ? ) ? [13 ? ( ? )] ? (13 ? 12) ? m n m n m n 400 400 m n 400 16
点到城 A 的距离为 4 10 时, 函数 y ? 即?

? n ? 240 时取”=”. ?m ? 160

下面证明函数 y ?

4 9 在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. ? m 400 ? m
4 9 4 9 ? ?( ? ) m1 400 ? m1 m2 400 ? m2

设 0<m1<m2<160,则 y1 ? y2 ?

?(

4(m2 ? m1 ) 9(m1 ? m2 ) 4 4 9 9 ? )?( ? )? ? m1 m2 400 ? m1 400 ? m2 m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

? (m2 ? m1 )[

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 4 9 ? ] ? (m2 ? m1 ) , m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

因为 0<m1<m2<160,所以 4 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) >4×240×240 9 m1m2<9×160×160 所以

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 ?0, m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

所以 (m2 ? m1 )

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 ? 0 即 y1 ? y2 m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

4 9 在(0,160)上为减函数. ? m 400 ? m 4 9 同理,函数 y ? ? 在(160,400)上为增函数, m 400 ? m
函数 y ? 设 160<m1<m2<400, 则 y1 ? y2 ?

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 4 9 4 9 ? ?( ? ) ? (m2 ? m1 ) m1 400 ? m1 m2 400 ? m2 m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

因为 1600<m1<m2<400,所以 4 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) <4×240×240, 9 m1m2>9×160×160 所以

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 ?0, m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

所以 (m2 ? m1 )

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 ? 0 即 y1 ? y2 m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

y?

4 9 在(160,400)上为增函数. 所以当 m=160 即 x ? 4 10 时取”=”,函数 y 有最小值, ? m 400 ? m
上存在一点,当 x ? 4 10 时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小.

所以弧


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