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解题过程


题目:已知三角形 ABC 为正三角形,D 为三角形内一点,角 DBC=42 度,角 DCB=12 度,求角 DAC 的度数。

解答: 如图,先假设正三角形 ABC 的边长为 a ∵ ∠DBC+∠DCB+∠BCD=180°, ∠DBC=42°, ∠DCB=12° ∴ ∠BDC=126° ∵ 正弦定理 BC/sin∠BDC=BD/sin∠BCD=DC/sin∠DBC ∴ DC=BC·sin∠DBC/sin∠BDC=a·sin42°/sin126°=a·0.669/0.809=0.83a ∵∠BCA=60° ∴∠ACD=∠BCA-∠BCD=48° ∵余弦定理 AD ?=DC ?+AC ?-2·DC·AC·cos∠ACD =(0.83a) ?+a ?-2×0.83a×a×cos∠48° =0.69a ?+a ?-1.72a×0.669 =0.54a ? ∴AD=0.735a ∵正弦定理 DC/sin∠DAC=AD/sin∠ACD ∴sin∠DAC=DC·sin∠ACD/AD =0.83a·sin48 ?÷0.735a =0.83a×0.743÷0.735a =0.84 ∴∠DAC=57°


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