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第十三届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考解答


第十三届北京高中数学知识应用竞赛决赛参考解答
2010 年 3 月 21 日
1.(满分 16 分) 当你站在一面镜子前面时,镜中 会出现你的影像, 并且影像与你的形象是对称的,你的 左侧将是影像的右侧。 现在, 房间的一个墙角两侧的墙 上各有一面大镜子相邻镶嵌(如图中双线的部位) 。如 果你站在这两面镜子前面, 在镜中会有几个你的影像? 它们各处在什么位置?

影像的形象与你是什么关系? 当你在镜子前面运动时,你的影像如何运动? 解:设我的形象为 A,镜成像的结果如下图。 一共有三个镜面影像。A1 为 A 关于镜面 OX 的影像,A2 为 A 关于镜面 OY 的影像,A3 是 A 关于镜面二次成像的结果,也就是说,A3 是影像 A1 关于 镜面 OY 的影像,也是 A2 关于镜面 OX 的影像。 A1 与 A2 分别是 A 关于 OX 和 OY 对称的像。 A3 与 A1、A2 的形象是对称的,是 A 关于点 O 中心对称的。 从而它与 A 的形象是一致的。 ? 10 分 当 A 沿着 OX 的方向移动时,A1 将会与 A 同行,A2 将会远离 A 而去,A3 将作与 A 反方向 A2 的运动。使得 A,O 和 A3 始终保持在同一条直 线上。??????????????? 16 分 2. (满分 16 分) 内轮差是车辆转弯时的前内轮的转弯半径与后内轮的转 弯半径之差。车辆转弯时,前轮转向, 前、后车轮的运动轨迹不重合,后轮轨 迹会向所转方向的内侧偏移,产生内轮 差。车辆的前后轴距越长,偏移量越大, 即内轮差越大。行车中如果只注意前轮
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A3

A1

O

X

A Y

前内轮的 转弯轨迹

后内轮的 转弯轨迹

能够通过而忘记内轮差,就可能造成后内轮驶出路面或与其他物体碰撞的事 故。右图中可见一辆货车右转弯时,前、后内轮的轨迹。如果汽车的前后轴 距为 5 米,右转弯时前轮的转向角为 30?,求右前轮和右后轮的内轮差。并 依此对站在马路拐弯处的行人提出安全建议。 解:如图:设前、后内轮的转弯
y 半径分别为 x 和 y,因为 = cos30?, x
30?

即 y = xcos30?,又 x2? y2=25,得 x (1?cos 30?)=25,解得 x=10,y = 8.66,前后轮差为 x?y=10?8.66=1.33(m)。
2 2

5

x y 30?



为了安全,在马路拐弯处的行人与货车内侧的距离不能太小,如果定为 约 1 米,则建议行人要离开货车的车头约 2.3 米。 ???????? 16 分 3.(满分 16 分)用数学解决实际问题的第一步工作是将实际问题抽象成 数学问题,这就涉及到对于抽象的度的把握。抽象得太简单,得出的结论会 与实际相差甚远,抽象得太复杂了,会让人无从下手。于是,对粗放的实际 问题进行合理的相关因素分析和适度的假设就显得特别重要。请你根据自己 对下面“人员疏散问题”的理解,找出问题涉及到的参量和变量,并且给出 适度的假设。 问题:当学校发生意外事件时,正在上课的师生要迅速离开教学楼,求 疏散所用的最少时间。 解:参量和变量:师生疏散经过的通道(楼道和楼梯)的宽度,楼梯的 长度(阶数) ,疏散时前后两人的间隔,安全出口的数量、位置和宽度,各班 人数,各班教室门到楼梯口的距离,楼道中人流行进的速度,人流下楼梯速 度,疏散时间。???????????????????????? 8 分 假设:1.教室门、楼梯、楼层及它们之间的关系(数量、距离等)按照 实际进行测量得到;各班人数根据实际进行调查得到。 2.人员撤离时,各班走单行,人在楼道里走 4 列,在楼梯上走 2 列,间 隔均为 0.7 米。 3.楼道中人流行进的速度为匀速,下楼梯也是匀速,二者速度比为 1.5。
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4.忽略列队的时间和第一个人到达教室门口的时间。 5.人体厚度相同,均为 0.3 米。 ???????????????? 16 分 (此问题为开放问题, 学生的解答重点在于如何把复杂问题变简单。 看能 假设多少,看假设的合理性。 ) 4.(满分 16 分) 18 世纪末、19 世纪初,马尔萨斯提出了《人口论》 ,开 创了生物种群增长规律的研究。根据观测到的数据,最早提出的模型是: 假定种群的数量在单位时间内,增加的百分比(增长率)是不变的。即, 若设 xn 是第 n 年某种群的数量,假定它每年增加的百分比 的常数 k。我们得到的数学模型是
xn ?1 ? xn 是一个正 xn

xn ?1 ? xn =k。 xn

(1)xn 是一个什么数列?它是按指数增长,还是按对数增长? (2)由于环境等诸多因素的限制,种群的数量不可能永远按这种模型增 长。例如,由于湖的容量有限,湖中的鱼不可能无限增加。这个模型只能近 似反映种群数量不大时的增长状况。请你提出一个上述模型的修改方案,使 得当种群数量 xn 变大时,它的增长率将变小。 解: (1)xn 满足 xn+1=(1+k)xn,它是一个等比数列。它的增长是指数增 长。????????????????????????????? 6 分 (2)在上述模型中,增长率是常数 k。因此,只需假设:k 是一个依赖于 xn 的函数,它随着 xn 的变大而减小,即 k 是 xn 的减函数。 方案一,把常数 k 改为分段函数。例如,

?k1 ? k ? k ( xn ) ? ?k2 ? ?

0 ? xn ? A1 A1 ? xn ? A2 ??

其中 k1>k2>k3>?>0。这个函数是 xn 的减函数。这个模型的缺点是:它仍 然是指数增长,没有本质的改进。 ??????????????? 16 分 方案二,目前最常用的模型是:首先假设这个种群在此特定的生态环境 中,其数量 xn 有一个最大值 M,即,在此特定的生态环境中,最多能容纳该 种群的数量是有限的。再假设 xn 增长的规律为

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xn?1 ? xn x ? k (1 ? n ) xn M

其中 k 是一个正常数。在此模型中,当 xn 很小时,1 ? 型和原来的模型近似相同。 xn 越接近 M , 1 ?

xn 接近于 1,我们的模 M

xn 越接近 0 , xn 增长的越 M

慢。 ???????????????????????????? 16 分 (如果学生解答时, 把假设加在种群数量的变化速度 xn+1?xn 或加速度上, 只要本质上相同,就可以。有些学生会把 k=k(xn)用具体的函数来表示,只要 它是减函数,作为答案都可以。 ) 5.(满分 18 分) 在 2010 年 2 月 8 日北京晚报“智力休闲”栏目中有这 样一个趣题:根据图上的规律,指出 A、B、 C、 D 四个选项中哪个最适合问号处的图形。 对这个趣题,我们称图中每个圆圈内可 能出现的符号



为元素, 图中的每一个大圆内的元素组成的 图为子图,并将第 i 行第 j 个子图记作 Ai,j。 请你回答下面的问题: (1)完成上面的趣题;
A B C D

(2)指出上面的趣题中“规律” ,并作出数学表达。 答: (1)选择 C。????????????????????? 6 分 (2)1°Ai,j 是由 Ai+1,j 与 Ai+1,j+1 合成的,i, j=1, 2, 3; 2°在 Ai+1,j 与 Ai+1,j+1 的合成中,元素合成满足以下规律:一个有某个元 素,另一个没有该元素的,则 Ai,j 中有该元素,否则, Ai,j 中没有该元 素。 ???????????????????????????? 12 分 用数学将上述规律表示如下: 1°每一个子图 Ai,j 都是由上述五个元素中的某些元素组成的。它可以用
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数学符号表示为 Ai,j=(ai,j,1,ai,j,2,ai,j,3,ai,j,4,ai,j,5) 其中
? ?1 子图Ai , j中有第k 个元素 ai , j ,k ? ? ? ?0 子图Ai , j中没有第k 个元素

如第 4 行第 4 个字图可以表示为 A44=(0,0,0,1,0)。 2°将两个子图的合成记作“?” ,两个元素的合成记作“*”则有 Ai,j= Ai+1,j?Ai+1,j+1 = (ai+1,j,1*ai+1,j+1,1, ai+1,j,2*ai+1,j+1,2, ai+1,j,3*ai+1,j+1,3, ai+1,j,4*ai+1,j+1,4, ai+1,j,5*ai+1,j+1,5) 其中各个元素之间的运算按上述合成的规则应为: 1*0=1,0*1=1,1*1=0,0*0=0, 如 A2,1= A3,1?A3,2=(1,1,0,0,1)?(0,1,1,0,1)=(1,0,1,0,0)。 由此可得 A1,1= A2,1?A2,2=(1,0,1,0,0)?(0,0,0,1,1)=(1,0,1,1,1)。它 刚好就是选项 C 的图形。 元素的合成运算“*”具有封闭性,满足交换律、结合律。??? 18 分 6.(满分 18 分) 初赛时,我们讨论过长方形纸质的牛奶包装盒问题。它 们都是由一张较厚的长方形(或正方形)纸通过折叠、粘贴(不用裁开)做 成的。 现在我们仍用此法制做包装盒, 选用的纸材料是边长为 a cm 的正方形, 粘盒时, 纸张边缘粘贴的宽度为 d cm。 所作的包装盒的宽为 x cm, 厚为 y cm, 高为 z cm,包装盒的容积等于 V ml。如果给定包装盒的容积,请你给出正方 形包装纸的长度 a 与包装盒(长方体)的厚度 y 及容积 V 之间的关系。 解:按照市场上长方体盒装奶的包装盒的制作方式将有 2x + 2y +d = a, z +y +2d =a, 于是,V = x y z = y [ 即 程
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(1) (2)

y a?d –y][(a?2d)?y]= [a ? (2 y ? d )][ a ? ( y ? 2d )] 2 2

[a ? (2 y ? d )][a ? ( y ? 2d )] ? 2V y

(3)

为求出 a 与 y 及 V 之间的关系,将(3)式变形为关于变量 a 的二次方

(4)? 5 分 a 2 ? [(2 y ? d ) ? ( y ? 2d )]a ? (2 y ? d )( y ? 2d ) ? 2V y ? 0 。 求解得

a1, 2 ?

3( y ? d ) ? ( y ? d ) 2 ? 8V y 2

(5)

还需要寻求这两个解中满足问题要求的情况。如果方程(4)的两个根同号, 必须有(2y+d) (y+2d)?2V/y>0, 即 (2y+d) (y+2d) y>2V (6)???? 15 分 对于由正方形纸折成的长方型的包装盒我们不妨设 y≤x≤z。 再结合 (1) 式可知有 2y ≤x+y =
1 (a?d)≤2x。由于问题中的 d 为粘贴的宽度,数值相对 2

较小。为保证 y<x 成立,我们将 x 稍许放大取 x> y+ 由(2)式可知有 y ≤
d 1 ≤ (a+d)<x 4 2

1 (a+d),则有 4

a a ?d ≤ z。我们取 z> +d,则有 2 2

y+2d ≤

a +d <z 2

由此可得(2y+d)(y+2d)y<2xyz=2V。????????????? 15 分 它表明在条件 y<x<z 下,一般来说不等式(6)不成立。因此二次方程 问题中的解 a2 不可能是正值,不是我们所需要的解。 于是可得包装纸的长度 a 与包装盒的厚度 y 之间的关系为

a?

3( y ? d ) ? ( y ? d ) 2 ? 8V y 2

。?????? 18 分

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