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【恒心】河北省石家庄市2015届高三复习教学质量检测一数学(理科)试题及参考答案【首发精品版】


石家庄市 2015 届高三第一次质量检测数学理科答案
一、 选择题:1-5CBCDA 6-10DADBC 14. ?1 11-12BA 15. 2 2 16. 3602 二、填空题:13. y ? 2 x ? 4 三、解答题 17.

a b ? ............2分 sin A sin B sinA=sin2B=2sinBcosB.

........4分 sin A a 3 ? cos B ? ? ? .............6分 2sin B 2b 4 a2 ? c2 ? b 2 9 ? c2 ? 4 cos B ? ? 2ac 6c 2 2c ? 9c ? 10 ? 0.................8分 5 解得c ? 2或c= ............9分 2 解: A ? 2B,

因为 c=2,不合题意舍去,所以 c ?

5 .....................................10 分 2
2

18 . 解 (1) 设 {an } 的 公 差 为 d , 由 题 意 得 (3 ? 3d ) ? 3(3 ? 12d ) , 得 d ? 2 或

d ? 0 (舍),……………………2 分
所以 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? (n ? 1) 2 ? 2n ? 1 ……………………4 分 (2) bn ? 2n an ? (2n ? 1)2n

S n ? 3 21 ? 5 22 ? 7 23 ?

? (2n ? 1) 2 n ………………①

2Sn ? 3 22 ? 5 23 ? 7 24 ?

? (2n ?1) 2n?1 …………②……………………6 分
? 2 2n ? (2n ? 1) 2 n ?1 …………………8 分

① -② 得 ? S n ? 3 21 ? 2 22 ? 2 23 ?

2(1 ? 2n ) ? (2n ? 1) 2n ?1 1? 2 ? ?2 ? (2n ? 1) 2n +1 ? 2?2
∴S n ? (2n ? 1) 2 n ?1 ? 2 ……………………12 分

……………………10



19. 解: (1) 解:a=6 b=10……………………………2 分

……….5 分 (2)P(Y=0)=
2 1 1 2 C 28 C 28 C12 C12 63 28 11 P ( Y=1 ) = P ( Y=2 ) = ? ? ? 2 2 2 65 C 40 130 C 40 C 40 130

Y P

0

1

2

…………………11 分 20

63 28 130 65 3 E (P)= .…………………………12 分 5

11 130

(1) 分 别 取 PA 和 AB 中 点 M 、 N , 连 接 MN 、 ME 、 NF , 则

z P

1 1 AD , ME∥ = 2 AD ,所以 NF∥ = ME , 2 -------------2 ? 四边形 MEFN 为平行四边形.
NF∥ =
? EF∥MN ,又 EF ? 平面PAB, MN ? 平面PAB, ? EF ∥平面PAB .

M

E

A

H D F y

- ------------4 (2) 由 已 知 得 , 底 面 ABCD 为 正 方 形 , 侧 棱 PA ⊥底 面 ABCD , 所 以 AP,AB,AD 两两垂直. 如图所示,以 A 为坐标原点,分别以 AB, AD, AP 为 x轴,y轴,z轴 的正方
B x

N C

向 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A ? xyz , 所 以 P (0, 0, 1), A(0, 0, 0, ), B(1, 0, 0), C (11 , , 0), D (0, 1 , 0) ,

1 1 1 1 E (0, , ), F ( , , 0) , 2 2 2 2 1 1 1 1 所以, EF ? ( , 0, ? ) , AE ? (0, , ), AB ? (1, 0, 0) ,- ------------6 2 2 2 2
设平面 ABE 法向量 n ? (a, b, c) , n AE ? 0, n AB ? 0,

1 ?1 ? b? c ?0 所以 ? 2 令 b ? 1, 则a ? 0, c ? ?1 2 ? ?a ? 0
所以 n ? (0,1, ?1) 为平面 ABE 的一个法向量 设直线 EF 与平面 ABE 所成角为 ? , 于是 sin ? ? cos ? EF , n ? ? -------------8

EF n EF n

?

1 .-------------10 2

所以直线 EF 与平面 ABE 所成角为 解法 2 在平面 PAD 内作 EH ∥PA于H , 因为侧棱 PA ⊥ 底面 ABCD , 所以 EH ⊥ 底面 ABCD . -------------6

?
6

. -------------12

E 为 PD 的中点, EH ?

1 ,S 2

ABF

1 1 1 ? ? 1? ? 2 2 4
-------------8

1 1 1 1 1 VE ? ABF ? S ABF EH ? ? ? ? 3 3 4 2 24 设点 F 到平面 ABE 的距离为 h

VE ? ABF ? VF ? ABE , S
1 S 3
h?

ABE

1 1 2 2 ? ? AB ? AE ? ? 1? ? 2 2 2 4
h,

ABF

1 EH ? S 3

ABE

2 . 4

-------------10

设直线 EF 与平面 ABE 所成角为 ? ,

sin ? ?

h 1 ? ? ,所以直线 EF 与平面 ABE 所成角为 . EF 2 6

-------------12

21.解: (1) 设A ( x0 , 0) , B (0,y0 ) , P ( x, y ) , 由 BP ? 2 PA 得,( x, y ? y0 ) ? 2( x0 ? x, ? y ) ,

3 ? ? x ? 2( x0 ? x) ? x0 ? x 即? ?? 2 ,————————————————————2 分 ? y ? y0 ? ?2 y ? y ? 3 y ? 0

又因为 x0 2 ? y0 2 ? 9 ,所以 ( x) 2 ? (3 y ) 2 ? 9 ,化简得: 程。

3 2

x2 ? y 2 ? 1 ,这就是点 P 的轨迹方 4

————————————————————4 分

(2)当过点(1,0)的直线为 y ? 0 时, OM ON ? (2, 0) (-2, 0) ? ?4

当过点(1,0)的直线不为 y ? 0 时可设为 x ? ty ? 1 ,A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 )联

? x2 2 2t ? ? y ?1 2 2 立? 4 并化简得: (t ? 4) y ? 2ty ? 3 ? 0 ,由韦达定理得: y1 ? y2 ? ? 2 , t ? 4 ? x ? ty ? 1 ?
y1 y2 ? ? 3 , t ?4
2

————————————————————6 分

OM ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? (ty1 ? 1)(ty2 ? 1) ? y1 y2 ? (t 2 ? 1) y1 y2 ? t ( y1 ? y2 ) ? 1
所以

? (t 2 ? 1)

?3 ?2t ?4t 2 ? 1 ?4(t 2 ? 4) ? 17 17 ? t ? 1 ? ? ? ?4 ? 2 2 2 2 2 t ?4 t ?4 t ?4 t ?4 t ?4
————————————————————10 分
2 2

又 由 ? ? 4t ? 12(t ? 4) ? 16t ? 48 ? 0 恒 成 立 , 所 以 t ? R , 对 于 上 式 , 当 t
2

? 0 时,

?OM ON ?
22.

max

?

1 4
1 …………………………………………12 分 4

综上所述 OM ON 的最大值为

解: (Ⅰ ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) , 当 a ? 3 时, f ?( x) ? 当0 ? x ? 当

1 1 ? 2 x 2 ? 3x ? 2x ? 3 ? x x

1 或 x ? 1 ,时, f ?( x) ? 0 ,........................2 分 2

1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 .......... 2 1 1 ? f ( x) 的单调递增区间为 (0, ), (1, ??) ,单调递减区间为 ( ,1) ..........4 分 2 2
(Ⅱ ) f ?( x) ?
2

1 1 ? 2 x 2 ? ax ? 2x ? a ? x x

令 u ( x) ? 2 x ? ax ? 1 ,则 ? ? a 2 ? 8 ,

1 当 ? ? 0 ,即 ?2 2 ? a ? 2 2 时, f ?( x) ? 0 ,
? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,此时 f ( x) 无极值; ..............5 分

2 当 ? ? 0 ,即 a ? ?2 2 时, f ?( x) ? 0 ,
? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,此时 f ( x) 无极值.............6 分

3 当 ? ? 0 ,即 a ? ?2 2 或 a ? 2 2 时,

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , x2 ? 方程 u ( x) ? 0 有两个实数根 x1 ? 4 4
若 a ? ?2 2 ,两个根 x1 ? x2 ? 0 ,此时, 则当 x ? (0, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,

? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,此时 f ( x) 无极值.................7 分
若 a ? 2 2 , u ( x) ? 0 的两个根 x1 ? 0, x2 ? 0 ,不妨设 x1 ? x2 ,则 当 x ? (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) 单调递增, 当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ( x1 , x2 ) 上单调递减, 则 f ( x) 在 x ? x1 处取得极大值,在 x ? x2 处取得极小值, 且 x1 ? x2 ?

a 1 , x1 x2 ? 2 2

k?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x1 ? x12 ? ax1 ? ln x2 ? x2 2 ? ax2 ? x1 ? x2 x1 ? x2

?

ln x1 ? ln x2 ln x1 ? ln x2 a ? ( x1 ? x2 ) ? a ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 2 ln x1 ? ln x2 a 2 a ? ? ? x1 ? x2 2 a 2 ln x1 ? ln x2 2 1 ……………………(*)............9 分 ? ? x1 ? x2 a x1 ? x2

?



x1 ?1 x1 x1 ? x2 x2 ? ? 即 ln x2 x1 ? x2 x1 ? 1 x2



x1 t ?1 ? t ? (0,1) ,则上式等价于: ln t ? t ?1 x2

令 g (t ) ? (t ? 1) ln t ? t ? 1

t ?1 1 ? 1 ? ln t ? t t 1 令 m(t ) ? ln t ? t 1 1 t ?1 m?(t ) ? ? 2 ? 2 ? 0 t t t
则 g ?(t ) ? ln t ?

? m(t ) 在区间 (0,1) 上单调递减,且 m(t ) ? m(1) ? 1 ? 0 ,
即 g ?(t ) ? 0 在区间 (0,1) 恒成立

? g (t ) 在区间 (0,1) 上单调递增,且 g (t ) ? g (1) ? 0
? 对 ?t ? (0,1) ,函数 g (t ) 没有零点,

t ?1 在 t ? (0,1) 上没有实根,.....................11 分 t ?1 2 a 即(*)式无解,? 不存在实数 a ,使得 k ? ? . ..............12 分 a 2
即方程 ln t ?


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