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高中数学-空间向量在立体几何中应用-李君浩


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环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义
讲义编号: ______________ 副校长/组长签字: 学 员 编 号 : 学 员 姓 名 : 课 题 年 级 : 课 签字日期: 时 数 :

辅 导 科 目 : 空间向量在立体几何中的应用

学 科 教 师 :

/>授课日期及时段 教 学 目 的 重 难 点 进一步理解空间向量在立体几何中的应用, 解决平行和垂直两个问题, 利用向量解 决立体几何问题培养数形结合的思想方法。 用空间向量解决平行与垂直问题的向量表现形式。向量运算结果与几何问题的转 化。

【考纲说明】
1.理解直线的方向向量和平面的法向量。 2.能用向量语言表述线与线、线与面、面与面的的平行和垂直关系。 3.掌握空间响亮的数量积和坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直。 4.能用向量方法解决线与线、线与面、面与面的夹角问题。

【趣味链接】
向量又称为矢量,最初被应用于物理学.很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度 等都是向量.大约公元前 350 年前,古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量,两个力的 组合作用可用著名的平行四边形法则来得到. “向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使 用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿. 从数学发展史来看,历史上很长一段时间,空间的向量结构并未被数学家们所认识,直到 19 世纪 末 20 世纪初,人们才把空间的性质与向量运算联系起来,使向量成为具有一套优良运算通性的数学体 系. 向量能够进入数学并得到发展,首先应从复数的几何表示谈起.18 世纪末期,挪威测量学家威塞 尔首次利用坐标平面上的点来表示复数 a+bi,并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算.把 坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题.人们逐步接受了 复数,也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量,向量就这样平静地进入了数学.

【知识梳理】 一.方向向量和法向量

1

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1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间 直角坐标系中,由 A(x1,y1,z1)与 B(x2,y2,z2)确定的直线 AB 的方向向量是 ??? ? AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )
B

A

y

2.平面的法向量
x

如果表示向量 n 的有向线段所在的直线垂直于平面α ,称这个向量垂直于平 面α ,记作 n⊥α ,这时向量 n 叫做平面α 的法向量

3.
在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?

如图,设 a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α 内的两个不共线的非零向 量,由直线与平面垂直的判定定理知,若 n⊥a 且 n⊥b,则 n⊥α .换句话说,若 n·a = 0 且 n·b = 0,则 n⊥ α .

4.求平面的法向量的坐标的一般步骤: 第一步(设):设出平面法向量的坐标为 n=(x,y,z).

2

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第二步(列):根据 n·a = 0 且 n·b = 0 可列出方程组 第三步(解):把 z 看作常数,用 z 表示 x、y. 第四步(取):取 z 为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量 n 的坐标. 求空间中的角 两异面直线的夹角 利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两 条异面直线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我 们仅取锐角或直角就行了.

3)二面角 设 n1 、n2 分别是二面角两个半平面α 、β 的法向量,由几何知识可知,二面 角α -L-β 的大小与法向量 n1 、n2 夹角相等(选取法向量竖坐标 z 同号时相 等)或互补(选取法向量竖坐标 z 异号时互补) ,于是求二面角作的大小可转 化为求两个平面法向量的夹角,这样可避免了二面角的平面角的图麻烦.
n1 α n2 β n2 n1

3.求解空间中的距离 1)异面直线间的距离

3

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两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接 计算. 如图,设两条异面直线 a、b 的公 垂线的方向向量为 n, 这时分别在 a、b 上任取 A、B 两点,则向量在 n 上的正射影长就是两条异面直线 a、b 的距离. ∴
d ?| AB ? n | AB ? n | |? , | n| | n|
B b n a A

即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向 向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值. 【经典例题】 1.2009 年(18) (本小题满分 12 分)
如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、 E 1 、F 分别是棱 AD、AA 1 、AB 的中点。 (1) 证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。 E1
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

D1 A1

C1 B1

D E F

C B

A 2.2011 年 19. (本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形,

E

F

G A M D

?ACB ? 900 , EA ? 平面 ABCD , EF / / AB ,

FG / / BC , EG / / AC , AB ? 2EF .
(Ⅰ) M 是线段 AD 的中点, 若 求证: GM / / 平面 ABFE ;

B

C

4

中国教育培训领军品牌 (Ⅱ)若 AC ? BC ? 2AE ,求二面角 A ? BF ? C 的大小. 3.(2010·广东高考理科·T10)若向量 a =(1,1,x), b =(1,2,1),

r

r

r r r r c =(1,1,1),满足条件 (c ? a) ? (2b ) =-2,则

x=

.

4.(2010·浙江高考理科·T20)如图, 在矩形 ABCD 中,点 E , F 分别在线段

AB, AD 上, AE ? EB ? AF ?
面 A EF ? 平面BEF .
'

2 FD ? 4 .沿直线 EF 将 VAEF 翻折成 V A' EF , 3

使平

(Ⅰ)求二面角 A' ? FD ? C 的余弦值; (Ⅱ)点 M , N 分别在线段 FD, BC 上,若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折,使 C 与 A 重合,求线段 FM 的长。 5. (2010·陕西高考理科·T18) 如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形 PA⊥平面 ABCD, =AB=2, BC= 2 2 , AP
'

E,F 分别是 AD,PC 的中点.
(Ⅰ)证明:PC⊥平面 BEF; (Ⅱ)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小。 6.(2010·辽宁高考理科·T19)已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥ABC,AB⊥AC, PA=AC=

1 AB,N 为 AB 上一点,AB=4AN,M,S 分别 为 PB,BC 的中点. 2

(Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.

7.(2010·安徽高考理科·T18)如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是
形, EF ∥ AB , EF ? FB , AB ? 2EF , ?BFC ? 90? , BF ? FC , H 为 BC 的中点。 (1)求证: FH ∥平面 EDB ; (2)求证: AC ? 平面 EDB ;
D H B E F C G A

正方

(3)求二面角 B ? DE ? C 的大小。 8.(2010·山东高考理科·T19)如图,在五棱锥 P—ABCDE 中,

P
BC =2AE

PA⊥平面 ABCDE,AB∥CD,AC∥ED,AE∥BC, ? ABC = 450,AB = 2 2 ,

A
5

E

D
B
C

中国教育培训领军品牌 = 4,三角形 PAB 是等腰三角形. (1)求证:平面 PCD⊥平面 PAC; (2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小; (3)求四棱锥 P—ACDE 的体积. 9.(2010·天津高考理科·T19) 如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别是棱 BC , CC1 上的点, CF ? AB ? 2CE , AB : AD : AA1 ? 1: 2 : 4 (1) 求异面直线 EF 与 A1 D 所成角的余弦值; (2) 证明 AF ? 平面

A1 ED

(3) 求二面角 A1 ? ED ? F 的正弦值。

10. (2010·福建高考理科·T18) 如图, 圆柱 OO 内有一个三棱柱 ABC-A B C ,
1 1 1 1

三棱柱的底

面为圆柱底面的内接三角形,且 AB 是圆 O 的直径。 (I)证明:平面 A1ACC1 ? 平面 B1BCC1; (II)设 AB=AA1,在圆柱 OO1 内随机选取一点,记该点取自三棱柱 内的概率为 p。 (i)当点 C 在圆周上运动时,求 p 的最大值; (ii)记平面 A1ACC1 与平面 B1OC 所成的角为 ? ( 0 ? ? ? 90 ) 。当 p 取最大值时,求 cos ? 的值。
0 0

ABC-A1B1C1

【课堂练习】 1.. BC =-2 a +8 b , AB = a +5 b , CD =3 a -3 b ,则(
A A、B、C 三点共线 C A、C、D 三点共线
?

?

?

?

?

?

?

?

?

?



B A、B、D 三点共线 D B、C、D 三点共线
? ? ? ? ? ?

2.设向量 a =(1,2), b =(x,1),当向量 a +2 b 与 2 a - b 平行时, a ? b 等于( A

?

)

5 2

B1

C2

D

7 2

6

中国教育培训领军品牌 3.如果向量 a ? (k , 1) 与 b ? (4, k ) 共线且方向相反,则 k ? ( A ?2 B ?2 C2 D0
?

?

?



4.若 m ? 4, n ? 6 , m 与 n 的夹角是 135 ,则 m ? n 等于( ) A.12 B. 12 2 C. ? 12 2 D. ? 12

5.已知向量 a ? (2,3) , b ? ( ?4, 7) ,那么 a 在 b 方向上的投影为( )

?

?

?

?

A

65 5

B

13 5

C 65

D 13

【课后作业】 1.(2008 海南、宁夏理)如图,已知点 P 在正方体 ABCD-A B C D 的对角线 BD 上,∠PDA=60°。
1 1 1 1 1

(1)求 DP 与 CC1 所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小。D
A1

1

C1 B1

P

D

C

A

B

2.(2008 安徽文)如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 四边长为 1 的 菱形,?ABC ?

?
4

, OA ? 底面ABCD ,

OA ? 2 , M 为 OA 的中点。
(Ⅰ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 ; (Ⅱ)求点 B 到平面 OCD 的距离。

O

M

A B C

D

3.(2005 湖南文、理)如图 1,已知 ABCD 是上、下底边长分别为 2 和 6,高为 3 的等腰梯形,将它沿对称轴 OO1 折成直二面角,如图 2。

O1 D O1 C
7

C

D O B

中国教育培训领军品牌 (Ⅰ)证明:AC⊥BO1; (Ⅱ)求二面角 O-AC-O1 的大小。

4. 2007 安徽文、 ( 理)如图,在六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,四边形 A1 B1C1 D1 是边长 为 1 的正方形, DD1 ? 平面 A1 B1C1 D1 , DD1 ? 平面 ABCD,DD1=2。 (Ⅰ)求证: A1C1 与 AC 共面, B1 D1 与 BD 共面. (Ⅱ)求证:平面 A1 ACC1 ? 平面B1 BDD1 ; (Ⅲ)求二面角 A ? BB1 ? C 的大小.

5.(2007 海南、宁夏理)如图,在三棱锥 S ? ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形,?BAC ? 90° ,O 为 BC 中点. (Ⅰ)证明: SO ? 平面 ABC ; S (Ⅱ)求二面角 A ? SC ? B 的余弦值.

O

C

B

A

6.(2007 四川理)如图, PCBM 是直角梯形,∠ PCB =90°, PM ∥ BC , PM =1, BC =2,又 AC =1,∠ ACB =120°, AB ⊥ PC ,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°. (Ⅰ)求证:平面 PAC ⊥平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 M ? AC ? B 的大小; (Ⅲ)求三棱锥 P ? MAC 的体积.

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7.(2006 全国Ⅰ卷文、理)如图, l1 、 l 2 是互相垂直的异面直线,MN 是它们的公垂线段.点 A、B 在 l1 上,C 在 l 2 上,

AM ? MB ? MN 。 (Ⅰ)证明 AC⊥NB; (Ⅱ)若 ?ACB ? 60O ,求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值。

l2

C

l1 A M

H N B

CA 8. (2006 福建文、 如图, 理) 四面体 ABCD 中, E 分别是 BD、 的中点, ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? O、 BC
(I)求证: AO ? 平面 BCD; (II)求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小; A (III)求点 E 到平面 ACD 的距离。
D O B E C

2.

【课后反馈】
本次______________同学课堂状态:_________________________________________________________________ 本次课后作业:___________________________________________________________________________________ 需要家长协助:____________________________________________________________________________________

9

中国教育培训领军品牌 家长意见:________________________________________________________________________________________

【参考答案】 经典例题 1.1)因为 AB=4, BC=CD=2, F 是棱 AB 的中点,
所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形, 因为 ABCD 为 等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取 AF 的中点 M, 连接 DM,则 DM⊥AB,所以 DM⊥CD, 以 DM 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系, ,则 D(0,0,0),A( 3 ,-1,0),F( 3 ,1,0),C(0,2,0),

C1 (0,2,2) ( ,E

设 平 面

???? ? ???? ? ???? ??? ? 3 1 3 1 , ? ,1) , CF ? ( 3, ?1, 0) , CC1 ? (0, 0, 2) FC1 ? (? 3,1, 2) , ? ,0) 1 ,E ( 3 ,-1,1) ,所以 EE1 ? ( 2 2 2 2 ? ??? ? ? ? ? n ? CF ? 0 ? 3x ? y ? 0 ? ? CC1F 的 法 向 量 为 n ? ( x, y, z ) 则 ? ? ???? 所 以 ? 取 n ? (1, 3, 0) , 则 ? ? z?0 ? ?n ? CC1 ? 0 ?

? ???? ? ???? 3 1 n ? EE1 ? ?1 ? ? 3 ? 1? 0 ? 0 ,所以 n ? EE1 ,所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 . 2 2 ?? ??? ? ?? ??? ? ? n1 ? FB ? 0 ? ( 2 ) FB ? (0, 2, 0) , 设 平 面 BFC1 的 法 向 量 为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则 ? ?? ???? 所以 ? ?n1 ? FC1 ? 0 ? ?? ? ?? n1 ? (2, 0, 3) ,则 n ? n1 ? 2 ?1 ? 3 ? 0 ? 0 ? 3 ? 2 ,
w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

y1 ? 0 ? ? ,取 ? ? ? 3 x1 ? y1 ?2 z1 ? 0 ?

? ?? | n |? 1 ? ( 3) 2 ? 2 , | n1 |? 2 2 ? 0 ? ( 3) 2 ? 7 ,

w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

? ?? ? ?? n ? n1 2 7 7 ? 所以 cos? n, n1 ? ? ? ??? ? ,由图可知二面角 B-FC 1 -C 为锐角,所以二面角 B-FC 1 -C 的余弦值为 。 7 7 | n || n1 | 2 ? 7
2.坐标法: (Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为平行四边形, ?ACB ? 90 , EA ? 平面 ABCD ,可得以点 A 为坐标原点,
0

AC, AD, AE 所在直线分别为 x, y, z 建立直角坐标系,
设 AC =a, AD ? b, AE ? c ,则 A(0,0,0) , C (a, 0, 0), D(0, b, 0), M (0, b, 0), B(a, ?b, 0) .

1 2 ???? ???? ??? ???? ? ? ? ???? 1 ??? ??? 1 ???? ? ? ???? ??? ? ???? 由 FG / / BC 可得 FG ? ? BC ? ? AD( ? ? R) , GM ? GF ? FA ? AM ? ? ? AD ? BA ? EA ? AD 2 2 ???? 1 ??? ??? ? ? ? 1 1 ? (? a, (1 ? ? )b, ?c) ,则 ? ? ? ? , GM ? BA ? EA ,而 GM ? 平面 ABFE , 2 2 2
由 EG / / AC 可得 EG ? ? AC (? ? R) , GM ? GE ? EA ? AM ? (?? a, b, ?c)

??? ?

????

???? ?

??? ??? ???? ? ? ?

1 2

10

中国教育培训领军品牌 所以 GM / / 平面 ABFE ; (Ⅱ) (Ⅱ)若 AC ? BC ? 2 AE ,设 AE ? 1 ,则 AC ? BC ? 2 ,

??? ???? ? ??? ? C (2, 0, 0), E(0, 0,1), B(2, ?2, 0), F (1, ?1,1) ,则 BC ? AD ? (0, 2, 0) , BF ? (?1,1,1) , ??? ? AB ? (2, ?2, 0) ,设 n1 = ( x1 , y1 , z1 ), n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 分别为平面 ABF 与平面 CBF 的法向量。
则?

? 2 x1 ? 2 y1 ? 0 ,令 x1 ? 1 ,则 y1 ? 1, z1 ? 0 , n1 = (1,1,0) ; ? ? x1 ? y1 ? z1 ? 0

? 2 y2 ? 0 ,令 x2 ? 1 ,则 y2 ? 0, z2 ? 1 , n2 ? (1, 0,1) 。 ? ? ? x2 ? y2 ? z2 ? 0
于是 cos ? n1 ,n2 ??

n1 ? n2 1 ? ,则 ? n1 ,n2 ?? 60? , n1 ? n2 2
?

即二面角 A ? BF ? C 的大小为 60 。 3. c ? a ? (0,0,1 ? x) , 2b ? (2 , 4 , 2) ,由 (c ? a ) ? (2b) ? ?2 得 (0,0,1 ? x) ? (2, 4, 2) ? ?2 ,即 2(1 ? x) ? ?2 ,解得 x ? 2. 【答案】2 4. 解: (Ⅰ)取线段 EF 的中点 H,连结 A H ,因为 A E = A F 及 H 是 EF 点,所以 A H ? EF ,又因为平面 A EF ? 平面 BEF .
' ' ' ' '

? ?

?

r

r

r





如图建立空间直角坐标系 A-xyz,则 A ' (2,2, 2 2 ) ,C(10,8,
?

0 ), F (6,0,

(4,0,0) ,D(10,0,0).
?

故 FA =(-2,2,2 2 ) FD = ,

'

?

' 0 ) . 设 n = ( x,y,z ) 为 平 面 A FD 的 一 个 法 向 量 , 所 以

? ?2 x ? 2 y ? 2 2 z ? 0 ? 。 ? ?6 x ? 0 ?
取z ?

? 2 ,则 n ? (0, ?2, 2) 。

? ? n ?m 3 ? ? ? 又平面 BEF 的一个法向量 m ? (0, 0,1) ,故 cos? n , m? ? ? ? ? 。 n ?m 3
所以二面角的余弦值为

3 3

11

中国教育培训领军品牌 (Ⅱ)设 FM ? x, BN ? a ,则 M (4 ? x,0,0) , N (a,8,0) , 因为翻折后, C 与 A ' 重合,所以 CM ? A ' M , CN ? A ' N , 故, ?
2 2 ?(6 ? x)2 ? 82 ? 02 =(? 2 ? x)? 22 ? 2 2) ( ? 2 2 2 2

?(10 ? a) ? (2 ? a) ? 6 ? (2 2) ? 21 所以 FM ? 。 4

,得 x ?

21 13 ,a ? , 4 4

5. 解: (Ⅰ) 如图, A 为坐标原点, AD, 所在的直线分别为 x, z 轴建立空间直角坐标系.∵AP=AB=2, BC= 2 2 , 以 AB, AP y, 四边形 ABCD 是矩形. ∴A,B,C,D 的坐标为 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 2 ,0),D(0, 2 2 ,0),P(0,0,2) 又 E,F 分别是 AD ,PC 的中点, ∴E(0, 2 ,0),F(1, 2 ,1). ∴ PC =(2, 2 2 ,-2) BF =(-1, 2 ,1) EF =(1,0, 1) , ∴ PC · BF =-2+4-2=0, PC · EF =2+0-2=0, ∴ PC ⊥ BF , PC ⊥ EF , ∴PC⊥BF,PC⊥EF, BF ? EF ? F , ∴PC⊥平面 BEF (II)由(I)知平面 BEF 的法向量 n1 ? PC ? (2, 2 2, ?2), 平面 BAP 的法向量 n2 ? AD ? (0, 2 2, 0), ? n1 ?n2 ? 8,
[来源:Zxxk.Com]

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??

??? ?

?? ?

????

?? ?? ?

?? ?? ? n1 ?n2 ?? ?? ? 8 2 ? , 则 cos ? ? cos n1 , n2 ? ?? ?? ? ? 2 n1 n2 4 ? 2 2
∴ ? ? 45 , ∴ 平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45
0

设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 ? ,

0

6.。解:设 PA=1,以 A 为原点,射线 AB、AC、AP 分别为 x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标系,如图。 则 P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0, (I)

1 1 1 ),N( ,0,0),S(1, ,0) 2 2 2

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???? ? ? 1 ??? 1 1 CM ? (1, ?1, ), SN ? (? , ? , 0), 2 2 2 ???? ??? ? ? 1 1 因为CM ?SN ? ? ? ? 0 ? 0 2 2 所以CM ? SN ???? 1 (II) NC ? ( ? ,1, 0), 2 ? 设a ? ( x, y, z )为平面CMN的一个法向量, z ? ? ?x ? y ? 2 ? 0 ? 则? 令x ? 2, 得a ? (2,1, ?2) ?? 1 x ? y ? 0 ? 2 ? 1 -1? ??? ? 2 ? 2 因为|cos ? a SN ? |= 2 2 3? 2 所SN与平面CMN所成的角为45o
?四边形ABCD为正方形, AB ? BC , 又 ? EF ? FB, EF // AB,? AB ? FB, 且BC ? FB ? B, ? ? AB ? 平面FBC ,? AB ? FH , 又BF ? FC , H 为BC中点, FH ? BC , ? 且AB ? BC ? B,
7.? FH ? 平面ABC .

??? ???? ???? ? 如图,以H 为坐标原点,分别以HB、 、 的方向为 GH HF x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系,

令 8. BH ? 1, 则A(1, ?2,0), B(1,0,0), C (?1,0,0), D(?1, ?2,0), E(0, ?1,1), F (0,0,1).
(1)

?? ? 设AC与BD的交点为G,连接GE、GH,则G(0,-1,0), GE ? (0, 0,1), ? ???? ?? ???? ? 又 ? HF ? (0, 0,1),? GE // HF GE ? 平面EDB,HF ? 平面EDB,? HF // 平面EDB
(2)

???? ?? ? ???? ?? ? ? AC ? (?2, 2, 0), GE ? (0, 0,1),? AC ?GE ? 0,? AC ? GE. 又AC ? BD,且GE ? BD=G, AC ? 平面EBD. ?
(3)

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?? ? 设平面BDE的法向量为n1 ? (1, y1 , z1 ), ??? ? ??? ? ? BE ? (?1, ?1,1), BD ? (?2, ?2, 0). ??? ?? ? ? ? BE ?n1 ? 0 ??1 ? y1 ? z1 ? 0 ? 由 ? ??? ?? ,即 ? ,得y1 ? ?1,z1 ? 0, ? ? ? BD ?n1 ? 0 ? ?2 ? 2 y1 ? 0 ? ?? ? ? n1 ? 1, 1,0) ( ? ?? ? 设平面CDE的法向量为n 2 ? (1, y2 , z2 ), ??? ? ??? ? ? CD ? (0, ?2, 0), CE ? (1, ?1,1). ??? ?? ? ? ?CD ?n 2 ? 0 ? y2 ? 0 ? 由 ? ??? ?? ,即 ? ,得y2 ? 0,z2 ? ?1, ? ? CE ?n 2 ? 0 ?1 ? y2 ? z2 ? 0 ? ? ?? ? ? n 2 ? 1, ) ( 0,-1 ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ?n2 1 1 ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? ? , | n1 || n2 | 2 2 2 ?? ?? ? ?? n1 , n2 ?? 60? ,即二面角B-DE-C为60?。
8. 由(1)知平面 PCD⊥平面 PAC,所以在平面 PAC 内,过点 A 作 AH ? PC 于 H,则

AH ? 平面PCD ,又 AB∥CD,AB ? 平面 PCD 内,所以 AB 平行于平面 PCD ,所以点 A 到平面 PCD 的距离等于点 B
到平面 PCD 的距离.因为△PAB 是等腰三角形,所以 PA = AB =2 2 ,因此 PB = 4,在 Rt△PAC 中,PA =2 2 ,AC = 2 2 ,所以 PC = 4,故 PC 边上的高 AH=2 ,此即为点 A 到平面 PCD 的距离,设直线 PB 与平面 PCD 所成角为 ? ,所以

sin ? ?

h 2 1 ? ? ? ?? ? ? ,又 ? ? ?0, ? ,所以 ? ? , 即直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为 ; 6 PB 4 2 6 ? 2?

2) 由(1)知 AB,AC,AP 两两相互垂直,分别以 AB,AC,AP 为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 由于△PAB 是等腰三角形,所以 PA = AB =2 2 ,又 AC = 2 2 ,因此 A(0,0,0),B(2 2 ,0,0),C(0,2 2 ,0), P(0,0, 2 ), 因为 CD ? AC , AC∥ED, 2 又 所以四边形 ACDE 是直角梯形, 因为 AE = 2 , AE∥BC, 所以∠BAE = 135°, 因此∠CAE = 45°.故 CD ? AE ? sin 45? ? 2 ?

??? ? 2 , ? 2, 所以 D(- 2 , 2 2 , 0).因此 CP ? (0,? 2 2 , 2 2 ) 2

??? ? ?? CD ? (? 2, 0, 0) ,设 m ? ( x, y, z ) 是平面 PCD 的一个法向量,则 ?? ??? ? ?? ??? ? ?? ??? ? m ? CP ? 0, m ? CD ? 0 ,解得 x ? 0, y ? z, 取 y ? 1, 得 m ? (0,1,1) ,又 BP ? (?2 2,0,2 2),
设 ? 表示向量 BP 与平面

??? ?

14

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?? ??? ? ?? m ? BP 1 ? ? ? PCD 的法向量 m 所成的角,则 cos ? ? ?? ??? ? ,所以 ? ? , 因此直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为 . 6 3 m BP 2
3) 由(1) CD ? 平面PAC ,所以 CD ? AC ,又 AC∥ED,所以四边形 ACDE 是直角梯形,因为 AE = 2,∠ABC = 45°, 知 AE ∥ BC , 所 以 ∠ BAE = 135 ° , 因 此 ∠ CAE = 45 ° . 故

CD ? AE ? sin 45? ? 2 ?

2 2 ? 2, ED ? AC ? AE ? cos 45? ? 2 2 ? 2 ? ? 2, 所 以 四 边 形 ACDE 的 面 积 为 2 2

1 1 ( 2 ? 2 2) 2 ? 3 ,又 PA⊥平面 ABCDE,所以四棱锥 P—ACDE 的体积为 ? 2 2 ? 3 = 2 2 . ? 3 2
9. 以 A 为坐标原点,AB 所在直线为 X 轴,AD 所在直线为 Y 轴建立空间直角坐标系(如图所示) ,设 AB ? 1 ,依题意得

? 3 ? D(0, 2,0) , F (1, 2,1) , A1 (0, 0, 4) , E ? 1, , 0 ? ? 2 ?

??? ???? ? ? ? ??? ? 1 ? ???? ? ??? ???? ? ? EF ?A1D 3 (1) 易得 EF ? ? 0, ,1? , A1 D ? (0, 2, ?4) ,于是 cos EF , A1 D ? ??? ???? ? ? , ? ? 5 ? 2 ? EF A1D
所以异面直线 EF 与 A1 D 所成角的余弦值为

3 。 5
? 3 ? ??? ? 1 ? , 4 ? , ED ? ? ?1, , 0 ? 2 ? 2 ? ?

(2) 证明:已知 AF ? (1, 2,1) , EA1 ? ? ?1, ?

??? ?

????

? ?

于是 AF · EA1 =0, AF · ED =0.因此, AF ? EA1 , AF ? ED ,又 EA1 ? ED ? E 所以 AF ? 平面 A1 ED

??? ?

????

??? ?

??? ?

?1 ? ??? ? ? ?2 y ? z ? 0 ?u ?EF ? 0 ? ? (3)解:设平面 EFD 的法向量 u ? ( x, y, z ) ,则 ? ? ??? ,即 ? ? ?u ?ED ? 0 ?? x ? 1 y ? 0 ? ? ? 2

15

中国教育培训领军品牌 不妨令 X=1,可得
? ?

。由(2)可知, AF 为平面 A1ED 的一个法向量。 u ? (1, 2 ?1)

?

?

于是 cos

u,AF

? 2 = u AF = ,从而 sin ? ? 3 |u||AF|

?

?

?

?

u,AF =

5 3

所以二面角 A1 -ED-F 的正弦值为 10.

5 3

? ? (I) A1 A ? 平面 ABC ,BC ? 平面 ABC , A1 A ? BC , AB 是 ? O 的直径, BC ? AB , ? A ?A ? 又 又 C A 1A ?



? BC ? 平面 A1 ACC1 ,而 BC ? 平面 B1 BCC1 ,所以平面 A1 ACC1 ? 平面 B1 BCC1 ;
2 3 (II) (i)设圆柱的底面半径为 r ,则 AB ? AA1 ? 2r ,故圆柱的体积为 V ? ?r ? 2r ? 2?r ,设三棱柱 ABC-A1B1C1,

的体积为 V1 ,所以 P ?

V1 ,所以当 V1 取得最大值时 P 取得最大值。又因为点 C 在圆周上运动,所以当 OC ? AB 时, V 1 1 ?ABC 的面积最大,进而,三棱柱 ABC-A1B1C1,的体积 V1 最大,且其最大值为 ? 2r ? r ? 2r ? 2r 3 ,故 P 的最大值为 ; 2 ?
建立空间

(ii)由(i)知, P 取最大值时, OC ? AB ,于是,以 O 为坐标原点,

,2 直角坐标系 O ? xyz ,则 C ?r ,0,0 ,? B 0, ,0 , ?B0,1 ? r ,r ?r

?

? BC ? 平面

A1 ACC1 ,


??? ? ? BC ? ? r , ? r , 0 ? 是平面 A1 ACC1 的一个法向量,设平面 B1OC 的法向量

? ???? ? ? n ? OC ? rx ? 0 ? n ? ? x, y, z ? ,由于 ? ? ???? ,? ? , ?ry ? 2rz ? 0 n ? OB1 ? ? ? 0 0 所以平面 B1OC 的一个法向量为 n ? ? 0, ?2,1? ,? 0 ? ? ? 90 ,
? ??? ? 10 ? cos ? ? cos n, BC ? 。 5
课堂练习 CDDCB 课后作业 1 .

45? . 30? .

16

中国教育培训领军品牌 2.

? 3
3.

2 3

以 cos ? ? cos ? n , BO1 >= n ? BO1 ? 3 . 4 | n | ? | BO1 | 4.? 二面角A ? BB1 ? C的余弦为 ? . 5.

1 5

3 3
6. arccos 8. 6 21 7. 3 7

arccos

2 . 4

21 7

17


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