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由递推公式求数列通项公式


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求数列通项公式的十种方法 数列通项公式的十种方法
一、公式法 例 1 已知数列 {an } 满足 an +1 = 2an + 3 × 2 , a1 = 2 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

an +1

an 3 a a a 3 = n + ,则 n +1 ? n = ,故数列 { n } 是 n +1 n +1 n 2 2 2 2 2 2 2n a 3 a 2 3 以 为公差的等差数列, 由等差数列的通项公式, n = 1 + ( n ? 1) , 得 n 以 1 = = 1 为首项, 1 2 2 2 2 2 3 1 n 所以数列 {an } 的通项公式为 an = ( n ? )2 。 2 2
解:an +1 = 2an + 3 × 2 两边除以 2
n n +1

,得

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an +1 = 2an + 3 × 2 转化为
n

an +1 an 3 ? = ,说明数列 2n +1 2n 2 a a 3 { n } 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出 n = 1 + (n ? 1) ,进而求出数列 n n 2 2 2 {an } 的通项公式。

二、累加法 例 2 已知数列 {an } 满足 an +1 = an + 2n + 1,a1 = 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 解:由 an +1 = an + 2n + 1 得 an +1 ? an = 2n + 1 则

an = (an ? an ?1 ) + (an ?1 ? an ? 2 ) + L + (a3 ? a2 ) + (a2 ? a1 ) + a1 = [2(n ? 1) + 1] + [2(n ? 2) + 1] + L + (2 × 2 + 1) + (2 ×1 + 1) + 1 = 2[(n ? 1) + (n ? 2) + L + 2 + 1] + (n ? 1) + 1 (n ? 1)n + (n ? 1) + 1 2 = (n ? 1)(n + 1) + 1 =2 = n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an = n 。
2

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an +1 = an + 2n + 1 转化为 an +1 ? an = 2n + 1 ,进而求 出 ( an ? an ?1 ) + ( an ?1 ? an ? 2 ) + L + ( a3 ? a2 ) + ( a2 ? a1 ) + a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。 例 3 已知数列 {an } 满足 an +1 = an + 2 × 3 + 1,a1 = 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

解:由 an +1 = an + 2 × 3 + 1 得 an +1 ? an = 2 × 3 + 1 则
n n

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an = (an ? an ?1 ) + (an ?1 ? an ? 2 ) + L + (a3 ? a2 ) + (a2 ? a1 ) + a1 = (2 × 3n ?1 + 1) + (2 × 3n ? 2 + 1) + L + (2 × 32 + 1) + (2 × 31 + 1) + 3 = 2(3n ?1 + 3n ? 2 + L + 32 + 31 ) + (n ? 1) + 3 3(1 ? 3n ?1 ) + (n ? 1) + 3 1? 3 = 3n ? 3 + n ? 1 + 3 =2 = 3n + n ? 1
所以 an = 3 + n ? 1.
n

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an +1 = an + 2 × 3 + 1 转化为 an +1 ? an = 2 × 3 + 1 ,
n n

进而求出 an = ( an ? an ?1 ) + ( an ?1 ? an ? 2 ) + L + ( a3 ? a2 ) + ( a2 ? a1 ) + a1 , 即得数列 {an } 的通 项公式。 例4 已知数列 {an } 满足 an +1 = 3an + 2 × 3 + 1 a1 = 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 ,
n n
n+1

解: an +1 = 3an + 2 × 3 + 1 两边除以 3 则

,得

an +1 an 2 1 = n + + n +1 , n +1 3 3 3 3

an +1 an 2 1 ? n = + n +1 ,故 n +1 3 3 3 3

an an a a an ? 2 an ? 2 an ?3 a2 a1 a = ( n ? n ?1 ) + ( n ?1 ? n ? 2 ) + ( n ? 2 ? n ?3 ) + L + ( 2 ? 1 ) + 1 n 3 3 an ?1 an ?1 3 3 3 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 3 = ( + n ) + ( + n ?1 ) + ( + n ? 2 ) + L + ( + 2 ) + 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2(n ? 1) 1 1 1 1 1 = + ( n + n + n ?1 + n ? 2 + L + 2 ) + 1 3 3 3 3 3 3 1 (1 ? 3n ?1 ) an 2(n ? 1) 3n 2n 1 1 因此 n = + +1 = + ? , 3 3 1? 3 3 2 2 × 3n
则 an =

2 1 1 × n × 3n + × 3n ? . 3 2 2 an +1 an 2 1 ? n = + n +1 , n +1 3 3 3 3 an ? 3 a2 a1 a ? an ? ? n ?3 ) + L + ( 2 ? 1 ) + 1 ,即得数列 ? n ? 3 3 3 3 ?3 ?
n

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an +1 = 3an + 2 × 3 + 1 转化为

an an ?1 an ?1 an ? 2 an ? 2 ? n ?1 ) + ( n ?1 ? n ? 2 ) + ( n ? 2 n 3 3 3 3 3 的通项公式,最后再求数列 {an } 的通项公式。
进而求出 ( 三、累乘法
n

例 5 已知数列 {an } 满足 an +1 = 2( n + 1)5 × an,a1 = 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
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n

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an +1 = 2(n + 1)5n ,故 an

解:因为 an +1 = 2( n + 1)5 × an,a1 = 3 ,所以 an ≠ 0 ,则

an =

an an ?1 a a ? ?L ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ? 2 a2 a1

= [2(n ? 1 + 1)5n ?1 ][2(n ? 2 + 1)5n ? 2 ] ?L ? [2(2 + 1) × 52 ][2(1 + 1) × 51 ] × 3 = 2n ?1[n(n ? 1) ?L ? 3 × 2] × 5( n ?1) + ( n ? 2)+L+ 2+1 × 3 = 3 × 2n ?1 × 5
n ( n ?1) 2

× n!
n ?1

所以数列 {an } 的通项公式为 an = 3 × 2

×5

n ( n ?1) 2

× n !.
n

评注: 本题解题的关键是把递推关系 an +1 = 2( n + 1)5 × an 转化为 出

an +1 = 2(n + 1)5n , 进而求 an

an an ?1 a a ? ?L ? 3 ? 2 ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。 an ?1 an ? 2 a2 a1

例 6 (2004 年全国 I 第 15 题,原题是填空题)已知数列 {an } 满足

a1 = 1,an = a1 + 2a2 + 3a3 + L + (n ? 1)an ?1 (n ≥ 2) ,求 {an } 的通项公式。
解:因为 an = a1 + 2a2 + 3a3 + L + ( n ? 1) an ?1 ( n ≥ 2) 所以 an +1 = a1 + 2a2 + 3a3 + L + ( n ? 1) an ?1 + nan 用②式-①式得 an +1 ? an = nan . 则 an +1 = ( n + 1) an ( n ≥ 2) 故 ② ①

an +1 = n + 1(n ≥ 2) an an an ?1 a n! ? ?L ? 3 ? a2 = [n(n ? 1) ?L ? 4 × 3]a2 = a2 . an ?1 an ? 2 a2 2
n! 。 2


所以 an =

由 an = a1 + 2a2 + 3a3 + L + ( n ? 1) an ?1 ( n ≥ 2) ,取n = 2得a2 = a1 + 2a2 ,则 a2 = a1 ,又知

a1 = 1 ,则 a2 = 1 ,代入③得 an = 1 ? 3 ? 4 ? 5 ?L ? n =
所以, {an } 的通项公式为 an =

n! . 2 an +1 = n + 1(n ≥ 2) , an

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an +1 = ( n + 1) an ( n ≥ 2) 转化为 进而求出

an an ?1 a ? ? L ? 3 ? a2 , 从而可得当 n ≥ 2时,an 的表达式, 最后再求出数列 {an } 的 an ?1 an ? 2 a2

通项公式。
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四、待定系数法 例 7 已知数列 {an } 满足 an +1 = 2an + 3 × 5 ,a1 = 6 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

解:设 an +1 + x × 5

n +1

= 2(an + x × 5n )


n n +1

将 an +1 = 2an + 3 × 5 代入④式,得 2an + 3 × 5 + x × 5
n

= 2an + 2 x × 5n ,等式两边消去

2an , 得 3 ? 5n + x ? 5n +1 = 2 x ? 5n , 两 边 除 以 5n , 得 3 + 5 x = 2 x, 则x = ?1, 代 入 ④ 式 得
an +1 ? 5n +1 = 2(an ? 5n )
1


n

由 a1 ? 5 = 6 ? 5 = 1 ≠ 0 及⑤式得 an ? 5 ≠ 0 ,则

an +1 ? 5n +1 = 2 ,则数列 {an ? 5n } 是以 n an ? 5
n n +1

a1 ? 51 = 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,则 an ? 5n = 2n ?1 ,故 an = 2 n ?1 + 5n 。
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an +1 = 2an + 3 × 5 转化为 an +1 ? 5
n n

= 2(an ? 5n ) ,

从而可知数列 {an ? 5 } 是等比数列,进而求出数列 {an ? 5 } 的通项公式,最后再求出数列

{an } 的通项公式。
例 8 已知数列 {an } 满足 an +1 = 3an + 5 × 2 + 4,a1 = 1 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

解:设 an +1 + x × 2

n +1

+ y = 3(an + x × 2n + y )



将 an +1 = 3an + 5 × 2 + 4 代入⑥式,得
n

3an + 5 × 2n + 4 + x × 2 n +1 + y = 3(an + x × 2n + y )
整理得 (5 + 2 x ) × 2 n + 4 + y = 3 x × 2n + 3 y 。 令?

?5 + 2 x = 3 x ?x = 5 ,则 ? ,代入⑥式得 ?4 + y = 3 y ?y = 2


an +1 + 5 × 2 n +1 + 2 = 3(an + 5 × 2 n + 2)
由 a1 + 5 × 2 + 2 = 1 + 12 = 13 ≠ 0 及⑦式,
1

得 an + 5 × 2 + 2 ≠ 0 ,则
n n

an +1 + 5 × 2 n +1 + 2 = 3, an + 5 × 2 n + 2
1
n ?1

故数列 {an + 5 × 2 + 2} 是以 a1 + 5 × 2 + 2 = 1 + 12 = 13 为首项,以 3 为公比的等比数列, 因此 an + 5 × 2 + 2 = 13 × 3
n

,则 an = 13 × 3

n ?1

? 5 × 2n ? 2 。
n

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an +1 = 3an + 5 × 2 + 4 转化为

an +1 + 5 × 2 n +1 + 2 = 3(an + 5 × 2 n + 2) ,从而可知数列 {an + 5 × 2n + 2} 是等比数列,进而求
出数列 {an + 5 × 2 + 2} 的通项公式,最后再求数列 {an } 的通项公式。
n

例 9 已知数列 {an } 满足 an +1 = 2an + 3n + 4n + 5,a1 = 1 ,求数列 {an } 的通项公式。
2

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2 2

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解:设 an +1 + x( n + 1) + y ( n + 1) + z = 2( an + xn + yn + z ) 将 an +1 = 2an + 3n + 4n + 5 代入⑧式,得
2

2an + 3n 2 + 4n + 5 + x(n + 1) 2 + y (n + 1) + z = 2(an + xn 2 + yn + z ) ,则 2an + (3 + x)n 2 + (2 x + y + 4)n + ( x + y + z + 5) = 2an + 2 xn 2 + 2 yn + 2 z
等式两边消去 2an ,得 (3 + x) n + (2 x + y + 4) n + ( x + y + z + 5) = 2 xn + 2 yn + 2 z ,
2 2

?x = 3 ?3 + x = 2 x ? ? 解方程组 ?2 x + y + 4 = 2 y ,则 ? y = 10 ,代入⑧式,得 ?x + y + z + 5 = 2z ? z = 18 ? ?
an +1 + 3(n + 1)2 + 10(n + 1) + 18 = 2(an + 3n 2 + 10n + 18)
2


2

由 a1 + 3 ×1 + 10 ×1 + 18 = 1 + 31 = 32 ≠ 0 及⑨式,得 an + 3n + 10n + 18 ≠ 0 则

an +1 + 3(n + 1) 2 + 10(n + 1) + 18 = 2 ,故数列 {an + 3n 2 + 10n + 18} 为以 2 an + 3n + 10n + 18

a1 + 3 ×12 + 10 ×1 + 18 = 1 + 31 = 32 为首项,以 2 为公比的等比数列,因此 an + 3n 2 + 10n + 18 = 32 × 2 n ?1 ,则 an = 2n + 4 ? 3n 2 ? 10n ? 18 。
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an +1 = 2an + 3n + 4n + 5 转化为
2

an +1 + 3(n + 1)2 + 10(n + 1) + 18 = 2(an + 3n 2 + 10n + 18) ,从而可知数列
2 {an + 3n 2 + 10n + 18} 是等比数列, 进而求出数列 {an + 3n + 10n + 18} 的通项公式, 最后再 求出数列 {an } 的通项公式。

五、对数变换法 例 10 已知数列 {an } 满足 an +1 = 2 × 3 × an , a1 = 7 ,求数列 {an } 的通项公式。
n 5 n 5 n 5

解:因为 an +1 = 2 × 3 × an,a1 = 7 ,所以 an > 0,an +1 > 0 。在 an +1 = 2 × 3 × an 式两边取 常用对数得 lg an +1 = 5 lg an + n lg 3 + lg 2 设 lg an +1 + x( n + 1) + y = 5(lg an + xn + y ) ⑩ 11 ○

将 ⑩ 式 代 入 ○ 式 , 得 5lg an + n lg 3 + lg 2 + x( n + 1) + y = 5(lg an + xn + y ) , 两 边 消 去 11

5lg an 并整理,得 (lg 3 + x)n + x + y + lg 2 = 5 xn + 5 y ,则
lg 3 ? ?x = 4 ?lg 3 + x = 5 x ? ,故 ? ? ? x + y + lg 2 = 5 y ? y = lg 3 + lg 2 ? 16 4 ?

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12 ○

代入○式,得 lg an +1 + 11 由 lg a1 + 得 lg an +

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n + 1) + + = 5(lg an + n+ + ) 4 16 4 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 ×1 + + = lg 7 + ×1 + + ≠ 0 及○式, 12 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 n+ + ≠ 0, 4 16 4



lg an +1 +

lg 3 lg 3 lg 2 + (n + 1) + 4 16 4 =5, lg 3 lg 3 lg 2 n+ + lg an + 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n+ + } 是以 lg 7 + + + 为首项,以 5 为公比的等 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 比数列,则 lg an + n+ + = (lg 7 + + + )5 ,因此 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg 3 lg 3 lg 2 lg an = (lg 7 + + + )5 ? n? ? 4 16 4 4 6 4
所以数列 {lg an +

= (lg 7 + lg 3 4 + lg 3 6 + lg 2 4 )5n ?1 ? lg 3 4 ? lg 316 ? lg 2 4 = [lg(7 ? 3 ? 3 ? 2 )]5 = lg(7 ? 3 ? 3 ? 2 )5 = lg(7
5 n ?1 1 4 1 16 1 4 1 4 1 16 1 4 n ?1

1

1

1

n

1

1

? lg(3 ? 3 ? 2 )
n 4 1 16 1 4

n 4

1 16

1 4

n ?1

? lg(3 ? 3 ? 2 ) ?2
?1 5n ?1 ?1 4

?3

5

n?1

?n

4

?3

5

n?1

?1 16 5
n?1

)

= lg(75 n ?1 ? 3
则 an = 7
5n?1

5 n ? 4 n ?1 16

?2

4

)

n 5

×3

5 n ? 4 n ?1 16

×2

5n?1 ?1 4

评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 an +1 = 2 × 3 × an 转化为

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n + 1) + + = 5(lg an + n+ + ) ,从而可知数列 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 {lg an + n+ + } 是等比数列,进而求出数列 {lg an + n+ + } 的通项 4 16 4 4 16 4 公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。 lg an +1 +
六、迭代法 例 11 已知数列 {an } 满足 an +1 = an
3( n +1)2n 3( n +1)2n

,a1 = 5 ,求数列 {an } 的通项公式。
3( = [an ?n2?1)?2 ]3 n?2
n?2 n?1

解:因为 an +1 = an

,所以 an = an ?1

3 n?2n?1

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3 = an ?(2n ?1)?n?2
2 ( n?2)+( n?1)

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3( = [an ?n ? 2)?2 ]3 3
3

n ?3

2

( n ?1)?n?2( n? 2)+( n?1)
( n ?3)+( n?2)+( n?1)

3 = an ?(3n ? 2)( n ?1) n?2

=L = a13 =a
n?1

?2?3LL( n ? 2)?( n ?1)?n?21+2+LL+( n?3)+( n?2)+( n ?1)
n ( n?1) 2

3n?1 ?n!?2 1

又 a1 = 5 ,所以数列 {an } 的通项公式为 an = 5

3n?1 ?n!?2

n ( n?1) 2


3( n +1)2n

评注: 本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。 即先将等式 an +1 = an 两边取常用对数得 lg an +1 = 3( n + 1) × 2 × lg an ,即
n

lg an +1 = 3(n + 1)2 n ,再由累乘法可推知 lg an
n ( n?1) 2

n?1 lg an lg an ?1 lg a3 lg a2 ? ?L ? ? ? lg a1 = lg 53 ?n!?2 lg an = lg an ?1 lg an ? 2 lg a2 lg a1

,从而 an = 5

3n?1 ?n!?2

n ( n ?1) 2



七、数学归纳法 例 12 已知数列 {an } 满足 an +1 = an + 解:由 an +1 = an +

8(n + 1) 8 ,a1 = ,求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n + 1) (2n + 3) 9

8(n + 1) 8 及 a1 = ,得 2 2 (2n + 1) (2n + 3) 9

8(1 + 1) 8 8 × 2 24 = + = 2 2 (2 × 1 + 1) (2 × 1 + 3) 9 9 × 25 25 8(2 + 1) 24 8× 3 48 a3 = a2 + = + = 2 2 (2 × 2 + 1) (2 × 2 + 3) 25 25 × 49 49 8(3 + 1) 48 8 × 4 80 a4 = a3 + = + = 2 2 (2 × 3 + 1) (2 × 3 + 3) 49 49 × 81 81 a2 = a1 +
由此可猜测 an =

(2n + 1) 2 ? 1 ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n + 1) 2 (2 × 1 + 1) 2 ? 1 8 = ,所以等式成立。 (2 × 1 + 1)2 9

(1)当 n = 1 时, a1 =

(2k + 1) 2 ? 1 (2)假设当 n = k 时等式成立,即 ak = ,则当 n = k + 1 时, (2k + 1)2
ak +1 = ak + 8(k + 1) (2k + 1) 2 (2k + 3) 2
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= = = = = =

(2k + 1) 2 ? 1 8(k + 1) + 2 (2k + 1) (2k + 1) 2 (2k + 3) 2 [(2k + 1) 2 ? 1](2k + 3) 2 + 8(k + 1) (2k + 1) 2 (2k + 3) 2 (2k + 1) 2 (2k + 3)2 ? (2k + 3) 2 + 8(k + 1) (2k + 1)2 (2k + 3) 2 (2k + 1) 2 (2k + 3)2 ? (2k + 1) 2 (2k + 1) 2 (2k + 3) 2 (2k + 3) 2 ? 1 (2k + 3) 2 [2(k + 1) + 1]2 ? 1 [2(k + 1) + 1]2

由此可知,当 n = k + 1 时等式也成立。 根据(1)(2)可知,等式对任何 n ∈ N 都成立。 ,
*

评注: 本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项, 进而猜出数列的通项 公式,最后再用数学归纳法加以证明。 八、换元法 例 13 已知数列 {an } 满足 an +1 =

1 (1 + 4an + 1 + 24an ),a1 = 1 , 求数列 {an } 的通项公式。 16 1 2 (bn ? 1) 24

解:令 bn = 1 + 24an ,则 an = 故 an +1 =

1 2 1 (bn +1 ? 1) ,代入 an +1 = (1 + 4an + 1 + 24an ) 得 24 16

1 2 1 1 (bn +1 ? 1) = [1 + 4 (bn2 ? 1) + bn ] 24 16 24
即 4bn +1 = (bn + 3)
2 2

因为 bn = 1 + 24an ≥ 0 ,故 bn +1 = 1 + 24an +1 ≥ 0 则 2bn +1 = bn + 3 ,即 bn +1 = 可化为 bn +1 ? 3 =

1 3 bn + , 2 2

1 (bn ? 3) , 2
1 为公比的等比数 2

所以 {bn ? 3} 是以 b1 ? 3 = 1 + 24a1 ? 3 = 1 + 24 × 1 ? 3 = 2 为首项,以 列 , 因 此 bn ? 3 = 2( )

1 2

n ?1

1 1 1 = ( ) n ? 2 , 则 bn = ( ) n ? 2 + 3 , 即 1 + 24an = ( ) n ? 2 + 3 , 得 2 2 2
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an =

2 1 n 1 n 1 ( ) +( ) + 。 3 4 2 3

评注:本题解题的关键是通过将 1 + 24an 的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化

1 3 bn +1 = bn + 形式, 从而可知数列 {bn ? 3} 为等比数列, 进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式, 2 2 最后再求出数列 {an } 的通项公式。
九、不动点法 例 14 已知数列 {an } 满足 an +1 = 解:令 x =

21an ? 24 ,a1 = 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 4 an + 1

21x ? 24 21x ? 24 2 ,得 4 x ? 20 x + 24 = 0 ,则 x1 = 2,x2 = 3 是函数 f ( x ) = 的 4x +1 4x +1

两个不动点。因为

21an ? 24 ?2 an +1 ? 2 4 an + 1 21an ? 24 ? 2(4an + 1) 13an ? 26 13 an ? 2 = = = = 。所以数列 9 an ? 3 an +1 ? 3 21an ? 24 ? 3 21an ? 24 ? 3(4an + 1) 9an ? 27 4 an + 1

? an ? 2 ? a ?2 a1 ? 2 4 ? 2 13 13 = = 2 为首项,以 为公比的等比数列,故 n = 2( ) n ?1 , ? ? 是以 9 a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9 ? an ? 3 ? 1 则 an = + 3。 13 n ?1 2( ) ? 1 9
21x ? 24 21x ? 24 的不动点,即方程 x = 的两 4x +1 4x +1 ?a ? 2? a ? 2 13 an ? 2 个根 x1 = 2,x2 = 3 ,进而可推出 n +1 = ? ,从而可知数列 ? n ? 为等比数 an +1 ? 3 9 an ? 3 ? an ? 3 ?
评注:本题解题的关键是先求出函数 f ( x ) = 列,再求出数列 ?

? an ? 2 ? ? 的通项公式,最后求出数列 {an } 的通项公式。 an ? 3 ? ?
7 an ? 2 ,a1 = 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 2 an + 3

例 15

已知数列 {an } 满足 an +1 =

解:令 x =

7x ? 2 3x ? 1 2 ,得 2 x ? 4 x + 2 = 0 ,则 x = 1 是函数 f ( x ) = 的不动点。 2x + 3 4x + 7
7 an ? 2 5a ? 5 ?1 = n ,所以 2 an + 3 2 an + 3

因为 an +1 ? 1 =

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3 5 a + 2an + 3 2 n 2 2 1 2 = = ? = (1 + 2 ) = + , an +1 ? 1 5an ? 5 5 an ? 1 5 an ? 1 an ? 1 5 1
所以数列 ?

? 1 ? 1 1 2 = = 1 为首项,以 为公差的等差数列,则 ? 是以 5 a1 ? 1 2 ? 1 ? an ? 1 ? 1 2 2n + 8 = 1 + (n ? 1) ,故 an = 。 5 2n + 3 an ? 1

评注:本题解题的关键是先求出函数 f ( x ) =

3x ? 1 7x ? 2 的不动点,即方程 x = 的根 4x + 7 2x + 3 ? 1 ? 1 1 2 x = 1 ,进而可推出 = + ,从而可知数列 ? ? 为等差数列,再求出数列 an +1 ? 1 an ? 1 5 ? an ? 1 ?

? 1 ? ? ? 的通项公式,最后求出数列 {an } 的通项公式。 ? an ? 1 ?
十、特征根法 例 16 已知数列 {an } 满足 an +1 = 3an ? an ?1 ( n ≥ 2),a1 = a2 = 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 解 : an +1 = 3an ? an ?1 ( n ≥ 2) 的 相 应 特 征 方 程 为 λ ? 3λ + 1 = 0 , 解 之 求 特 征 根 是
2

λ1 =

3+ 5 3? 5 3+ 5 3? 5 ,λ2 = ,所以 an = c1 + c2 。 2 2 2 2

由初始值 a1 = a2 = 1 ,得方程组

? 3+ 5 1 3? 5 1 ) + c2 ( ) ?1 = c1 ( ? 2 2 ? ?1 = c ( 3 + 5 ) 2 + c ( 3 ? 5 ) 2 1 2 ? 2 2 ? ? 5?2 5 ?c1 = ? 5 求得 ? ?c = 5 + 2 5 ? 2 5 ?
从而 an =

5? 2 5 3+ 5 n 5+ 2 5 3? 5 n ( ) + ( ) 。 5 2 5 2

评注:本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出 c1,c 2 ,从而可得数列

{an } 的通项公式。

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