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4.4三角函数的性质——单调性、最值


§4。4 三角函数的性质——单调性、最值
一、课前练习: 1. .函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ? ? ?π, 0?) 的单调递增区间是( A. ? ? π, ? )

? ?

5π ? 6? ?

B. ? ?

? 5π π ? , ? ? 6? ? 6


π ) 2

C. ? ? , 0?

? π ? ? 3 ?

D. ? ? , 0?

? π ? ? 6 ?
π ,π ) 2

2.函数 y=2cos2x 的一个单调增区间是 (A) (?

π π , ) 4 4

(B) ( 0,

(C) (

π 3π , ) 4 4

(D) (

3.函数 f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是 (A)(-

? ? ? 3? , ) (B) ( , ) 4 4 4 4

(C) (?,

3? 3? ) (D) ( ,2?) 2 2


4.设函数 f ( x) ? sin ? x ?

? ?

?? ? ( x ? R) ,则 f ( x) ( 3?

A.在区间 ?

? 2? 7 ? ? , 上是增函数 ?3 6? ?

B.在区间 ? ??, ?

? ?

?? 上是减函数 2? ?

C.在区间 ? , ? 上是增函数 8 4 5.函数 f ( x) ? cos x ? 2 cos
2 2

?? ?? ? ?

D.在区间 ? , ? 上是减函数 3 6

? ? 5? ? ? ?


x 的一个单调增区间是( 2
C. ? 0, ?

A. ? , ?

? ? 2? ? ?3 3 ?

B. ? , ?

? ? ?? ?6 2?

? ?

?? 3?

D. ? ? , ?

? ? ?? ? 6 6?

二、例题讲解: 例 1.设函数 f(x)=a·b,其中向量 a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数 y=f(x)的图象经过点 ?? ? ? ,2 ? , ?4 ? (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的最小值及此时 x 的值的集合.

例 2.已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ?

?π ? ?π π? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?

(I)求 f ( x ) 的最大值和最小值; (II)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2

?π π? ? ?

三、课后作业: 1. 已知函数 f ( x) ? 1 ? 2sin ? x ?
2

? ?

π? π? π? ? ? ? ? 2sin ? x ? ? cos ? x ? ? .求: 8? 8? 8? ? ?

(I)函数 f ( x ) 的最小正周期; (II)函数 f ( x ) 的单调增区间. 2. 设函数 f ( x) ? a b .其中向量 a ? (m, cos x), b ? (1 ? sin x,1), x ? R, 且f ( ) ? 2 . (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小值. 3. 已知 k<-4,则函数 y=cos2x+k(cosx-1)的最小值是( (A) 1 (B) -1 (C) 2k+1 (D) -2k+1 )

π 2

4. 设 f ( x) ? 6cos2 x ? 3sin 2x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最大值及最小正周期; (Ⅱ)若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,求 tan ? 的值.

4 5

§4。4 三角函数的性质——单调性、最值答案
1.D 2D 3C 4A 5A 例 1.解: (Ⅰ) f ( x) ? a b ? m(1 ? sin 2 x) ? cos 2 x , 由已知 f ?

π? π ?π? ? ? ? m ?1 ? sin ? ? cos ? 2 ,得 m ? 1 . 2? 2 ?4? ? ? ? π? ?, 4?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin ? 2 x ?

π? ? ? 当 sin ? 2 x ? ? ? ?1时, f ( x) 的最小值为 1 ? 2 , 4? ?
由 sin ? 2 x ?

? ?

? 3π ? π? ? ? ?1,得 x 值的集合为 ? x x ? kπ ? ,k ? Z? . 4? 8 ? ? ? ? ?π ?? ? 2 x ?? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ?2 ??

例 2.解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? ?1 ? cos ?

π? ? ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? . 3? ?
又∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ ,即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ? ? ≤ 3 , 6 3 3 3? ? ?4 2?

?π π?

π

π



?

π?

∴ f ( x)max ? 3 ,f ( x)min ? 2 .
(Ⅱ)∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? , 4 2

?π π? ? ?

∴m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 ,
∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1 , 4) .
三.1 解: f ( x) ? cos(2 x ? ) ? sin(2 x ? )

π 4

π 4

π π π ? ) ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x . 4 4 2 2π ? π; (I)函数 f ( x ) 的最小正周期是 T ? 2 π (II)当 2kπ ? π ≤ 2 x ≤ 2kπ ,即 kπ ? ≤ x ≤k π ( k ? Z )时,函数 f ( x) ? 2 cos 2 x 2 ? 2 sin(2 x ?

是增函数,故函数 f ( x ) 的单调递增区间是 [kπ ?

π ,kπ] ( k ? Z ) . 2

2 .解: (Ⅰ) f ( x) ? a b ? m(1 ? sin x) ? cos x , f ?

π? π ?π? ? ? ? m ?1 ? sin ? ? cos ? 2 ,得 2? 2 ?2? ?

m ? 1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin x ? cos x ? 1 ?

π? π? ? ? 2 sin ? x ? ? ? 1,? 当 sin ? x ? ? ? ?1时, 4? 4? ? ?

f ( x) 的最小值为 1 ? 2 .
3.A 4. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 6

1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x 2

? 3cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3
? 3 ? 1 ? 2 3? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 2 ??3 2 ? ?

?? ? ? 2 3 cos ? 2 x ? ? ? 3 . 6? ?
故 f ( x ) 的最大值为 2 3 ? 3 ; 最小正周期 T ?

2? ? ?. 2

(Ⅱ)由 f (? ) ? 3 ? 2 3 得 2 3 cos ? 2? ? 又由 0 ? ? ?

? ?

?? ?? ? ? ? 3 ? 3 ? 2 3 ,故 cos ? 2? ? ? ? ?1 . 6? 6? ?

? ? ? ? ? 5 ?. 得 ? 2? ? ? ? ? ,故 2? ? ? ? ,解得 ? ? 2 6 6 6 6 12 4 ? 从而 tan ? ? tan ? 3 . 5 3


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