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2013保温练习(5)


1/9

2013 保温练习(5)
一、选择题:

? ? ? ? ? ? ? a, b 都是非零向量,那么命题“ a 与 b 共线”是命题“ a ? b ? a ? b ”的 1.设
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

2. 实数 x 、 A.

[-1,0]

y 满足

? x ? 1, ? ? y ? 0, ? x ? y ? 0, ?

y ?1 则 z = x 的取值范围是

B. ( -∞,0] C. [-1,+∞ ) D. [-1,1 )
2

3. 过抛物线 y ? 4 x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 3, 则 | AB | 等于 A.10 B.8 C.6 D.4

4.某程序框图如右图所示,现输入如下四个函数, 则可以输出的函数是 ( )

2 A. f ( x) ? x

f ( x) ?
B.

1 x

C. f ( x) ? e

x

D. f ( x) ? sin x

5. 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a ,得 2 分的概率 为 b ,得 0 分的概率为 0.5(投篮一次得分只能 3 分、2 分、1 分 或 0 分) ,其中 a 、 b ? (0 , 1) ,已知他投篮一次得分的数学期望为 1,则 ab 的最大值为

1 A. 6

1 B. 12

1 C. 24

1 D. 32

?4 x ? 4 , f ( x) ? ? 2 ?x ? 4x ? 3 , 6. 设函数
A. 4 个 B. 3 个

x ? 1, x ? 1, 则函数 g ( x) ? f ( x) ? log4 x 的零点个数为
C. 2 个 D. 1 个

7.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 1 对称, f (?1) ? 1, 则

f ( 1 ) f ( 2? f ? )

(? ) ? f 3 ?

(2009) 的值为





2/9

A.-1

B.0

C.1

D.2

8. 如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始,每一项与它前一项的平方差是相同的 常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫做这个数列的公方差.设数列 公方差为 2 的等方差数列,若将 种密码的个数为 A. 18 个 二、填空题: B. 256 个 C. 512 个 D. 1024 个

?an ? 是首项为 2,

a1 ,2 ,3 , ,10 这种顺序的排列作为某种密码,则这 a a ?? a

z?
9.已知复数

2i 1 ? i ,则 z 的共轭复数是

10. 正项等比数列

?an ?中,若 log2 (a2a98 ) ? 4 ,则 a40a60 等于
y (万元) ,有如下的统计资料
5 6.5 6 7.0

11. 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费 使用年限 x 维修费用 若由资料可知 2 2.2 3 3.8 4

y

5.5

y 和 x 呈相关关系,由表中数据算出线性回归方程 ? ? bx ? a 中的 b = 1. 23 , y
万元.

据此估计,使用年限为 10 年时的维修费用是

b?

? (x
i ?1 n

n

i

? x)( yi ? y )
i

(参考公式:

? (x
i ?1

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

? x) 2

?x
i ?1

2 i

, a ? y ? bx )

12. 一个空间几何体的三视图如图所示,其正视图、侧视图、 俯视图均为等腰直角三角形,且直角边长都为 1,则它的 外接球的表面积是
2

正视图

侧视图

.
2

13. 设函数

f ? x ? ? ax ? b a ? 0 ? f ( x)dx ? 2 f ( x0 ) , ( ),若 0
.

俯视图

x0 ? 0 ,则 x0 =
14. 已知集合 有下列命题

M ? f ( x) f 2 ( x) ? f 2 ( y ) ? f ( x ? y ) ? f ( x ? y ), x, y ? R

?

?,

?1 , x ? 0, f1 ( x) ? ? ??1, x ? 0, 则 f1 ( x) ? M ;②若 f 2 ( x) ? 2 x , 则 f 2 ( x) ? M ; ①若

3/9

③若

f3 ( x) ? M , 则 y ? f3 ( x) 的图象关于原点对称;

f 4 ( x1 ) ? f 4 ( x2 ) ?0 f 4 ( x) ? M , 则对于任意不等的实数 x1 , x2 ,总有 x1 ? x2 ④若 成立.
其中所有正确命题的序号是 三、解答题: 15.已知向量 .

? ? a ? ?1 ? cos ? x,1? , b ? (1, a ? 3 sin ? x)

( ? 为常数且 ? ? 0 ) ,

函数 f ( x) ? a ? b 在 R 上的最大值为 2 . (Ⅰ)求实数 a 的值;

? y ? f ( x) 的图象向右平移 6? 个单位,可得函数 y ? g ( x) 的图象,若 (Ⅱ)把函数
[0, ] y ? g ( x) 在 4 上为增函数,求 ? 的最大值.

?

16.如图一,平面四边形 ABCD 关于直线 AC 对称, ?A ? 60? , ?C ? 90? , CD ? 2 .

3 把 ?ABD 沿 BD 折起(如图二) ,使二面角 A ? BD ? C 的余弦值等于 3 .对于图二,完
成以下各小题: (Ⅰ)求 A,

C 两点间的距离;

(Ⅱ)证明: AC ? 平面 BCD ; (Ⅲ)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值.

4/9

17.某种食品是经过 A 、 B 、 C 三道工序加工而成的, A 、 B 、 C 工序的产品合格率分别

3 2 4 为 4 、 3 、 5 .已知每道工序的加工都相互独立,三道工序加工的产品都为合格时产品为
一等品;有两道合格为二等品;其它的为废品,不进入市场. (Ⅰ)正式生产前先试生产 2 袋食品,求这2袋食品都为废品的概率; (Ⅱ)设 ? 为加工工序中产品合格的次数,求 ? 的分布列和数学期望.

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) Q 2 b 18. 已知椭圆 C : a 的一个焦点是(1,0) ,两个焦点与短轴的一个端点
构成等边三角形. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 Q (4,0)且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点,设点 A 关于 x 轴的 对称点为

A1

.

(ⅰ)求证:直线 (ⅱ)求△

A 1B 过 x 轴上一定点,并求出此定点坐标;

OA 1B 面积的取值范围.

f ( x) ?
19.已知函数

x x ?1.

(Ⅰ)求函数 F ( x) ? f ( x) ? a ln(x ? 1) 的单调递增区间; (Ⅱ)数列

?an ? 满足: an ? 0, a1 ? 1,且
.

an?1 ? f ( an )

,记数列

?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,

Sn ?


? 2?1 ? ? ( 2 ? 1)n ? 2 ? an ?

(ⅰ)求数列

?bn ? 的通项公式;并判断 b4 ? b6 是否仍为数列 ?bn ? 中的项?若是,请证明;

否则,说明理由.

5/9

(ⅱ)设 为数列

?cn ? 为首项是 c1 ,公差 d ? 0 的等差数列,求证:“数列 ?cn ? 中任意不同两项之和仍

?cn ? 中的项”的充要条件是“存在整数 m ? ?1 ,使 c1 ? md ”

参考答案 5
一、选择题: B D BD 二、填空题 DB A C

9. 1 ? i

10. 16

11. 12.38

12. 3 ?

2 3 3 13.

14. ②③

三、解答题:

f ( x) ? 1 ? cos ? x ? a ? 3 sin ? x ? 2sin(? x ? ) ? a ? 1 6 15.解: (Ⅰ)
因为函数 f ( x ) 在 R 上的最大值为 2 ,所以 3 ? a ? 2 故 a ? ?1

?

f ( x) ? 2sin(? x ? ) 6 (Ⅱ)由(Ⅰ)知:

?

? ? f ( x) ? 2sin(? x ? ) 6 的图象向右平移 6? 个单位, 把函数
可得函数 y ? g ( x) ? 2sin ? x

? 2? [0, ] T? ?? 4 上为增函数? g ( x) 的周期 ? 又? y ? g ( x) 在 即? ? 2
所以 ? 的最大值为 2 16. 解: (Ⅰ)取 BD 的中点 E ,连接 AE, CE , 由 AB ? AD, CB ? CD ,得: AE ? BD, CE ? BD

6/9

??AEC 就是二面角 A ? BD ? C 的平面角,
在 ?ACE 中, AE ?

? cos?AEC ?

3 3

6 , CE ? 2 AC2 ? AE2 ? CE 2 ? 2 AE ? CE ? cos?AEC
3 ?4 ? AC ? 2 3

? 6 ? 2 ? 2? 6 ? 2 ?

(Ⅱ)由 AC ? AD ? BD ? 2 2 , AC ? BC ? CD ? 2
2 2 2 2 2 2 ? AC ? BC ? AB , AC ? CD ? AD , ? ?ACB ? ?ACD ? 90?

? AC ? BC, AC ? CD ,

又 BC ? CD ? C ? AC ? 平面 BCD .

(Ⅲ) CB, CD, CA 所在直线分别为 x 轴, 轴和 z 轴建立空间直角坐标系 C ? xyz , 则 以

y

A(0,0,2), B(2,0,0), C (0,0,0) D(0,2,0) . ???10 分
设平面 ABD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n ? AB ? 0 , n ? AD ? 0 , ? 2 x ? 2 z ? 0,2 y ? 2 z ? 0 取 x ? y ? z ? 1,则 n ? (1,1,1) , 于是 AC 与平面 ABD 所成角 ? 的正弦即

sin ? ?

| n ? CA | | 0 ? 0 ? 2 | 3 ? ? 3 . 3?2 | n || CA |

17.解: (Ⅰ)2袋食品都为废品的情况为 ①2袋食品的三道工序都不合格

1 1 1 1 P ? ( ? ? )2 ? 1 4 3 5 3600 ……………2 分
②有一袋食品三道工序都不合格,另一袋有两道工序不合格
1 P2 ? C2 ?

1 3 1 1 1 2 1 1 1 4 1 ?( ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 60 4 3 5 4 3 5 4 3 5 200 ……………4 分

③两袋都有两道工序不合格

3 1 1 1 2 1 1 1 4 9 P3 ? ( ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 ? 4 3 5 4 3 5 4 3 5 400
所以 2 袋食品都为废品的概率为

P ? P ? P2 ? P3 ? 1

1 36 ……………6 分

7/9

(Ⅱ) ? ? 0,1, 2,3

3 2 4 1 P(? ? 0) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 3 5 60 3 1 1 1 2 1 1 1 4 3 P(? ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 5 4 3 5 4 3 5 20 1 2 4 3 1 4 3 2 1 13 P(? ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 5 4 3 5 4 3 5 30 3 2 4 2 P(? ? 3) ? ? ? ? 4 3 5 5

?
P

0
1 60 3 13 2 133 ? 2 ? ? 3? ? 20 30 5 60

1

2

3
2 5

3 20

13 30

? E? ? 1?

18.解: (Ⅰ)因为椭圆 C 的一个焦点是(1,0) ,所以半焦距 c =1. 因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.

c 1 x2 y 2 ? ? ?1 3 所以 a 2 ,解得 a ? 2 , b ? 3 .所以椭圆的标准方程为 4 .

x2 y 2 ? ?1 3 (Ⅱ) 设直线 l :x ? my ? 4 与 4 (i) 联立并消去 x 得:

(3m2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 . A x1 , y1) B x2 , y2) ( ( , ,
y1 ? y2 ? ?24m 3m 2 ? 4 ,



y1 y2 ?

36 3m 2 ? 4 . 由 A 关于 x 轴的对称点为 A1 ,得 A1 (x1 , ?y1 ) ,根据题设条件设定点为 T



t
x2



0

) ,



kTB ? kTA1





y2 y ? 1 x2 ? t t ? x1

.





t?

?1 y y ( ? 2 y1 ? y2

41 x?

) m 2 y( ?4y 2my1 y) 1m y2 ? y 1 2 ? 4? ? 4 ?3 ?1 y1 ? y2 ? y1 y2 即定点 T (1 , 0).
可知直线

m ?2 (ii)由(i)中判别式 ? ? 0 ,解得 .

A1B 过定点 T (1,0).

8/9

所以

S ?OA1B ?

1 1 OT | y2 ? (? y 1) |? | y 2 y |1 ? 2 2

S?OA1B ?


1 24m 4 | |? 2 4 2 4 ? 3m m? 3m

,

令 t ?| m | 记

? (t ) ? t ?

4 4 ? / (t ) ? 1 ? 2 / 3t ,得 3t ,当 t ? 2 时, ? (t ) ? 0 .

? (t ) ? t ?

4 4 2 8 m? 3 m ? 2? 3 ? 3 (2 , ? ?) 上为增函数. 所以 3t 在 ,

3 3 3 (0 , ) 0 ? S ?OA1B ? 4 ? ? 2 . 8 2 .故△OA1B 的面积取值范围是 得
19. 本题主要考查函数的单调性、等差数列、不等式等基本知识,考查运用合理的推理证明 解决问题的方法,考查分类与整合及化归与转化等数学思想. 满分 14 分.

解: (Ⅰ)因为

F ? x? ?

( x ? 1) ? x a ?ax ? a ? 1 x F ?( x) ? ? ? ? a ln( x ? 1) 2 ( x ? 1) x ?1 ( x ? 1) 2 . x ?1 ,所以

? (i)当 a ? 0 时, F ( x) ? 0 .
? (ii)当 a ? 0 时,由 F ( x) ? 0 ,得到
x? 1 1? a ?1 (?1, ) a ,知在 a 上 F ?( x) ? 0 . 1 ?1 a ,知在 (?1, ??) 上 F ?( x) ? 0 .

? (iii)当 a ? 0 时,由 F ( x) ? 0 ,得到

x?

综上,当 a ? 0 时, F ( x) 递增区间为 (?1, ??) ;当 a ? 0 时,

F ? x?

( ?1,
递增区间为

1? a ) a .

an ?1 ? f ( an ) ?
(Ⅱ) (i)因为

an an ? 1
,所以

1 1 ? ?1 an?1 an

,即

1 1 ? ?1 an?1 an



1 ? 1 ? (n ? 1) ? n an
Sn ?
因为

,即

an ?

1 n2 .

……………………………………(6 分)

2 2

?1 ? 2 2 2 n ? (1 ? )n ? ? ( 2 ? 1)n ? ? 2 2 ? an ? ,

当 n ? 1 时, 所以

S1 ? b1 ? 2 ? 1 ,当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ? 1? 2 n ,

bn ? 2 n ?1(n ? N * ) .又因为 b4 ? b6 ? 4 2 ?1? 6 2 ?1 ? 10 2 ? 2 ,

9/9

所以令

bt ? 10 2 ? 2 (t ? N * ) ,则 10 2 ? 2 ? 2 t ?1
2 2 与 t ? N * 矛盾,所以 b4 ? b6 不在数列 ?bn ? 中.

t ? 10 ?
得到

………(9 分)

(ii)充分性:若存在整数 m ? ?1 ,使

c1 ? md .设 cr , ct 为数列 ?cn ? 中不同的两项,则

cr ? ct ? c1 ? (r ?1)d ? c1 ? (t ?1)d ? c1 ? (r ? m ? t ? 2)d ? c1 ? ?(r ? m ? t ?1) ?1? d . c ? ct 是数列 ?cn ? 的第 r ? m ? t ? 1 项. 又 r ? t ? 3 且 m ? ?1 ,所以 r ? m ? t ? 1 ? 1 .即 r
必要性:若数列 则 则

?cn ? 中任意不同两项之和仍为数列 ?cn ? 中的项,

cs ? c1 ? (s ? 1)d , ct ? c1 ? (t ?1)d , s , t 为互不相同的正整数) ( cs ? ct ? 2c1 ? (s ? t ? 2)d ,令 cs ? ct ? cl , 2c1 ? (s ? t ? 2)d ? c1 ? (l ?1)d (n, t , s ? N * ) ,

得到 所以

c1 ? (l ? s ? t ? 1)d ,令整数 m ? l ? s ? t ? 1 ,所以 c1 ? md . ……(11 分)

下证整数 m ? ?1 .若设整数 m ? ?1, 则 ? m ? 2 .令 k ? ?m , 由题设取 即

c1 , ck 使 c1 ? ck ? cr (r ? 1)

c1 ? c1 ? (k ?1)d ? c1 ? (r ?1)d ,所以 md ? (?m ? 1)d ? (r ? 1)d

即 rd ? 0 与 r ? 1, d ? 0 相矛盾,所以 m ? ?1 . 综上, 数列 使

?cn ? 中任意不同两项之和仍为数列 ?cn ? 中的项的充要条件是存在整数 m ? ?1 ,

c1 ? md .


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